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广东省惠州市第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ）
A．2 B．4 C．0.5 D．0.25
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
8．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．0
二、多选题
9．下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若角的终边经过点， 则
B．若 ，则
C．若函数 的单调递减区间为
D．函数的单调递减区间为
10．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（ ）
A．
B．第4个月时，剩留量就会低于；
C．每月减少的有害物质质量都相等;
D．剩留量为时，所经过的时间分别是，则.
11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
三、填空题
12．计算：（1）____________；（2）____________．
13．已知那么___________
14．已知函数，若实数，满足，则的最大值为______.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域；
16．已知
(1)化简;
(2)若，求的值．
17．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)求满足不等式的t的取值范围.
18．已知， 函数
(1)当时， 解不等式；
(2)设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
(3)若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值．
19．若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”.
(1)分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由；
(2)若函数为“函数”，，且当时，，证明：
（i），；
（ii），.
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．C
6．D
7．B
8．C
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．（1）；
（2）
．
13．因为，故令，解得，
所以
故答案为：
14． ，易知，
令，而，
为定义在上的奇函数；
与均在上单调递增，在上单调递增；
由得：，
由为定义在上的奇函数可得：，
，故
（当且仅当，即，时取等号），
，即的最大值为.
故答案为：.
15．（1）令，解得
因此，的单调递减区间为.
（2）当时，，
所以，所以.
因此，函数在上的值域为.
16．（1）解：
（2）解：由得，故，
又，故，
因，故为第一、三象限角
当为第一象限角时，，
当为第三象限角时，，
因为
所以，
故当为第一象限角时，，
当为第三象限角时，．
17．（1）由，则，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下，
令，则，
由，所以，即，
所以在上单调递增，由奇函数的对称性知在上单调递增，
结合（1）及已知区间解析式知：时，时，
又，则，所以在上单调递增；
（3）由，则，
由在上单调递增，则，可得，
所以.
18．（1）当时，由解得或，
由得，，解得，
所以不等式的解集为．
（2）由复合函数的单调性可知，在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与，
则，
即，对任意成立．
因为，对称轴，
所以关于的二次函数在区间上单调递增，
所以时，，则，得．
所以的取值范围为．
（3）方程的解集中恰有一个元素，
等价于方程仅有一个解，即方程仅有一个解，
当时，，满足，符合题意；
当时，
①若方程有两个相等的解，则需，解得，
方程的解为，满足；
②若时，方程有两不等实根，设为，显然，
由，得，
因为，所以，即，
所以都满足，所以此时不满足题意，
综上或．
19．（1）对于，取，
则，.
因为，不满足，
故不是“函数”；
对于，对任意的正数，，
有
，
因为，则，所以函数是“函数”.
（2）（i）令，，
，
.
（ii）因为当时，，
所以对任意，有，
又，则，
又，
所以，
由（i）知，则，
所以，
则，
故.

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