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福建省福州第三中学2025-2026学年高三下学期第十二次质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（　　 ）
A． B．1 C． D．2
3．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态

中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的方差，则所有的都相等
B．以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则，
C．在的展开式中，含项的系数是
D．某校高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则
（若，则，）
10．已知狄利克雷函数设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个
11．已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（ ）
A．点在四棱锥外接球的球面上
B．四棱锥内切球的表面积为
C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
D．四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分
三、填空题
12．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________．
13．数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________．
14．过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形； ，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______．
四、解答题
15．已知数列满足，当时，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)证明：．
16．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值．
17．甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)当时.
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率;
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
18．已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且.
（ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值；
（ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
2．C
3．C
4．B
5．D
6．A
7．A
8．A
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．
13．
14．8
15．（1）因为，所以，即，
又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列，
所以，所以．
（2）证明：因为，
所以
因为，所以
16．（1）设椭圆的方程为，
由已知得，得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得，，则，
设，，直线的方程为，
代入，整理为，
由，解得：，
且，，
四边形的面积
，
当时，.
17．（1）（i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个白球，
则.
（ii）由题可知，可能的取值为，
甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为，
乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为，
,
,
，
，
，
分布列如下，
0 1 2 3 4
所以.
（2）小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P，
因为，
所以，
令，则，
所以当时，；当时，；
所以函数在单调递增，单调递减，
所以当，即时，P最大，最大值为.
18．（1）函数的定义域为R，
则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数在上为减函数．
又因为，故函数有且只有一个零点0.
（2）（ⅰ）函数的定义域为，
当时，，
当时，，
所以.
（ⅱ）由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
因为当时，恒成立，
所以等价于当时，恒成立，
又，
若，当时，由，
所以在上递增，所以此时恒成立.
若，当时，由，解得为，
在上递减，此时，不符合题意．
综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是.
19．（1）证明：因为，所以，所以，故．
又平面，所以平面．
又平面，所以．
因为，所以，
所以，即．
又平面，所以平面．
（2）解：如图，取的中点，连接，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设，由，得．
又在长方形外，和均为锐角，
所以．可化为，
两边平方后，整理得，
故，整理可得．
（i）设平面的法向量为，由，
得取，得，
故平面的一个法向量为．
设平面的法向量为．
得取，得，
故平面的一个法向量为．
则．
令，则，所以．
由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为．
（ii）设和交于点，则．
若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上，
设球心，必有．
，解得，，
则．
又，所以，解得或，
由题知，且，即，但都不在这个范围内，
故不存在点，使得五棱锥存在外接球．

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