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石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第一次调研考试
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡
上的非答题区域均无效。
3选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在
答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：必修第二册。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，
1.在△ABC中，若b2+c2=a2+3bc,则A=()
A君
B.骨
c晋
D.
5π
6
2.已知平面向量a,b的夹角为60°，1a2,b=1,则a+2b仁()
A.2
B.7
C.27
D.23
3.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A名a3,b-2,则满足条件的三角形
有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
4.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式，表达式为：
S=pp-ap-n-⊙，p=+b+上；它的特点是形式漂亮，便于记忆.现在有周长为16的
2
△ABC满足sinA:sinB:sinC=3:6:7,则aABC的面积为()
A.85
B.4W7
C.4W5
D.12
5.已知(2，-1)，(0,5)，点P在PB的延长线上，且PP=3引PP1,，则点P的坐标为()
A.(1,2)
B.)
c.居，)
D.(-1,8)
6.已知点P为△ABC所在平面内一点，若=B+三AC,则S=（)
2
4
A.3
B.
C.
D.
7.在△ABC中，A=45°，AC=4,AB=3V2,则BC边上的高为()
A.V10
B.而
c.210
D.10
8.若平面上的三个力F,F2,F作用于同一点，且处于平衡状态.已知F=V3N,F2=2N,且F与F
【高一数学第1页（共4页）】
的夹角为5红，则F与F的夹角为()
6
A晋
B.2x
3
C.
D.
3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.已知向量a=(1,2),b(-5,t),=(1,0),则下列说法正确的有()
A.若a∥b,则t=10
B.若la+bla-,则t=号」
C.若a与b+c的夹角为钝角，则t<2
D.a在c上的投影向量为c
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的有()
A.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC为锐角三角形
B.若acos A=bcosB,则△ABC为等腰三角形
C.A>B是sinA>sinB的充要条件
D.若cosA>sinB,则△ABC为钝角三角形
11.已知两个非零向量a,b的夹角为0，定义运算⑧：a⑧b=sin0,则下列说法正确的有()
A.若a&b-0,则a∥b
B.平行四边形ABCD的面积等于2(AB⑧AD
C.(a⑧b)2+(a·b)2-a-b12
D.若=(1,1)，b=(-2,1),则a⑧b=3
12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=匹，内角B的平分线交AC
3
于点D且BD=V3,则下列结论正确的有()
A.若AB⊥AC,△ABC的面积是2√5
B.1+1=1
a c
C.ac的最小值是4
D.b的最小值是2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.与向量ā=(3,4)共线同向的单位向量坐标为
14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b=a+c,则B范围为一
15.己知点N,，P在△ABC所在平面内，且PA+PB+PC=3PN,PA.PB=PB.PC=PC.PA,则
点N,P依次是△ABC的，
(填三角形的四心)（第一空2分，第二空3分）
【高一数学第2页（共4页）】石家庄精英中学 2025~2026学年第二学期第一次调研考试
高一数学答案
1.A 【解析】因为 ，由余弦定理可知 ，
又因为 ，可得 ．故选 A．
2.D 【解析】 平面向量 a，b的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，
a b=|a| |b|cos60°= 2×1× =1， |a+2b|= = = ．故选 D．
3.C 【解析】因为 ， ， ，可得 ，
所以 ，可得满足条件的三角形有 2个．故选 C．
4.C 【解析】 ， ， 周长为 ，即
，
， ， ， ， 的面积 ．故选 C．
5.D 【解析】设点 ，由 在 的延长线上，且 ，得 ，
又 ， ， ，解得 ，
点 的坐标为 ．故选 D．
6. B 【解析】如图，过点 作 ，
则 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，
所以 ， ，可得 ， ，
则 ．故选 B．
7.D【解析】在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则 .设 边上的高为 ，由等面积法可得 ，
【高一数学 第 1页（共 7页）】
则 ．
8.B 【解析】由题意，得 ，则 .
，
， .
，
与 的夹角 满足 .
又 ， ， ．故选 B．
9.BD 【解析】对于 A，因为 a∥b，所以 ，解得 ，故 A错误；
对于 B，若|a+b|=|a-b|，则 = ，
所以 =0，即 =-5×1+2t=0，解得 ，故 B正确；
对于 C，当 时，b+c=（-4,-8），b+c=-4a，此时 a与 b+c的夹角为 ，故 C错误；
对于 D，因为 =1，|c|=1，所以 a在 c上的投影向量为 ，故 D正确．故选 BD．
10.CD 【解析】对于 A，由 及正弦定理，得 ，
则 ，得 为锐角，但不能确定 为锐角三角形，故 A错误；
对于 B，利用正弦定理 ，
可得 ，所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故 B错误；
对于 C，在 中，根据正弦定理可知， ，故 C正确；
对于 D，在 中， ，由 ，可得 ，则 为锐角.
若 为锐角，则 ，可得 ，即 ，则 ， 为钝角三角
形；若 为钝角，则 ，可得 ，即有 ， 为钝角三角形，
故 D正确．故选 C．
11.ACD 【解析】对于 A，因为 a b=0，所以|a| |b|sin =0，因为|a| |b|≠0，所以 .
又因为 ，所以 或 ，所以 a∥b，故 A正确；
【高一数学 第 2页（共 7页）】
对于 B， ，故 B错误；
对于 C，(a b)2+( )2=|a b|2+| |2=|a|2 |b|2sin2 +|a|2 |b|2cos2 =|a|2 |b|2，故 C正确；
对于 D，因为 a=（1,1），b=（-2,1），所以|a|= ，|b|= ，所以 cos = = .
因为 ， ，所以 sin = = ，所以 a b=|a| |b|sin = × × =3，故 D
正确．故选 ACD．
12. BCD 【解析】对于 A，当 最小时，易知 ， 为直角三角形，
易得 ，故 A错误；
对于 B，由题意，得 S△ABC=S△BCD+S△ABD，由角平分线以及面积公式得
，化简得 ，所以 ，故 B正确；
对于 C，因为 ≥2 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ，故 C正确；
对于 D ，由余弦定理 ，
，所以 ，即 的最小值是 2，当且仅当 时取等号，故D正确．故选 BCD.
13. ， 【解析】与向量 共线同向的单位向量 ， ．
14. 【解析】余弦定理+基本不等式
15.重心 垂心 【解析】 ，
，即 为△ 的重心.
， ， ， ，
同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，故 是△ 的垂心．
16. 【解析】设 ， ，则 ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即 ，①
在△ 中， ， ，
由正弦定理得 ，即 .②
【高一数学 第 3页（共 7页）】
①②两式相除，得 ，即 ，
整理得 ，所以 ，即 ．
17.解：（1）若 为虚数，则 ，且 ， --------2分
解得 且 ，
所以实数 的取值范围为 ， ， ， ． --------5分
（2）若 为纯虚数，则 ， --------7分
解得 ，即 z =2i，
所以实数 的值为 ． --------10分
18.解：方法一：坐标法：在△ 中，记角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，
以 为坐标原点，以边 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图. --------1分
则 ， ，则 点的坐标为 ，
所以 ， --------3分
平方可得： ，
又因为 ，所以 . --------5分
同理可证明 ； ． --------6分
方法二：向量法：在△ 中，记角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，
设向量 ，则 ，如图. --------2分
由向量模长得：
，
【高一数学 第 4页（共 7页）】
所以 . --------5分
同理可证明 ； ． --------6分
(2)内角分线定理：--------12分
19.解：（1）因为 与 t - （t≠0）共线，
所以 = λ（t - ）=-λ +λ t ，--------3分
因为 ， 不共线，所以 ，解得 ， --------5分
所以当 时， 与 t - （t≠0）共线. --------6
分
（2）因为|a|=|b|，且 a与 b的夹角为 ，
所以 | |2=( )2= 2+( )2-2 =(1+ 2) 2-2|a| |b|cos =(1+ 2+ ) 2=[( + )2+ ] 2，-
------10分
所以当 t = - 时，| |取得最小值． --------12
分
20.解：（1）在 中， 海里， ， --------2分
由正弦定理，得 ，即 ，
，即 . --------6分
（2）如图，连接 .在 中， ， ， . --------8分
由余弦定理，得
，
（海里）， --------10分
．
答：该救援船到达 点需要的时间为 小时． --------12分
【高一数学 第 5页（共 7页）】
21.解：（1）根据题意可知， ，
则 ，
即 ，
， --------2分
即 .
又 ，则 ，
故 ，即 ， . --------4分
又 ， ，
，故 . --------5分
（2）根据余弦定理得 ，
即 ． --------6分
，两边平方得 4| |2=| |2+| |2+2 =c2+b2+bc=2bc+3.
--------7分
根据正弦定理可知， ，故 ， ，
∴
. --------8分
又由于△ 是锐角三角形，因此可得 ，解得 . ------10分
【高一数学 第 6页（共 7页）】
因此 ， ， ，
即 ，则 ． --------12分
22.解：（1）因为 a=（m，n），所以 a=me1+ne2， --------1分
则 a2=(me1+ne2)2=m2e 2 2 2 21 +2mne1 e2+n e2 =m +2mncos +n2， --------3分
所以|a|= . --------4
分
（2）由 a=（-1，2），b=（-2，1），即 a=-e1+2e2，b=-2e1+e2，
得|a|= = ，|b|=
= ， --------6分
=(-e1+2e2) (-2e1+e2)=2e 2 21 +2e2 -5e1 e2= .
因为 a，b的夹角为 ，则 cos = = ，解得 . --------8分
（3）因为 ，所以 = + = e1+ e2.
因为 ，所以 = - = - e1- e2. -
-------10分
因为 ，
， =( e1+ e2) ( e1- e2)=6，
所以 ． --------12分
【高一数学 第 7页（共 7页）】

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