资源简介

A.30° B. 40° C. 50° D. 100°
. 某校为了解九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了 50 名学生，统计了他们每天锻炼的时
2
026 中考一模
7
数学试题
间，结果如下表所示：
锻炼时间（分钟）
人数
考生注意：
本考场试卷序号
（由监考填写）
1
2
.全卷共三道大题，总分 120 分，考试时间 120 分钟；
.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案均需
30 以下
10
30-60
30
60 以上
10
写在答题卡上，写在试题卷上无效；
3
4
.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置；
.字迹工整，卷面整洁，认真审题，规范作答。
则这 50 名学生每天锻炼时间的众数是（ ）
A. 30 分钟 B. 45 分钟 C. 60 分钟 D. 30-60 分钟
. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，若 AB⊥CD 于点 E，AE=2，EB=8，
题号
得分
一
二
三
总分
核分人
8
得分
评卷人
一、选择题（每题 3 分，满分 30 分）
则 CD 的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
1
. 下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A. -3 B. 0 C. 2 D. -1
. 龙东地区冬季严寒，某日的气温为-12℃～2℃，该日的温差是（ ）
A. 10℃ B. 14℃ C. -10℃ D. -14℃
. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
. 龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米 120 公顷，比去年增加 20%，去年
9. 某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为 10 元，若按每件 15 元出售，每天可售出 200
件；若每件提价 1 元，每天的销售量就减少 10 件，设每件售价为 x 元（x≥15），每天的利润
为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
2
A.
C.
B.
D.
3
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC 沿直线 DE 折叠，
使点 B 与点 A 重合，折痕 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 CE 的长为（ ）
4
种植玉米的面积是（ ）
A.
B.
C. 3 D. 4
评卷人
A. 144 公顷 B. 100 公顷 C. 96 公顷 D. 150 公顷
得分
5. 下列运算正确的是（ ）
二、填空题（每题 3 分，满分 30 分）
A. B.
C.
D.
1
1
1
1. 分解因式：
2. 若分式
3. 已知一组数据：2，3，5，7，8，则这组数据的中位数是________。
________。
的值为 0，则 x 的值为________。
6
. 如图，直线 a∥b，直线 c 与 a、b 分别相交于点 A、B，若
∠
1=50°，则∠2 的度数是（ ）
14. 龙东地区某滑雪场的雪道坡度为 1:
，那么该雪道的倾斜角为________度。
1
5. 若点 A（-2，y ）、B（1，y ）、C（2，y ）都在反
（k 为常数，k≠0）的图象上，且 y
y >y ，则 k 的取值范围是________。
6. 如图，在 ABCD 中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则 BD 的长
比例函数
23. （本题满分 8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥AB 于
>
点 E，DF⊥AC 于点 F。
求证：DE=DF。
1
为________。
17. 一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则该圆锥的侧面积为________cm （结果保留
π）。
1
8. 已知关于 x 的一元二次方程
_______。
有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
_
1
9. 龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需 10 天完
24. （本题满分 8 分）龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部
分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制
了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
成，乙工程队单独铺设需 15 天完成，两队合作铺设需________天完成。
20. 观察下列一组数： ，
， ，
，…，按此规律，第 n 个数是________（用含 n 的代
（1）本次调查抽取的学生人数为________；
数式表
示）。
得分
评卷人
（2）补全条形统计图和扇形图的 %；
三、解答题（满分 60 分）
（
3）若该校共有 1200 名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数；
4）若从“了解一点”的 3 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加黑土文化宣传活动，求恰
（
好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率。
21. （本题满分 8 分）计算：
。
22. （本题满分 8 分）先化简，再求值：
，其中
。
2
7. （本题满分 8 分）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A
-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交 y 轴于点 C（0，3），点 D 为抛物线的顶点．直线 y=x-1
交抛物线于点 M、N 两点，过线段 MN 上一点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 Q．
（
2
5. （本题满分 10 分）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，
已知购进 3 台 A 型设备和 2 台 B 型设备共需 21 万元，购进 2 台 A 型设备和 3 台 B 型设备共需
3 万元。
（
（
（
1）求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
2
2）问点 P 在何处时，线段 PQ 最长，最长为多少；
（1）求 A 型设备和 B 型设备每台的进价分别是多少万元？
3）设 E 为线段 OC 上的三等分点，连接 EP，EQ，若 EP=EQ，求点 P 的坐标．
（2）该公司计划购进 A 型设备和 B 型设备共 10 台，总费用不超过 40 万元，且 A 型设备的数
量不小于 B 型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
26. （本题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 为半
径作⊙O，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，且∠B=∠AEO。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AE=8，cos∠A= ，求⊙O 的半径和 BC 的长。参考答案
一、单项选择题（每题3 分，共30 分）
1. 答案：B
解析：绝对值的性质：正数和0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。|-3|=3，|0|=0，|2|=2，|-1|=1，故绝对值最小的是0，选 B。
2. 答案：B
解析：温差=最高气温-最低气温，即2 - (-12)=14℃，贴合龙东冬季气温特点，选B。
3. 答案：C
解析：A. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B. 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；C. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；D. 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，选C。
4. 答案：B
解析：设去年种植玉米x 公顷，今年比去年增加20%，则今年为(1+20%)x=120，解得 x=100，结合龙东农场种植实际，选B。
5. 答案：D
解析：A. ，错误；B. ，错误；C. ，错误；D. ，正确，
选 D。
6. 答案：B
解析：∵a∥b，∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等），∵∠1=50°，∴∠B+∠1=90°，∠B=40°，∠2=40°，选 B。
7. 答案：D
解析：众数是一组数据中出现次数最多的数值，30-60 分钟的人数为30，最多，故众数是30-60 分钟，选D。
8. 答案：C
解析：∵AB 是直径，AE=2，EB=8，∴AB=10，⊙O 的半径 OA=5，OE=OA-AE=3，∵AB⊥CD，∴CE=DE（垂径定理），
在 Rt△OCE 中， ，∴CD=2CE=8，选 C。
9. 答案：B
解析：每件售价为x 元，进价10 元，每件利润为(x-10)元；每件提价(x-15)元，销售量减少10(x-15)件，故销售量为
200-10(x-15)=350-10x，∴利润 y=(x-10)(350-10x)，贴合农产品销售实际，选B。
10. 答案：A
解析：在Rt△ABC 中，AB= ，由折叠知AD=BD=5，AE=BE，设 CE=x，则 BE=8-x，AE=8-x
在 Rt△ACE 中， ，即 ，解得 x= ，选 A。
二、填空题（每题3 分，共30 分）
11. 答案：
解析：平方差公式分解因式， 。
12. 答案：3
解析：分式值为0 的条件：分子为0 且分母不为0，即 x-3=0 且 x+2≠0，解得 x=3。
13. 答案：5
解析：将数据从小到大排列为2，3，5，7，8，中间的数为5，故中位数是5。
14. 答案：30
解析：坡度=垂直高度:水平宽度=1: ，设倾斜角为α，则 ，故α=30°，贴合龙东滑雪场实际。
15. 答案：k<0
解析：反比例函数 ，当 k<0 时，图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，∵-2<1<2，且 y >y >y ，
∴点 A 在第二象限，B、C 在第四象限，故k<0。
16. 答案：
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，∵AC⊥BC，∴在 Rt△ABC 中，AC=
，∴OC=2，在 Rt△BOC 中，OB= ，∴BD=2OB= 。
17. 答案：15π
解析：圆锥侧面积公式 （r 为底面半径，l 为母线长），代入得 。
18. 答案：k<1
解析：一元二次方程有两个不相等实数根，判别式 ，即 ，解得 k<1。
19. 答案：6
解析：设工作总量为1，甲队效率为 ，乙队效率为 ，两队合作效率为 ，故合作需6 天，贴合老旧小区改造
实际。
20. 答案：
解析：观察数列，符号规律为奇数项正、偶数项负，可用 表示；分子为项数n，分母为项数+1，即 n+1，故第 n
个数为 。
三、解答题（共60 分）
21. （本题满分8 分）
解：原式=1 + 4 - (2 - ) + 2× ..................（4 分）
=1 + 4 - 2 + + ....................................（2 分）
=3 + 2 .......................................................（2 分）
解析：本题考查实数的混合运算，涉及乘方、算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解题关键
22. （本题满分8 分）
解：原式= ..........................（2 分）
= .................................................（2 分）
= ........................................................（1 分）
∵ .............（1 分）
∴代入得： .....（2 分）
解析：本题考查分式的化简求值，结合特殊角的三角函数值，注意化简过程中因式分解和约分，避免计算错误。
23. （本题满分8 分）
证明：∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）................... （4 分）
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）...........（4 分）
解析：本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质，熟练掌握“三线合一”和角平分线的距离性质是解题关键，步骤清晰，
逻辑严谨。
24. （本题满分8 分）
解：
解析
（1）本次调查抽取的学生人数为______；
从条形图可知：“不了解”的人数为 6 人；
从扇形图可知：“不了解”占 10%。
所以总人数 = 6÷10% =0.16 =60 人。.........................（2 分）
答案：60
（2）补全条形统计图；
已知总人数 60 人：
“不了解”：6 人（已知）
“比较了解”：18 人（从条形图读出）
所以“了解一点” = 60 - 6 - 18 = 36 人...................（2 分）
在条形图中，“了解一点”对应高度应画到 36。
样本中“了解一点”比例 = =0.6=60%
“比较了解”比例= =0.3=30%
30
60
（3）若该校共有 1200 名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数；
估计全校 = 1200×60%=720 人...................（2 分）
答案：720 人
（4）若从“了解一点”的 3 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的
概率。
总人数：3 男 + 2 女 = 5 人
从中抽 2 人，总的抽法：C52 =2×15×4 =10 种
恰好 1 男 1 女的抽法：
选 1 男：C31 =3
选 1 女：C21 =2
组合数：3×2=6 种
概率 = = ........................（2 分）
答案：
解析：本题考查统计与概率，结合龙东黑土文化主题，考查扇形统计图、条形统计图的应用及概率计算，贴合学生生活实
25. （本题满分10 分）
解：（1）设 A 型设备每台进价x 万元，B 型设备每台进价y 万元，
根据题意得： .............................................. （2 分）
解得： ...........................................................（2 分）
答：A 型设备每台进价3.4 万元，B 型设备每台进价5.4 万元。
（2）设购进A 型设备 m 台，则购进B 型设备(10 - m)台，
根据题意得： ....................（2 分）
解得： ......................................................（1 分）
∵m 为整数，∴m=4，5，6，7，共 4 种购进方案......（1 分）
总费用 W=3.4m + 5.4(10 - m)= -2m + 54，∵-2<0，W 随 m 增大而减小，
∴当 m=7 时，W 最小，此时10 - m=3，
最小费用= -2×7 + 54=40（万元）..................................................（1 分）
答：有 4 种购进方案，购进7 台 A 型设备和3 台 B 型设备最省钱。...（1 分）
解析：本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，结合龙东供暖设备采购实际，考查方案设计与最优化问题，
养学生的应用意识。
26. （本题满分10 分）
（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，∴∠A=∠AEO（等边对等角）.......................... （2 分）
又∵∠B=∠AEO，∴∠A=∠B ..............................................（1 分）
∵∠C=90°，∴∠A + ∠B=90°，∴∠AEO + ∠B=90°，
∴∠OEB=180° - (∠AEO + ∠B)=90°，即 OE⊥BC .................（1 分）
∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线（切线的判定定理）... （1 分）
（2）解：∵cos∠A= ，AE=8，
∴AD= ............................................................................. （1 分）
∵AD 是⊙O 的直径，∴⊙O 的半径 OA=OE= ....................（1 分）
∵∠A=∠B，∠C=∠OEB=90°，∴△ABC∽△EOB（两角分别相等的两个三角形相
似）............................................................................................. （1 分）
∴ ，设 OB=x，则 AB=OA + OB=5 + x，AC=AE + EC=8 + EC，
又∵cos∠A= ，∴AC= ，
代入相似比得： ，解得 x= ............................................（1 分）
∴AB=5 + ，AC= ，
在 Rt△ABC 中，BC= .......................（1 分）
答：⊙O 的半径为5，BC 的长为 。
解析：本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，综合性较强，步骤较多，注意逻辑连贯，计算准
27（8分）（1）∵抛物线y= ax 2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题
意，得
0=a-b+c0=9a+3b+c3=c，
解得：a=- 1，b=2，c=3
∴抛物线的解析式为：y=- x2+ 2x+ 3，..................（1分）
∴y= -（x- 1）2+4，
∴D（1，4）；.........................................（1分）
（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x- 1上，设P（a，a- 1），则Q（a，-a 2+2a+3），
∴PQ=- a2+2a+3- a+1=- a2+a+4，............................................（2分）
∴PQ=-（a- 12）2+174，
∴当a=12时，线段PQ最长为174，则P点坐标为（12，- 12）；.............（2分）
（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC= 3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p- 1）（在y=x- 1上），则Q（p，- p2+2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP= EQ ，
∴（p- 0）2+（p- 1- 1）2=（p- 0）2+（- p2+2p+3- 1）2，
∴p2+（p- 2）2=p2+（p2- 2p- 2）2，
（p- 2）2=（p2- 2p- 2）2，
①当p2- 2p- 2=p- 2时，
∴p（p- 3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，-1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x- 1交抛物线于点M、N两点，
∴x- 1=- x2+2x+3 ，
解得：x1=1- 172，x2= 1+ 172，
M的横坐标为1- 172，N点的横坐标为1+172，
∴P点横坐标：大于等于1- 172小于等于1+172，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p2- 2p- 2=- p+2，
整理得：p2- p- 4=0，
解得：P1=1- 172，p2=1+172，
∵直线y=x- 1交抛物线于点M、N两点，
∴x- 1=- x2+2x+3 ，
解得：x1=1- 172，x2= 1+ 172，
M的横坐标为1- 172，N点的横坐标为1+172，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于1- 172小于等于1+172，
当E（0，2）时，
∵EP= EQ ，
∴（p- 0）2+（p- 1- 2）2=（p- 0）2+（- p2+2p+3- 2）2，
p2+（p- 3）2=p2+（p2- 2p- 1）2，
∴（p- 3）2=（p2- 2p- 1）2．
③当p2- 2p- 1=p- 3时，
∴（p- 1）（p- 2）=0
∴p=1或2．
当p=1时，P（1，0），Q（1，4）
当p=2时，P（2，1），Q（2，3）
④p2- 2p- 1=- p+3
p2- p- 4=0 ，
解得：P1=1- 172＜-1，p2=1+172＞2，
P（1- 172，- 17- 12）或（1+172，17- 12）．
综上所述，P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（1- 172，- 17- 12）或（1+172，17- 12）．
∵点P在线段MN上，
∴P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．...................（2分）

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