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四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（每题5分）
1．已知等差数列的通项公式为，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知数列是等比数列，且，，则（　　）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
3．已知函数在处的导数为，则（　　）
A．3 B． C．6 D．
4．已知，则(　　)
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则（　　）
A．110 B．55 C．50 D．45
7．若函数在区间(，)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5，1) B．(－5，1) C．[－2，1) D．(－2，1)
8．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（　　）
A． B． C． D．e
二、多选题（每题6分，选全满分，没选全得部分分）
9．已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若和都为递增数列，则
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（　　）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有2个极值点 D．在处取得最大值
11．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．的极大值点是
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题（每题5分）
12．已知构成各项为正的等比数列，且则　 　.
13．已知函数，则的极小值为　 　
14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题
15．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
16．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设求的前项和．
17．设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
18．已知.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围；
19．设函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求证：在时，．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，则，公差.
故答案为：D.
【分析】直接根据通项公式逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故答案为：B．
【分析】利用等比数列的性质，是与的等比中项，且与同号。
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又函数在处的导数为，所以，
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义，将所求极限式变形，与已知导数f'(x0 )=6建立联系。
4．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：f'(x)=2x，得f'(2)=4
故答案为：C.
【分析】直接求导后即可求得结果.
5．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：函数，则，
又点，当时，，
即曲线在点处的切线方程的斜率为-4，
所以根据直线的点斜式方程可得切线方程为：，
即.
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再用直线的点斜式方程即可得解.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：在等差数列中，，于是得，
所以.
故答案为：B
【分析】根据等差数列的性质，得，代入求出，再利用等差数列前n项和公式计算．
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(，)内存在最小值，则，得．
故答案为：C.
【分析】先求导，分析函数单调性及极值，再结合题意可知极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值，据此列不等式求解即可．
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，故ABD错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】先求导可得再利用题意可得在上恒成立，分，，分别可求出取值范围即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：若的公差为，则：
A、题设，故，则，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、由，即，而，即，该选项正确，符合题意；
D、由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】由等差数列通项公式可解，代入可化简为，可判断A；由中项性质得，代入求和公式可判断B；由中项性质得，即，而，可判断C；由递增数列，得，所以，即对，，而的符号无法确定，可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由的图象可知，
当或时，，则单调递减，故A正确；
当或时，，则单调递增，
所以，当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，当，2，4时，有极值，
所以有3个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，则函数在处不能取得最大值，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用导函数的图象和导数判断函数单调性的方法、函数单调性求极值和极值点的方法、导数求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确．
故答案为：BD．
【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证.
12．【答案】4
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为构成各项为正的等比数列，所以，又，
所以，解得或（舍去），
故答案为：.
【分析】利用等比数列的等比中项性质，b2=ac，再结合数列各项为正的条件求解。
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
【分析】利用导数，直接求函数的极值即可．
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
15．【答案】（1）解：由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2）解：，
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用前 项和 与通项 的关系 求解。
（2）将 视为关于 的二次函数，通过配方或求顶点，结合 求最大值。
16．【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解.
（1）因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
17．【答案】（1）解：由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）解：由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
【知识点】导数的几何意义；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标，用点斜式写出切线方程。
（2）通过导数的正负判断函数单调性，进而确定极值点。
（3）根据函数在区间内的单调性，比较端点和极值点的函数值，得到最值。
（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
18．【答案】（1）解：由题意得，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）解：因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，根据导数符号判断单调性，进而找到最小值点。
（2）将不等式f(x)≤g(x)变形，分离参数a，构造新函数h(x)，通过求h(x)的最小值确定a的取值范围。
（1）依题意，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
19．【答案】（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）解：由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：，
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
即
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得到切线斜率表达式，代入已知斜率解方程。
（2）根据导数的符号，对 分区间讨论函数单调性。
（3）构造辅助函数 ，利用常见不等式 和 证明 。
（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3），
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.
1 / 1四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（每题5分）
1．已知等差数列的通项公式为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，则，公差.
故答案为：D.
【分析】直接根据通项公式逐项判断即可．
2．已知数列是等比数列，且，，则（　　）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故答案为：B．
【分析】利用等比数列的性质，是与的等比中项，且与同号。
3．已知函数在处的导数为，则（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又函数在处的导数为，所以，
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义，将所求极限式变形，与已知导数f'(x0 )=6建立联系。
4．已知，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：f'(x)=2x，得f'(2)=4
故答案为：C.
【分析】直接求导后即可求得结果.
5．曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：函数，则，
又点，当时，，
即曲线在点处的切线方程的斜率为-4，
所以根据直线的点斜式方程可得切线方程为：，
即.
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再用直线的点斜式方程即可得解.
6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则（　　）
A．110 B．55 C．50 D．45
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：在等差数列中，，于是得，
所以.
故答案为：B
【分析】根据等差数列的性质，得，代入求出，再利用等差数列前n项和公式计算．
7．若函数在区间(，)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5，1) B．(－5，1) C．[－2，1) D．(－2，1)
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(，)内存在最小值，则，得．
故答案为：C.
【分析】先求导，分析函数单调性及极值，再结合题意可知极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值，据此列不等式求解即可．
8．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（　　）
A． B． C． D．e
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，故ABD错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】先求导可得再利用题意可得在上恒成立，分，，分别可求出取值范围即可求解.
二、多选题（每题6分，选全满分，没选全得部分分）
9．已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若和都为递增数列，则
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：若的公差为，则：
A、题设，故，则，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、由，即，而，即，该选项正确，符合题意；
D、由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】由等差数列通项公式可解，代入可化简为，可判断A；由中项性质得，代入求和公式可判断B；由中项性质得，即，而，可判断C；由递增数列，得，所以，即对，，而的符号无法确定，可判断D.
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（　　）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有2个极值点 D．在处取得最大值
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由的图象可知，
当或时，，则单调递减，故A正确；
当或时，，则单调递增，
所以，当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，当，2，4时，有极值，
所以有3个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，则函数在处不能取得最大值，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用导函数的图象和导数判断函数单调性的方法、函数单调性求极值和极值点的方法、导数求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．的极大值点是
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确．
故答案为：BD．
【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证.
三、填空题（每题5分）
12．已知构成各项为正的等比数列，且则　 　.
【答案】4
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为构成各项为正的等比数列，所以，又，
所以，解得或（舍去），
故答案为：.
【分析】利用等比数列的等比中项性质，b2=ac，再结合数列各项为正的条件求解。
13．已知函数，则的极小值为　 　
【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
【分析】利用导数，直接求函数的极值即可．
14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
四、解答题
15．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）解：由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2）解：，
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用前 项和 与通项 的关系 求解。
（2）将 视为关于 的二次函数，通过配方或求顶点，结合 求最大值。
16．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设求的前项和．
【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解.
（1）因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前项和为.
17．设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）解：由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
【知识点】导数的几何意义；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标，用点斜式写出切线方程。
（2）通过导数的正负判断函数单调性，进而确定极值点。
（3）根据函数在区间内的单调性，比较端点和极值点的函数值，得到最值。
（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
18．已知.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）解：由题意得，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）解：因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，根据导数符号判断单调性，进而找到最小值点。
（2）将不等式f(x)≤g(x)变形，分离参数a，构造新函数h(x)，通过求h(x)的最小值确定a的取值范围。
（1）依题意，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
19．设函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求证：在时，．
【答案】（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）解：由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：，
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
即
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得到切线斜率表达式，代入已知斜率解方程。
（2）根据导数的符号，对 分区间讨论函数单调性。
（3）构造辅助函数 ，利用常见不等式 和 证明 。
（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3），
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.
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