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四川省阆中中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，若，则实数（　　）
A． B．1 C．或1 D．4
4．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（　　）．
A． B．
C． D．
6．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
8．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，，则的取值范围为
C．
D．若，，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
11．已知函数若关于的方程有四个实数根，，，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，若与的夹角为钝角，则的范围为　 　．
13．已知，则　 　．
14．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为　 　.
四、解答题（共77分）
15．设两个非零向量与不共线．
（1）若．求证：A、B、D三点共线；
（2）若和共线，求实数k的值．
16．已知，其中
（1）求；
（2）求．
17．已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数单调递增区间和对称轴方程；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为，所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图象．
故答案为：C.
【分析】先将目标函数变形为，再根据“左加右减”的平移法则判断。
2．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】观察到与的和为，利用诱导公式直接转化求解。
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算得到的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解．
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，的夹角为，
得，
所以在上的投影向量是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，，所以，
由题意，则，
由.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算得，再确定点位置，得到，然后结合进行运算即可．
6．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理可知，
又因为，所以可得.
故答案为：A
【分析】利用余弦定理，将已知的边的关系代入，求出cosA的值，再根据角A的范围确定其大小。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用三点共线的向量表示可得，再利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可．
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由，得，
则，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】由，得，再结合正弦函数的单调区间可判断，再结合，，可确定再对k赋值，进而可确定的范围。
9．【答案】A,B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为，，且，
因为，即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据向量数量积的定义、三角不等式、向量运算律及消去律，逐一判断各选项。
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A，函数的周期为，故A正确；
B，由，得，
所以的单调增区间为，故B错误；
C，令，则，所以函数的图象的对称轴方程，故C正确；
D，函数向右平移个单位长度得到，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】根据三角函数的周期公式、单调区间、对称轴方程及图像平移规律，逐一分析选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，如图，结合函数的图象，令，得或或，
若直线与函数的图象有4个不同交点，
由图象知，故A正确；
B，令，解得，
令时，对称轴为，故与关于对称成立，
由函数的对称性质得，解得，故B正确；
C，结合图象可知，于是，
当且仅当时取等，但本题无法取等，解得，即，
因此结合重要不等式得到，故C错误．
D，由题意得，
因为，所以，，
则，得到，
即，得到，整理得，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】先分析分段函数两段的图像与性质，利用正弦函数的对称性判断x1 +x2 ，再通过对数方程得到x3 ，x4 的关系，最后逐一验证选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，且与的夹角为钝角，
可得，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先由向量夹角为钝角的条件求出的初步范围，再排除两向量反向共线的特殊情况，得到最终范围。
13．【答案】-1
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，
所以.
故答案为：-1
【分析】将已知两式分别平方，利用同角三角函数平方关系相加，消去平方项，直接得到sin(α+β)的表达式。
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解：连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
所以，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故答案为：．
【分析】设∠COA=θ，用θ表示出平行四边形的底和高，得到面积表达式，再利用三角恒等变换求最大值。
15．【答案】（1）证明：和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
（2）解：和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】(1) 要证三点共线，只需证明连接这三点的两个向量（如与）共线，且两向量有公共点，通过向量加法求出，再证明其与成数乘关系即可。
(2) 利用向量共线定理，设存在实数使两个向量满足数乘关系，结合与不共线的条件，列出关于和的方程组，求解得的值。
（1），
，
与共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线．
（2）和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
16．【答案】（1）解：由题意得：，，
；
（2）解：，，
，
.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）先确定角的范围，进而得到，再根据进行计算即可；
（2）利用二倍角公式得到，再根据即可求解．
（1）由题意得：
，，
，
（2），，
，
.
17．【答案】（1）解：根据正弦定理，
，因为，所以，因此有，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理可知：，
解得，（舍去），
因此的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出cosA，进而得到角A。
(2)根据余弦定理列出关于c的方程，解出c后，再用三角形面积公式计算面积。
18．【答案】（1）解：，
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）解：令，
则，
所以的单调递增区间为；
令， 解得，
即的对称轴方程为.
（3）解：由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先通过向量数量积和三角恒等变换化简函数，再利用相邻对称轴距离求出周期，进而确定ω，得到解析式。
(2) 根据正弦函数的单调性和对称轴性质，解不等式得到单调区间和对称轴方程。
(3) 先通过图像变换得到g(x)的解析式，再分析g(x)在给定区间上的图像，确定m的取值范围。
（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）令，
则，
所以的单调递增区间为；
令， 解得，
即的对称轴方程为.
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19．【答案】（1）解：因为，
则，故.
（2）证明：由题意得，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）解：由题意得，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
【知识点】向量的模；简单的三角恒等变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用两角和的正弦公式与诱导公式化简函数，得到伴随向量，再计算其模长。
(2) 先由伴随函数定义求出，再利用三角形内角和及两角差的正弦公式，求出与，作比即可证明结论。
(3) 将方程化简为，根据的符号分段讨论函数，结合图像分析的取值范围。
（1）因为，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
1 / 1四川省阆中中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为，所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图象．
故答案为：C.
【分析】先将目标函数变形为，再根据“左加右减”的平移法则判断。
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】观察到与的和为，利用诱导公式直接转化求解。
3．已知平面向量，若，则实数（　　）
A． B．1 C．或1 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算得到的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解．
4．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，的夹角为，
得，
所以在上的投影向量是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
5．在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，，所以，
由题意，则，
由.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算得，再确定点位置，得到，然后结合进行运算即可．
6．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理可知，
又因为，所以可得.
故答案为：A
【分析】利用余弦定理，将已知的边的关系代入，求出cosA的值，再根据角A的范围确定其大小。
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用三点共线的向量表示可得，再利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可．
8．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由，得，
则，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】由，得，再结合正弦函数的单调区间可判断，再结合，，可确定再对k赋值，进而可确定的范围。
二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，，则的取值范围为
C．
D．若，，则
【答案】A,B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为，，且，
因为，即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据向量数量积的定义、三角不等式、向量运算律及消去律，逐一判断各选项。
10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A，函数的周期为，故A正确；
B，由，得，
所以的单调增区间为，故B错误；
C，令，则，所以函数的图象的对称轴方程，故C正确；
D，函数向右平移个单位长度得到，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】根据三角函数的周期公式、单调区间、对称轴方程及图像平移规律，逐一分析选项。
11．已知函数若关于的方程有四个实数根，，，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，如图，结合函数的图象，令，得或或，
若直线与函数的图象有4个不同交点，
由图象知，故A正确；
B，令，解得，
令时，对称轴为，故与关于对称成立，
由函数的对称性质得，解得，故B正确；
C，结合图象可知，于是，
当且仅当时取等，但本题无法取等，解得，即，
因此结合重要不等式得到，故C错误．
D，由题意得，
因为，所以，，
则，得到，
即，得到，整理得，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】先分析分段函数两段的图像与性质，利用正弦函数的对称性判断x1 +x2 ，再通过对数方程得到x3 ，x4 的关系，最后逐一验证选项。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，若与的夹角为钝角，则的范围为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，且与的夹角为钝角，
可得，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先由向量夹角为钝角的条件求出的初步范围，再排除两向量反向共线的特殊情况，得到最终范围。
13．已知，则　 　．
【答案】-1
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，
所以.
故答案为：-1
【分析】将已知两式分别平方，利用同角三角函数平方关系相加，消去平方项，直接得到sin(α+β)的表达式。
14．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解：连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
所以，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故答案为：．
【分析】设∠COA=θ，用θ表示出平行四边形的底和高，得到面积表达式，再利用三角恒等变换求最大值。
四、解答题（共77分）
15．设两个非零向量与不共线．
（1）若．求证：A、B、D三点共线；
（2）若和共线，求实数k的值．
【答案】（1）证明：和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
（2）解：和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】(1) 要证三点共线，只需证明连接这三点的两个向量（如与）共线，且两向量有公共点，通过向量加法求出，再证明其与成数乘关系即可。
(2) 利用向量共线定理，设存在实数使两个向量满足数乘关系，结合与不共线的条件，列出关于和的方程组，求解得的值。
（1），
，
与共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线．
（2）和共线，
存在实数，使．
与不是共线的两个非零向量，，即．
16．已知，其中
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：由题意得：，，
；
（2）解：，，
，
.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）先确定角的范围，进而得到，再根据进行计算即可；
（2）利用二倍角公式得到，再根据即可求解．
（1）由题意得：
，，
，
（2），，
，
.
17．已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：根据正弦定理，
，因为，所以，因此有，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理可知：，
解得，（舍去），
因此的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出cosA，进而得到角A。
(2)根据余弦定理列出关于c的方程，解出c后，再用三角形面积公式计算面积。
18．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数单调递增区间和对称轴方程；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）解：令，
则，
所以的单调递增区间为；
令， 解得，
即的对称轴方程为.
（3）解：由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先通过向量数量积和三角恒等变换化简函数，再利用相邻对称轴距离求出周期，进而确定ω，得到解析式。
(2) 根据正弦函数的单调性和对称轴性质，解不等式得到单调区间和对称轴方程。
(3) 先通过图像变换得到g(x)的解析式，再分析g(x)在给定区间上的图像，确定m的取值范围。
（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）令，
则，
所以的单调递增区间为；
令， 解得，
即的对称轴方程为.
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
则，故.
（2）证明：由题意得，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）解：由题意得，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
【知识点】向量的模；简单的三角恒等变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用两角和的正弦公式与诱导公式化简函数，得到伴随向量，再计算其模长。
(2) 先由伴随函数定义求出，再利用三角形内角和及两角差的正弦公式，求出与，作比即可证明结论。
(3) 将方程化简为，根据的符号分段讨论函数，结合图像分析的取值范围。
（1）因为，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
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