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广东省广州市华侨、协和、增城中学等三校2024~2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1． (　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定
3．在中，点D在边AB上，．记，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（　　）
A． B． C． D．或
8．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则（　　）
A．
B．的实部与虚部之差为
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
11．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是　 　．
13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且与所在直线互相垂直，则该棱台的体积为　 　．
14．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值.
16．在中，角，，所对应的边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值.
17．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
18．在中，角的对边分别为，若．
（1）求角的大小；
（2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值．
19．如图，点，，在函数的图象上．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法法则，乘开整理即可.
2．【答案】C
【知识点】平行公理；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
易知分别为的中点，则，
因为分别是线段的中点，所以，故.，
故答案为：C.
【分析】连接，由分别为的中点，分别是线段的中点，根据中位线性质以及平行直线的传递性证明即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为点D在边AB上，，
所以，即，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据已知的几何条件结合平面向量基本定理，从而找出正确的选项．
4．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：方法一：在中，，
因为，
，
由正弦定理得：，所以，
所以树的高度为.
方法二：设树高为，则，则.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：在中，利用正弦定理得出PB的长，再结合正弦函数的定义得出树的高度.
方法二：设树高为，则由得出树的高度.
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，易知，，，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据向量坐标运算和模长公式先求以及，再根据投影向量的计算公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵是关于的方程（，）的一个根，
∴（，），化简得，
∴，解得，
∴，
如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，
则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为，
若，则，
∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆，
∴围成的面积为.
故答案为：A.
【分析】先由是关于的方程（，）的一个根，求出，然后由复数减法的几何意义求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，
，，（或），
由得，又，所以，
由得，又，所以，
（或，又，所以）
所以、夹角为或，
当、夹角为时，则；
当、夹角为时，则.
所以或.
故答案为：D.
【分析】由向量的数量积求出<，>，<，>，数形结合可得出<，>为或，分别代入平面向量数量积的定义可得解.
8．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
当时，，
则，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求得函数的解析式，结合x的取值范围，根据正弦函数的性质求值域即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
A、，故A正确；
B、的实部与虚部之差为，故B正确；
C、，故C正确；
D、在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简复数，再利用复数的模长公式求解即可判断A；根据复数的概念即可判断B；求共轭复数即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，可得是菱形，即，
A、与不一定垂直，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、在上的投影向量，
在上的投影向量，
故C正确；
D、由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】作向量，在中，，，由题意，可得，根据向量的数量积运算即可判断ABD；根据投影向量的定义，结合向量相等的充要条件即可判断C.
11．【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于中，由正弦定理得，
∵三角形内角和为π，则，得，即，由，则，
故，所以或，即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理得，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
∵函数单调递增，所以可得，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
12．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由向量，对应的复数分别为，.
可得，则，即向量对应的复数为.
故答案为：.
【分析】由题意可得点的坐标，根据向量的坐标运算求得的坐标，结合复数与向量的对应关系求对应的复数即可.
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，过D作平行线，交于点，连接DE，如图所示：
又，则四边形为平行四边形，
又由题，，则，
又，则，
则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为，
则棱台体积为：.
故答案为：.
【分析】连接，过D作平行线，交于点，连接DE，可得四边形为平行四边形，求得对应边的长度，由与所在直线互相垂直，可得，解直角，求得棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，；
当当在弧中点时，；
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
故填：.
【分析】利用正方形的结构特征和中点的性质，再结合几何法得出的取值范围，再利用向量的数量积运算法则和二次函数的图象求最值的方法，进而得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
又，，
所以，解得，
所以.
（3）解：，
，
，
，
，
解得.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算得出 的坐标。
（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量相等的判断方法，进而得出实数m，n的值。
16．【答案】解：1、在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以.
2、因为的面积为，∴，
由余弦定理，，所以.
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）结合正弦定理原式可化为，结合角的范围得解；
（2）代入面积公式可得，结合余弦定理得，进而得解.
17．【答案】（1）解：在中，，可得，
在中，，，可得，
点的圆柱的底面圆上，则，
，
由，得，可得，
则圆柱的表面积；
（2）解：三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
故三棱锥外接球的体积.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）分别在和中，求得的长，由点的圆柱的底面圆上，可得，再求，由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算即可；
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，根据球的体积公式计算即可.
（1）∵在中，，
∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
所以，
于是由，得，
∴，
∴圆柱的表面积.
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
所以三棱锥外接球的体积.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
由，可得，
即，又，
设，则，
，
，当且仅当即时等号成立，
则，即的最大值为3.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦理化角为边，再由余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论可得，先由求出，再将代入，设，得到，结合基本不等式求解即可.
（1）由题和正弦定理得，整理得，
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为，所以由题，
所以由得，
即，
又，设，则，
所以，
又，当且仅当即时等号成立，
所以，即的最大值为3.
19．【答案】（1）解：由图可知：，解得，
因为，所以，解得，
又因为在处取得最小值，
所以，得，
令，，解得，，
又因为，所以，由，得，所以，
综上，；
（2）解：当时，，则，
由，可得，，
记四边形OMQN的面积为S，则，
又
，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值，
故四边形OMQN面积的最大值是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据坐标求函数的周期，再根据周期公式求得，由图可知函数处取得最小值，从而可求出的值，再将点的坐标代入函数中可求出，即可求得函数的解析式；
（2）根据，， 求得，，设四边形OMQN的面积为S，则，代入根据正弦两角和公式结合辅助角公式化简可得，根据三角函数的性质求解即可.
（1）由图可知的周期T满足，得．
又因为，所以，解得．
又在处取得最小值，
即，得，
所以，，解得，．
因为，所以．由，
得，所以．
综上，．
（2）当时，，
所以．由知．
此时．
记四边形OMQN的面积为S，则．
又
．
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值．
所以四边形OMQN面积的最大值是．
1 / 1广东省广州市华侨、协和、增城中学等三校2024~2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1． (　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法法则，乘开整理即可.
2．如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定
【答案】C
【知识点】平行公理；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
易知分别为的中点，则，
因为分别是线段的中点，所以，故.，
故答案为：C.
【分析】连接，由分别为的中点，分别是线段的中点，根据中位线性质以及平行直线的传递性证明即可.
3．在中，点D在边AB上，．记，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为点D在边AB上，，
所以，即，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据已知的几何条件结合平面向量基本定理，从而找出正确的选项．
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：方法一：在中，，
因为，
，
由正弦定理得：，所以，
所以树的高度为.
方法二：设树高为，则，则.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：在中，利用正弦定理得出PB的长，再结合正弦函数的定义得出树的高度.
方法二：设树高为，则由得出树的高度.
5．已知向量，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，易知，，，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据向量坐标运算和模长公式先求以及，再根据投影向量的计算公式求解即可.
6．已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵是关于的方程（，）的一个根，
∴（，），化简得，
∴，解得，
∴，
如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，
则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为，
若，则，
∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆，
∴围成的面积为.
故答案为：A.
【分析】先由是关于的方程（，）的一个根，求出，然后由复数减法的几何意义求解即可.
7．已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，
，，（或），
由得，又，所以，
由得，又，所以，
（或，又，所以）
所以、夹角为或，
当、夹角为时，则；
当、夹角为时，则.
所以或.
故答案为：D.
【分析】由向量的数量积求出<，>，<，>，数形结合可得出<，>为或，分别代入平面向量数量积的定义可得解.
8．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
当时，，
则，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求得函数的解析式，结合x的取值范围，根据正弦函数的性质求值域即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则（　　）
A．
B．的实部与虚部之差为
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
A、，故A正确；
B、的实部与虚部之差为，故B正确；
C、，故C正确；
D、在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简复数，再利用复数的模长公式求解即可判断A；根据复数的概念即可判断B；求共轭复数即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.
10．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
【答案】B,C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，可得是菱形，即，
A、与不一定垂直，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、在上的投影向量，
在上的投影向量，
故C正确；
D、由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】作向量，在中，，，由题意，可得，根据向量的数量积运算即可判断ABD；根据投影向量的定义，结合向量相等的充要条件即可判断C.
11．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于中，由正弦定理得，
∵三角形内角和为π，则，得，即，由，则，
故，所以或，即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理得，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
∵函数单调递增，所以可得，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是　 　．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由向量，对应的复数分别为，.
可得，则，即向量对应的复数为.
故答案为：.
【分析】由题意可得点的坐标，根据向量的坐标运算求得的坐标，结合复数与向量的对应关系求对应的复数即可.
13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且与所在直线互相垂直，则该棱台的体积为　 　．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，过D作平行线，交于点，连接DE，如图所示：
又，则四边形为平行四边形，
又由题，，则，
又，则，
则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为，
则棱台体积为：.
故答案为：.
【分析】连接，过D作平行线，交于点，连接DE，可得四边形为平行四边形，求得对应边的长度，由与所在直线互相垂直，可得，解直角，求得棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
14．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，；
当当在弧中点时，；
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
故填：.
【分析】利用正方形的结构特征和中点的性质，再结合几何法得出的取值范围，再利用向量的数量积运算法则和二次函数的图象求最值的方法，进而得出的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
又，，
所以，解得，
所以.
（3）解：，
，
，
，
，
解得.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算得出 的坐标。
（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量相等的判断方法，进而得出实数m，n的值。
16．在中，角，，所对应的边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】解：1、在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以.
2、因为的面积为，∴，
由余弦定理，，所以.
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）结合正弦定理原式可化为，结合角的范围得解；
（2）代入面积公式可得，结合余弦定理得，进而得解.
17．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）解：在中，，可得，
在中，，，可得，
点的圆柱的底面圆上，则，
，
由，得，可得，
则圆柱的表面积；
（2）解：三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
故三棱锥外接球的体积.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）分别在和中，求得的长，由点的圆柱的底面圆上，可得，再求，由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算即可；
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，根据球的体积公式计算即可.
（1）∵在中，，
∴，
又在中，，，∴，
而点的圆柱的底面圆上，∴，
所以，
于是由，得，
∴，
∴圆柱的表面积.
（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，
则外接球的球心是的中点，半径，
所以三棱锥外接球的体积.
18．在中，角的对边分别为，若．
（1）求角的大小；
（2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
由，可得，
即，又，
设，则，
，
，当且仅当即时等号成立，
则，即的最大值为3.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦理化角为边，再由余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论可得，先由求出，再将代入，设，得到，结合基本不等式求解即可.
（1）由题和正弦定理得，整理得，
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为，所以由题，
所以由得，
即，
又，设，则，
所以，
又，当且仅当即时等号成立，
所以，即的最大值为3.
19．如图，点，，在函数的图象上．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值．
【答案】（1）解：由图可知：，解得，
因为，所以，解得，
又因为在处取得最小值，
所以，得，
令，，解得，，
又因为，所以，由，得，所以，
综上，；
（2）解：当时，，则，
由，可得，，
记四边形OMQN的面积为S，则，
又
，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值，
故四边形OMQN面积的最大值是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据坐标求函数的周期，再根据周期公式求得，由图可知函数处取得最小值，从而可求出的值，再将点的坐标代入函数中可求出，即可求得函数的解析式；
（2）根据，， 求得，，设四边形OMQN的面积为S，则，代入根据正弦两角和公式结合辅助角公式化简可得，根据三角函数的性质求解即可.
（1）由图可知的周期T满足，得．
又因为，所以，解得．
又在处取得最小值，
即，得，
所以，，解得，．
因为，所以．由，
得，所以．
综上，．
（2）当时，，
所以．由知．
此时．
记四边形OMQN的面积为S，则．
又
．
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值．
所以四边形OMQN面积的最大值是．
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