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四川省眉山市仁寿县城区初中学校20254-2025学年 八年级下学期数学期中质量监测试题
一、单选题（每小题4分，共计48分）
1．下列代数式中是分式的为（　　）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．一粒某植物花粉的质量约为0.000037毫克，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如果把分式中的x，y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
5．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．
6．当时，函数的图象在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A． B．2 C．4 D．
8．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是（　　）
A．01 D．b<2
12．如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于两点，连接．则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共计24分）
13．在直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
14．把直线y=2x+1，向下平移3个单位得到直线　 　．
15．已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为　 　
16．一次函数的图象与y轴交于y轴正半轴，则m的取值范围是　 　．
17．已知一次函数的图象经过点，并且它的图象不经过第一象限，设，则a的取值范围为　 　，S的取值范围为　 　．
18．如图，在平系面直角坐标中，轴于点A，轴于点C，函数的图象分别交、于点D、E．当且的面积为3.6时，则k的值是　 　．
三、解答题（19题10分20，21题8分22，23，24，25题10分，25题12分，共78分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值．
21．城区某学校政教处对清明节糖有作品进行颁奖，获得一等奖和二等奖的作品分别颁发笔记本和钢笔，经询价得知，每个笔记本单价比每支钢笔单价贵2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各是多少元？
（2）若此次50名同学获奖，每名获奖同学将获得一个笔记本或一支钢笔，要使购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元，那么最多可以购买多少个笔记本？
22．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于x轴对称的，并写出坐标；（要求A与，B与，C与相对应）
（2）若在x轴上有一动点P，当的值最大时，在图中作图标注点P位置，并直接写出此时点P的坐标；
（3）若在y轴上有另一动点Q，使以点B、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点Q的坐标．
23．如图，直线与双曲线式与的图象相交于两点．
（1）求点B的坐标和直线解析式；
（2）连接，已知点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（3）直线与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由，
24．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）分式用分离整式法可化为_____________形式．
（2）已知，利用分离整式法求y的取值范围？
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？
25．为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
26．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象；
（3）在（2）的条件下，当时，求t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、此选项的代数式分母中含有未知数，是分式，符合题意；
B、由于π是常数，此选项中的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意；
C、 此选项的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意；
D、 此选项的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意.
故答案为：A ．
【分析】形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列出关于字母x的不等式，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000037用科学记数法表示为，故B正确.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则，
则分式的值不变
故答案为：B．
【分析】先把原分式中的x、y换为2x与2y，然后分子分母分别利用提取公因式分解因式，进而约分化化简，最后将化简的结果与原分式比较即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
且，
解得．
故答案为：A．
【分析】 若分式的值为零，则分子的值为0，且分母的值不为0，据此列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的系数，
∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
∴当时，图象位于第四象限．
故答案为：A．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象两支分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断可得答案.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得：
，
∵原方程有增根，
∴，
解得：，
把代入，得：
，
∴．
故答案为：C．
【分析】先在原方程两边同时乘以x-3将分式方程转化为整式方程，然后根据增根就是使最简公分母为零的x的值确定增根的值，进而根据增根是分式方程化得的整式方程的根，从而把增根代入化得的整式方程的方程即可求出m的值．
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数中，，，
一次函数的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：B．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意判断可得答案.
9．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；数形结合
【解析】【解答】解：当k＞0时，函数，且为常数图象在一、三象限，此时的图象在第一、二、三象限，故B选项正确，符合题意，A选项错误，不符合题意；
当k＜0时，函数，且为常数图象在二、四象限，此时的图象在第二、三、四象限，故C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】分k＞0与k＜0两种情况，结合一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；反比例函数，且为常数当k＞0时，图象在一、三象限，反比例函数，且为常数当k＜0时，图象在二、四象限，逐一判断即可.
10．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：；
所列方程为：-＝．
故答案为：B．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
11．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知， ，点 在点右边，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由于该反比例函数图象位于第一象限，故函数值y随着自变量x的增大而减小，结合点B在点A的右边即可判断得出答案.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：①由图象知，反比例函数经过第二，四象限，一次函数经过第二、三、四象限，
∴，，
，故①符合题意；
②把、代入中得，
，
∴
故②符合题意；
③把、代入得，
解得，
，
，
已知直线与轴、轴相交于、两点，
，，
，，
∵直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴令，，
即
∴，
，，，
∴，故③符合题意；
④由图象知不等式的解集是或，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图象与系数的关系， 由反比例函数经过第二，四象限得k2＜0，由一次函数经过第二、三、四象限得k1＜0，b＜0，再根据有理数乘法法则判断①；根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数可得到-2m=n，从而可判断②；把A、B两点坐标分别代入y=k1x+b并结合-2m=n可得y=-mx-m，然后根据直线与坐标轴交点的坐标特点可求得点P、Q的坐标，根据三角形的面积公式即可得到△AOP、△BOQ、△POQ的面积，进而根据S△AOB=S△AOP+S△BOQ+S△OPQ表示出S△AOB，从而可判断③；从图象角度看求不等式的解集，就是求一次函数图象在反比例函数图象上方部分相对应的自变量的取值范围，结合两交点横坐标即可得出答案，据此可判断④.
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，可直接得出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线y=2x+1向下平移3个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减，左加右减”直接解答即可.
15．【答案】m＞-6且m≠-4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程整理得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6
因为x＞0，所以m+6＞0，即m＞-6．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠2，即m+6≠2，所以m≠-4．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞-6且m≠-4
【分析】根据解分式方程的步骤去父母、解一元一次方程，求出方程的解，再由解是正数，得到m的取值范围.
16．【答案】且
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与y轴交于y轴正半轴，
∴
解得且，
故答案为：且.
【分析】一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）中，当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
17．【答案】；
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不经过第一象限，
得，，
∵一次函数的图象过点，
∴．
由此得，
∴，
∵
∴，
把代入得，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：，．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意得出a＜0，b≤0，然后将点(2，-3)代入y=ax+b可得2a+b=-3，用含a的式子表示出b，再根据b≤0建立出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围；把b=-2a-3代入s=a+2b得s=-3a-6，用含s的式子表示出a，进而代入a的取值范围的式子，求解即可得出s的取值范围.
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设．
∵，
∴．
∴，
又∵的面积为3.6，
∴，
∴，即，
∵D，E都在反比例函数图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】设B(5a，b)，由点的坐标与图形性质得E(5a，b)，D(a，b)，则BD=4a，BE=b-d，由三角形面积公式结合△BDE的面积为3.6建立方程得出ab-ad=1.8；根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得ab=5ad，从而整体替换求出ad的值，进而即可求出k的值.
19．【答案】解：（1）
；
（2），
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，原方程无解．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂法则“”、立方根定义及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再根据有理数加减法运算法则计算即可；
（2）方程两边同时乘以最简公分母x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
20．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号内的整式x看成分母为“1”的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后根据原分式有意义的条件将x=1代入化简后的式子计算即可.
21．【答案】（1）解： 设每支钢笔x元，则笔记本的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故笔记本的单价为：（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）解： 设购买y本笔记本，则购买钢笔支，
依题意得：，
解得：，
故最多购买笔记本20本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为元，根据总价除以单价等于数量及“ 用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同 ”列出方程，求解并检验即可得出答案；
（2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为支，根据单价乘以数量等于总价及购买“ 购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元 ”列出不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案．
（1）设每支钢笔x元，则笔记本的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故笔记本的单价为：（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔支，
依题意得：，
解得：，
故最多购买笔记本20本．
22．【答案】（1）解： 如图，即为所求，，
（2）解：∵，
∴当P，A，C共线时，的值最大，
∴延长交x轴于点P，点P即为所求，；
（3）解：点Q的坐标为或或
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的对称性；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）当时，，
当时，，
当时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
综上可知，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，进而根据点A1、B1、C1所在的位置写出其坐标；
（2）根据三角形三边关系可得|PA-PC|≤AC，故当P、A、C三点共线时，|PA-PC|=AC最大，从而延长AC交x轴于点P，点P即为所求，最后根据点P所在的位置写出其坐标即可；
（3）根据等腰三角形的定义，分BC=BQ，BQ=CQ与BC=CQ三种情况，分别利用方格纸的特点、等腰三角形的轴对称性及两点间的距离公式件方程，求解即可.
（1）如图，即为所求，，
（2）∵，
∴当P，A，C共线时，的值最大，
∴延长交x轴于点P，点P即为所求，；
（3）当时，，
当时，，
当时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
综上可知，点Q的坐标为或或．
23．【答案】（1）解：把点代入
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，
∴点，
把点，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，，
∴点，即，
∴，
设点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点或；
（3）解：存在，如图，作点C关于y轴的对称点，则，连接，，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先将点A坐标代入双曲线式求出k2的值，从而得到双曲线解析式，然后将B(-3，m)代入所求的双曲线解析式求出m的值，从而得到点B坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）先根据直线与x轴交点的坐标特点求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式及S△ABO=S△AOC+S△BOC计算出△ABO的面积；设点P(n，0)，根据S△PBO=2S△ABO建立方程，求解得出n的值，从而得到点P的坐标；
（3）存在，如图，作点C关于y轴的对称点C'，则，连接BC'，CD，由轴对称性质得CD=C'D，则可得出当B、D、C'三点共线时，△BCD周长最小；利用那个待定系数法求出直线BC'的解析式，进而令所求解析式中的x=0算出对应的函数值，即可得到点D的坐标.
（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，
∴点，
把点，代入得：
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，，
∴点，即，
∴，
设点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点或；
（3）解：存在，
如图，作点C关于y轴的对称点，则，连接，，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
24．【答案】（1）
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴（，
∴当时，最小值是27．
【知识点】分式的加减法；偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）按照阅读材料方法，把a+5拆分成(a+2)+3，然后将a+2看成一个整体，利用多项式除以单项式法则计算即可；
（2）用分离常数法，把原式化为，由偶数次幂的非负性得出a2+2≥2，进而根据有理数除法法则得出，最后再根据不等式的性质即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得根据整式加减法法则及乘法法则求出x+y与xy，利用配方法将x2+y2+xy变形为(x+y)2-xy，然后整体代入后再利用配方法变形为一个式子的完全平方与一个常数的和得形式，最后结合偶数次幂的非负性即可得答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，
∴，
∴，
而，
∵，
∴（，
∴当时，最小值是27．
25．【答案】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，
由题意，得，
方程两边乘，得，
解得，
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为．
故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元．
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴．
∴．
由题意，利润=-20y+4000，
∵，
∴W随y的增大而减小，
∴当时，W的最大值为元，
∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用总价除以单价等于数量及“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可；
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合“ 购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍 ”列出不等式，求出y的范围；根据单件利润乘销售数量等于总利润求出商场销售甲乙两品牌T恤衫的利润W关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解．
26．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
又∵点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵在直线上，
∴，
又∵双曲线过Q，
∴，
∴，
∵点B(10，8)，四边形OABC是矩形，
∴OA=10，OC=8，
∵10÷2=5，18÷2=9，
∴分类讨论：
①当时，，
过Q作，垂足为D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
②当时，，
过Q作，垂足为E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
综上所述，．
如图，
（3）解： 把代入，得，．
把代入，得，．
结合图象可知，当时，t的取值范围是或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出BC∥OA，然后结合点的坐标与图形性质直接得点C的坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）将点Q(5，n)代入直线AC的解析式算出n的值，从而得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入双曲线算出m的值，即可得到双曲线的解析式；分类讨论：①当时，根据路程、速度、时间三者的关系及线段和差得，过Q作，垂足为D，由点Q的坐标得出OD=4，利用三角形面积公式求出函数解析式；②当时，根据路程、速度、时间三者的关系及线段和差得，过Q作，垂足为E，利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可；
（3）分别将s=10代入（2）所求的函数解析式算出对应的t的值，结合图象分两种情况即可求出t的取值范围.
（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，将、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵在直线上，
∴，
又∵双曲线过Q，
∴，
∴，
②当时，，
过Q作，垂足为D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
当时，，
过Q作，垂足为E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
综上所述，．
如图，
（3）把代入，得，．
把代入，得，．
结合图象可知，当时，t的取值范围是或．
1 / 1四川省眉山市仁寿县城区初中学校20254-2025学年 八年级下学期数学期中质量监测试题
一、单选题（每小题4分，共计48分）
1．下列代数式中是分式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、此选项的代数式分母中含有未知数，是分式，符合题意；
B、由于π是常数，此选项中的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意；
C、 此选项的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意；
D、 此选项的代数式分母中不含未知数，不是分式，不符合题意.
故答案为：A ．
【分析】形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
2．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列出关于字母x的不等式，求解即可.
3．一粒某植物花粉的质量约为0.000037毫克，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000037用科学记数法表示为，故B正确.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．如果把分式中的x，y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则，
则分式的值不变
故答案为：B．
【分析】先把原分式中的x、y换为2x与2y，然后分子分母分别利用提取公因式分解因式，进而约分化化简，最后将化简的结果与原分式比较即可得出结论.
5．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
且，
解得．
故答案为：A．
【分析】 若分式的值为零，则分子的值为0，且分母的值不为0，据此列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
6．当时，函数的图象在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的系数，
∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
∴当时，图象位于第四象限．
故答案为：A．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象两支分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断可得答案.
7．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得：
，
∵原方程有增根，
∴，
解得：，
把代入，得：
，
∴．
故答案为：C．
【分析】先在原方程两边同时乘以x-3将分式方程转化为整式方程，然后根据增根就是使最简公分母为零的x的值确定增根的值，进而根据增根是分式方程化得的整式方程的根，从而把增根代入化得的整式方程的方程即可求出m的值．
8．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数中，，，
一次函数的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：B．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意判断可得答案.
9．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；数形结合
【解析】【解答】解：当k＞0时，函数，且为常数图象在一、三象限，此时的图象在第一、二、三象限，故B选项正确，符合题意，A选项错误，不符合题意；
当k＜0时，函数，且为常数图象在二、四象限，此时的图象在第二、三、四象限，故C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】分k＞0与k＜0两种情况，结合一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；反比例函数，且为常数当k＞0时，图象在一、三象限，反比例函数，且为常数当k＜0时，图象在二、四象限，逐一判断即可.
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：；
所列方程为：-＝．
故答案为：B．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
11．如图，在平面直角坐标系中，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是（　　）
A．01 D．b<2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知， ，点 在点右边，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由于该反比例函数图象位于第一象限，故函数值y随着自变量x的增大而减小，结合点B在点A的右边即可判断得出答案.
12．如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于两点，连接．则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：①由图象知，反比例函数经过第二，四象限，一次函数经过第二、三、四象限，
∴，，
，故①符合题意；
②把、代入中得，
，
∴
故②符合题意；
③把、代入得，
解得，
，
，
已知直线与轴、轴相交于、两点，
，，
，，
∵直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴令，，
即
∴，
，，，
∴，故③符合题意；
④由图象知不等式的解集是或，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图象与系数的关系， 由反比例函数经过第二，四象限得k2＜0，由一次函数经过第二、三、四象限得k1＜0，b＜0，再根据有理数乘法法则判断①；根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数可得到-2m=n，从而可判断②；把A、B两点坐标分别代入y=k1x+b并结合-2m=n可得y=-mx-m，然后根据直线与坐标轴交点的坐标特点可求得点P、Q的坐标，根据三角形的面积公式即可得到△AOP、△BOQ、△POQ的面积，进而根据S△AOB=S△AOP+S△BOQ+S△OPQ表示出S△AOB，从而可判断③；从图象角度看求不等式的解集，就是求一次函数图象在反比例函数图象上方部分相对应的自变量的取值范围，结合两交点横坐标即可得出答案，据此可判断④.
二、填空题（每小题4分，共计24分）
13．在直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，可直接得出答案.
14．把直线y=2x+1，向下平移3个单位得到直线　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线y=2x+1向下平移3个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减，左加右减”直接解答即可.
15．已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为　 　
【答案】m＞-6且m≠-4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程整理得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6
因为x＞0，所以m+6＞0，即m＞-6．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠2，即m+6≠2，所以m≠-4．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞-6且m≠-4
【分析】根据解分式方程的步骤去父母、解一元一次方程，求出方程的解，再由解是正数，得到m的取值范围.
16．一次函数的图象与y轴交于y轴正半轴，则m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与y轴交于y轴正半轴，
∴
解得且，
故答案为：且.
【分析】一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）中，当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
17．已知一次函数的图象经过点，并且它的图象不经过第一象限，设，则a的取值范围为　 　，S的取值范围为　 　．
【答案】；
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不经过第一象限，
得，，
∵一次函数的图象过点，
∴．
由此得，
∴，
∵
∴，
把代入得，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：，．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意得出a＜0，b≤0，然后将点(2，-3)代入y=ax+b可得2a+b=-3，用含a的式子表示出b，再根据b≤0建立出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围；把b=-2a-3代入s=a+2b得s=-3a-6，用含s的式子表示出a，进而代入a的取值范围的式子，求解即可得出s的取值范围.
18．如图，在平系面直角坐标中，轴于点A，轴于点C，函数的图象分别交、于点D、E．当且的面积为3.6时，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设．
∵，
∴．
∴，
又∵的面积为3.6，
∴，
∴，即，
∵D，E都在反比例函数图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】设B(5a，b)，由点的坐标与图形性质得E(5a，b)，D(a，b)，则BD=4a，BE=b-d，由三角形面积公式结合△BDE的面积为3.6建立方程得出ab-ad=1.8；根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得ab=5ad，从而整体替换求出ad的值，进而即可求出k的值.
三、解答题（19题10分20，21题8分22，23，24，25题10分，25题12分，共78分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2），
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，原方程无解．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂法则“”、立方根定义及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再根据有理数加减法运算法则计算即可；
（2）方程两边同时乘以最简公分母x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
20．化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号内的整式x看成分母为“1”的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后根据原分式有意义的条件将x=1代入化简后的式子计算即可.
21．城区某学校政教处对清明节糖有作品进行颁奖，获得一等奖和二等奖的作品分别颁发笔记本和钢笔，经询价得知，每个笔记本单价比每支钢笔单价贵2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各是多少元？
（2）若此次50名同学获奖，每名获奖同学将获得一个笔记本或一支钢笔，要使购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元，那么最多可以购买多少个笔记本？
【答案】（1）解： 设每支钢笔x元，则笔记本的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故笔记本的单价为：（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）解： 设购买y本笔记本，则购买钢笔支，
依题意得：，
解得：，
故最多购买笔记本20本．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为元，根据总价除以单价等于数量及“ 用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同 ”列出方程，求解并检验即可得出答案；
（2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为支，根据单价乘以数量等于总价及购买“ 购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元 ”列出不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案．
（1）设每支钢笔x元，则笔记本的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故笔记本的单价为：（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔支，
依题意得：，
解得：，
故最多购买笔记本20本．
22．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于x轴对称的，并写出坐标；（要求A与，B与，C与相对应）
（2）若在x轴上有一动点P，当的值最大时，在图中作图标注点P位置，并直接写出此时点P的坐标；
（3）若在y轴上有另一动点Q，使以点B、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点Q的坐标．
【答案】（1）解： 如图，即为所求，，
（2）解：∵，
∴当P，A，C共线时，的值最大，
∴延长交x轴于点P，点P即为所求，；
（3）解：点Q的坐标为或或
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的对称性；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）当时，，
当时，，
当时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
综上可知，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，进而根据点A1、B1、C1所在的位置写出其坐标；
（2）根据三角形三边关系可得|PA-PC|≤AC，故当P、A、C三点共线时，|PA-PC|=AC最大，从而延长AC交x轴于点P，点P即为所求，最后根据点P所在的位置写出其坐标即可；
（3）根据等腰三角形的定义，分BC=BQ，BQ=CQ与BC=CQ三种情况，分别利用方格纸的特点、等腰三角形的轴对称性及两点间的距离公式件方程，求解即可.
（1）如图，即为所求，，
（2）∵，
∴当P，A，C共线时，的值最大，
∴延长交x轴于点P，点P即为所求，；
（3）当时，，
当时，，
当时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
综上可知，点Q的坐标为或或．
23．如图，直线与双曲线式与的图象相交于两点．
（1）求点B的坐标和直线解析式；
（2）连接，已知点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（3）直线与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由，
【答案】（1）解：把点代入
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，
∴点，
把点，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，，
∴点，即，
∴，
设点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点或；
（3）解：存在，如图，作点C关于y轴的对称点，则，连接，，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先将点A坐标代入双曲线式求出k2的值，从而得到双曲线解析式，然后将B(-3，m)代入所求的双曲线解析式求出m的值，从而得到点B坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）先根据直线与x轴交点的坐标特点求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式及S△ABO=S△AOC+S△BOC计算出△ABO的面积；设点P(n，0)，根据S△PBO=2S△ABO建立方程，求解得出n的值，从而得到点P的坐标；
（3）存在，如图，作点C关于y轴的对称点C'，则，连接BC'，CD，由轴对称性质得CD=C'D，则可得出当B、D、C'三点共线时，△BCD周长最小；利用那个待定系数法求出直线BC'的解析式，进而令所求解析式中的x=0算出对应的函数值，即可得到点D的坐标.
（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，
∴点，
把点，代入得：
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，，
∴点，即，
∴，
设点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点或；
（3）解：存在，
如图，作点C关于y轴的对称点，则，连接，，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
24．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）分式用分离整式法可化为_____________形式．
（2）已知，利用分离整式法求y的取值范围？
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？
【答案】（1）
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴（，
∴当时，最小值是27．
【知识点】分式的加减法；偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）按照阅读材料方法，把a+5拆分成(a+2)+3，然后将a+2看成一个整体，利用多项式除以单项式法则计算即可；
（2）用分离常数法，把原式化为，由偶数次幂的非负性得出a2+2≥2，进而根据有理数除法法则得出，最后再根据不等式的性质即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得根据整式加减法法则及乘法法则求出x+y与xy，利用配方法将x2+y2+xy变形为(x+y)2-xy，然后整体代入后再利用配方法变形为一个式子的完全平方与一个常数的和得形式，最后结合偶数次幂的非负性即可得答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，
∴，
∴，
而，
∵，
∴（，
∴当时，最小值是27．
25．为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，
由题意，得，
方程两边乘，得，
解得，
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为．
故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元．
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴．
∴．
由题意，利润=-20y+4000，
∵，
∴W随y的增大而减小，
∴当时，W的最大值为元，
∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用总价除以单价等于数量及“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可；
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合“ 购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍 ”列出不等式，求出y的范围；根据单件利润乘销售数量等于总利润求出商场销售甲乙两品牌T恤衫的利润W关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解．
26．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象；
（3）在（2）的条件下，当时，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
又∵点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵在直线上，
∴，
又∵双曲线过Q，
∴，
∴，
∵点B(10，8)，四边形OABC是矩形，
∴OA=10，OC=8，
∵10÷2=5，18÷2=9，
∴分类讨论：
①当时，，
过Q作，垂足为D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
②当时，，
过Q作，垂足为E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
综上所述，．
如图，
（3）解： 把代入，得，．
把代入，得，．
结合图象可知，当时，t的取值范围是或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出BC∥OA，然后结合点的坐标与图形性质直接得点C的坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）将点Q(5，n)代入直线AC的解析式算出n的值，从而得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入双曲线算出m的值，即可得到双曲线的解析式；分类讨论：①当时，根据路程、速度、时间三者的关系及线段和差得，过Q作，垂足为D，由点Q的坐标得出OD=4，利用三角形面积公式求出函数解析式；②当时，根据路程、速度、时间三者的关系及线段和差得，过Q作，垂足为E，利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可；
（3）分别将s=10代入（2）所求的函数解析式算出对应的t的值，结合图象分两种情况即可求出t的取值范围.
（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，将、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵在直线上，
∴，
又∵双曲线过Q，
∴，
∴，
②当时，，
过Q作，垂足为D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
当时，，
过Q作，垂足为E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
综上所述，．
如图，
（3）把代入，得，．
把代入，得，．
结合图象可知，当时，t的取值范围是或．
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