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2026年黑龙江佳木斯市富锦市二中铁中联考一模
数学试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示为由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．体育教师调查了某校6名运动队队员的年龄情况，分别是 10，10，11，12，13，9， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，10.5 B．9，11.5 C．10，13 D．12，12.5
5．2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
7．为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（ ）
A．7 种 B．8种 C．9种 D．10 种
8．如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．如下图，在正方形 中， 连接， 将含的三角板放在如图 的位置上，，，将三角板绕点B 顺时针旋转到△的位置，旋转角是一个锐角，并且使 ， 交 于点F， 求 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．为黑龙江迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积达到110万平方米，创下历史之最，将数据万用科学记数法表示为________________
12．函数 的自变量 x的取值范围是_________________
13．一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个
14．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______．
15．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．
16．如图，△ABC内接于半径为5 cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为_________cm．
17．手工课上小明要用一个底面直径为6，高为4的圆锥，则该圆锥的表面积为__________
18．如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________
19．如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．
20．如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值，其中．
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的， 并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求线段旋转到线段所扫过的面积（结果保留）．
23．如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．某校开展“打造平安校园”活动，随机抽查了部分学生进行校园安全知识测试，测试结果分：A级一优秀；B级一良好：C级一一般：D级一及格：E级一不及格，并将测试结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
(1)本次测试共抽取________名学生
(2)补全条形统计图；扇形统计图中，A级圆心角的度数________度；
(3)该校有2000 名学生，估计及格以上的人数有多少．
25．A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象．
(1)客车的速度为_______，货车的速度为_______；
(2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式；
(3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距．
26．已知：四边形是菱形，点分别在边上，，．
(1)如图①，时，易证（不需要证明）；
(2)如图②，时，线段之间有怎样的数量关系，并加以证明；
(3)如图③，时，线段之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不用证明．
27．某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元．
(1)A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元
(2)文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案
(3)在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大．
28．如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，A两点，直线交 y轴正半轴于点C，且线段的长是一元二次方程的一个根．
(1)求直线的解析式：
(2)动点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发，沿的路线向点A以每秒2个单位长度的速度运动（不与点C，A重合），连接，．设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M为x轴上一点，在第三象限内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
1．C
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
2．A
解析：解：俯视图中共有5个小正方形，
该几何体最底层有5个小正方体．
主视图从左到右各列的高度分别为1，2，3，
第一列（左）只有1个位置，高度必为1；第二列（中）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为2，另一个位置高度为1，共个；
第三列（右）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为3，另一个位置高度为1，共个．
组成这个几何体的小正方体的个数最少为．
3．D
解析：解：A、与不是同类项，不能合并，原式运算错误，不符合题意；
B、，原式运算错误，不符合题意；
C、，原式运算错误，不符合题意；
D、，原式运算正确，符合题意．
4．A
解析：解：首先将这组数据从小到大排序，得：
∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中10出现次数最多，共2次
∴ 这组数据的众数是.
∵ 这组数据共个，为偶数个，中位数为排序后中间两个数的平均数，中间两个数是第3个的和第4个的.
∴ 中位数为
因此这组数据的众数和中位数分别是和．
5．A
解析：解：由题意，得，即.
6．B
解析：解：
方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
方程的解为正数，且分式分母不能为0，
，即，
，
解得：且．
7．B
解析：解：设容纳人的帐篷个，容纳人帐篷个，则
，且为正整数，
，即是偶数，
∵是偶数，则是偶数，同时，即
∴，共个取值，即对应种方案
8．C
解析：解：连接，过点B作轴于点E．
∵轴，轴，
∴，
∵的面积为 ，D为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
∵A是双曲线 上的点，
∴设，
∵轴，交于点D，垂足为C，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，即C为的中点，
∴，
∵B是双曲线 上的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．D
解析：解：如图，四边形 是正方形，过点作，交于点，
∴，
∵，
∴，
∵三角板绕点B 旋转至△，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
即，
解得：．
10．B
解析：解：将绕点A顺时针旋转得到，过点B作，交于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴C，B，M共线，
又，
∴，
∴；
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
若成立，则，
需，
但，而，
无法得到，故②错误；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
设，
∴，
过点作于点，于点，如图，
∴四边形是矩形，
在正方形中，是对角线，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
，
∴，
∵，，
又
∴,
∴,
∵点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上，正确的结论是①③④．
11．
解析：解：万.
12．
解析：解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，
解不等式得，
解不等式得，
取两个解集的公共部分，得．
13．5
解析：解：设黑球有个，则袋子中球的总个数为个．
根据概率公式可得
解得
经检验是原方程的解．
14．
解析：解：解不等式组，得，
∵关于的不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为，
∴，
∴.
15．(或，答案不唯一）
解析：解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：；
故答案为：(或，答案不唯一）．
16．5
解析：连接BO,CO，
∵∠BAC＝30°
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，
∴BC=BO=5cm,
故填：5.
17．
解析：解：∵该圆锥的底面直径为6，
∴该圆锥的底面半径为3，
∵该圆锥的高为4，
∴该圆锥的母线长为，
∴该圆锥的表面积为．
18．
解析：解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E为的中点，
∴N在上，且N为的中点，
∵，
∴，
∵，N为中点，F为中点，
∴，
∴，
∴，
即P为中点，
∵O为中点，
∴P、O重合，
即过O点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由勾股定理得：，
所以，的最小值为．
19．或
解析：解：∵在中，，，，
∴，，
∵为的中点，
∴
由翻折性质得：
分两种情况讨论：
当时
∵，内错角相等得，
结合翻折性质，
∴，由等腰三角形等角对等边得，
当时，延长交于点，
∵，
∴，
由翻折得，
∴在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
综上，的长为或．
20．/
解析：解：连接，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴点D的坐标为，
∵，
∴，
同理可得：，
∴点、、、的纵坐标分别是：、、、，
以此类推，
∴点的纵坐标为，
又，，则直线的解析式为，
当时，即，解得，
故点的坐标为．
21．，1
解析：解：
，
当时，原式．
22．(1)见解析，
(2)见解析，
(3)
解析：（1）解：如图，即为所求，则；
（2）解：如图，即为所求，；
（3）解：如图，
由题意得，，
，
∴线段旋转到线段所扫过的面积
．
23．(1)
(2)或
解析：（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以，
解得，
所以抛物线解析式为：．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
设，过作轴交于点，
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
∴，
∴，
∵
∴，
即，
∴，
解得或，
∴或
24．(1)20
(2)图见解析，
(3)人
解析：（1）解：根据题意得：E级人数为3人，E级所占比例为，
（人），
即本次测试共抽取20名学生；
（2）解：C级人数为（人），
补全统计图为：
扇形统计图中，A级圆心角的度数为；
（3）解：（人），
答：估计及格以上的人数有人．
25．(1)60；45
(2)
(3)或
解析：（1）解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，
则货车的速度为，
地与站的距离为，
客车的速度为；
（2）解：由（1）知，货车的速度为，
货车从地驶向站所需时间为（小时），
2小时后货车的行驶时间为小时，
；
（3）解：设货车出发后，两车相距，
当两车相遇前相距时，
，
解得：；
当两车相遇后相距时，
，
解得：；
综上，当货车出发或后，两车相距．
26．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
解析：（1）证明：连接，交于N，过点F作直线于H，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
连接，交于N，过点F作直线于H，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图：连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
27．(1)A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元
(2)该文具店共有3种进货方案
(3)购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大
解析：（1）解：设A种文具每件的进价为元，则B种文具每件的进价为元．
由题意得，
解得，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元；
（2）解：设购进A种文具a件，则购进B种文具件．
由题意得： ，
整理得 ，
解得：，
∵a为正整数，
∴a的取值为18，19，20，共3种情况，
答：该文具店共有3种进货方案；
（3）解：设总利润为W元，A种文具每件的利润为（元），B种文具每件的利润为（元），
则：，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，此时．
答：购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大．
28．(1)
(2)
(3)或
解析：（1）解：对于直线， 令，得，故；
令，则，解得： ，故，
解一元二次方程，
因式分解得，
解得：或，
∵C在y轴正半轴，∴，即，
设直线解析式为，
代入、得：，
解得：， ，
因此，直线的解析式为：．
（2）解：由（1）知，，
．
当点在上时，即：，如图1，
过点作于，
，
，
，
由运动知，，
，
，
由运动知，，
；
②当点在上时，即：，如图2，
过点作于，
，
，
，
由运动知，，
，
，
，
；
综上，；
（3）解：如图3，
由（2）知，，
∵以为顶点的四边形是菱形，
①和为菱形的边时，，
∵点在轴上，
，
∴由平移得，（舍去）；
②为边，为对角线时，关于x轴对称，则（舍去）；
③为对角线，为边时，，作的中垂线交轴于，交于，
，
，
，
，
，
，
∴，
由平移知，
综上，满足条件的点的坐标为或．

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