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广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由的直观图可知原图中，，
所以的面积为.
故答案为：C.
【分析】要根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原平面图形，再用直角三角形面积公式计算原三角形面积.“识别直观图特征，还原原图，计算面积”.
2．已知平面向量，若，则实数（　　）
A． B．1 C．或1 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算得到的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解．
3．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故答案为：D.
【分析】根据弧长，扇形面积（为扇形圆心角），据此列方程组求解即可．
4．已知点在角的终边上，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据三角函数的定义可求得，进而，即可求得的值.
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算计算即可.
6．西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（　　）．
A．15880 B．22380 C．47640 D．67140
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m，
则正四棱台体积为.
故答案为：B.
【分析】由题意，直接根据棱台的体积公式计算即可.
7．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：当时，，，
因为
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由角的范围，结合同角三角函数基本关系求解，再根据诱导公式求的值即可.
8．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示：
设球心为，点距离下底面的高度为，
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，，
设棱台的外接球的半径为，
由勾股定理可得，解得，
则，故正四棱台的外接球表面积为.
故答案为：D.
【分析】易知正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，根设球心为，点距离下底面的高度为，棱台的外接球的半径为，由题意，根据勾股定理列方程求的外接球的半径为，再根据球的表面积公式求解即可.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，以下结论正确的是（　　）
A．是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求出，根据复数的乘方可判断A；利用模长公式得到B，根据复数的乘法运算判断C；根据复数在复平面中对应的点即可判断D．
10．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为，所以和共线，不能作为基底.
故答案为：.
【分析】根据向量基底的概念，只有不共线的向量才能作为基底，据此逐项判断即可．
11．在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线与直线是异面直线
B．直线与直线是相交直线
C．存在点，使，，，四点共面
D．存在点，使平面
【答案】A,D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】连接，，分别是，的中点，所以，
由，可确定平面，平面平面，
而平面内点直线，故平面，
故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误；
因是的中点，所以，故，，三点确定平面，
平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误；
由选项A知平面，故平面，只需为中点，有，
则平面，故D正确．
故选：AD.
【分析】结合题意，根据直线与直线的位置关系可判定与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线；A正确，B错误；根据平面基本性质可判定平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，C错误，根据线面平行的判定定理可判定
平面，故平面，只需为中点，有，则平面，D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．化简的结果是　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】利用余弦的半角公式，化简原式为，再利用两角和差的余弦公式化简求值即可.
13．若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是　 　
【答案】.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为与的夹角是锐角，所以且向量与不共线，
则，解得.
故答案为：.
【分析】由与的夹角是锐角 ，可得且向量与不共线，根据向量的数量积的运算公式和共线向量的坐标表示，列不等式求解即可.
14．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
即，即，
因为，，所以，所以，
在中，①，
在中，②，
因为，所以，
①②可得，又因为，所以，
即，所以，
令，则，即，解得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为．
故答案为：.
【分析】利用正弦定理，结合两角差的正弦公式化简可得，，再和利用余弦定理可得，进而得到，最后根据基本不等式求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）求函数在上的值域；
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
【答案】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）解：因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据图像先确定，利用周期求出，结合五点法作图法得到即可；
（2）利用整体法求正弦型函数的值域即可；
（3）先根据三角函数的图象变换得到，再令，即可求解．
（1）根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
16．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．
（1）求证：平面；
（2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：
【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接，交于，连接，如图所示：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，交于，连接，由线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理证明即可.
（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）连接，交于，连接
因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，又因为M是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以，平面
又因为平面，平面平面，
所以，
17．如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由题知，均为等边三角形，则四边形为菱形，
，
因为，，所以，
所以，
；
（2）解：因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，所以，
设，则，，
所以，
，
所以
，
因为，所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为，
所以的取值范围.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）易知，均为等边三角形，四边形为菱形，由，结合向量的线性运算及平面向量基本定理用，表示，即可；
（2）根据向量的数量积运算求，设，则，即可表示出.结合向量数量积的运算及，结合二次函数性质求的取值范围即可.
（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.
所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
18．记△的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的范围.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，则，
又因为，所以，所以，所以；
（2）解：因为，则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合辅助角公式以及角的范围求解即可；
（2）由（1）的结论，结合正弦定理、两角和差的正弦公式以及辅助角公式将的范围转化为求的范围，再根据角的范围三角函数的值域求解即可.
（1）由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，则，
因为，
所以.
所以.
因为.所以.所以，
所以.
19．我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”， 求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
【答案】（1）解：①、在 中，由正弦定理得，
因为，所以，
，
，
因为，所以，又因为，所以；
②、由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
（2）解：，由正弦定理可得，
则，因为均为三角形内角，所以（舍）或，
即，所以，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由， 得，
由余弦定理得，
，
，
相加得，得，整理得，
，当且仅当，即时等号成立，
又 因为 而 解得，则实数的最小值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①、利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简求角即可；
②、由①知，则 的三个角都小于，根据三角形面积公式，向量的数量积求解即可；
（2）由正弦定理，化简求得，设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，结合基本不等式求解即可.
（1）①在 中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
.
（2）由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，所以实数的最小值为.
1 / 1广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．已知平面向量，若，则实数（　　）
A． B．1 C．或1 D．4
3．若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
4．已知点在角的终边上，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（　　）．
A．15880 B．22380 C．47640 D．67140
7．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，以下结论正确的是（　　）
A．是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线与直线是异面直线
B．直线与直线是相交直线
C．存在点，使，，，四点共面
D．存在点，使平面
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．化简的结果是　 　.
13．若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是　 　
14．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）求函数在上的值域；
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间．
16．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．
（1）求证：平面；
（2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：
17．如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
18．记△的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的范围.
19．我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”， 求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由的直观图可知原图中，，
所以的面积为.
故答案为：C.
【分析】要根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原平面图形，再用直角三角形面积公式计算原三角形面积.“识别直观图特征，还原原图，计算面积”.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算得到的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解．
3．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故答案为：D.
【分析】根据弧长，扇形面积（为扇形圆心角），据此列方程组求解即可．
4．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据三角函数的定义可求得，进而，即可求得的值.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算计算即可.
6．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m，
则正四棱台体积为.
故答案为：B.
【分析】由题意，直接根据棱台的体积公式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：当时，，，
因为
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由角的范围，结合同角三角函数基本关系求解，再根据诱导公式求的值即可.
8．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示：
设球心为，点距离下底面的高度为，
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，，
设棱台的外接球的半径为，
由勾股定理可得，解得，
则，故正四棱台的外接球表面积为.
故答案为：D.
【分析】易知正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，根设球心为，点距离下底面的高度为，棱台的外接球的半径为，由题意，根据勾股定理列方程求的外接球的半径为，再根据球的表面积公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求出，根据复数的乘方可判断A；利用模长公式得到B，根据复数的乘法运算判断C；根据复数在复平面中对应的点即可判断D．
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底，
因为，所以和共线，不能作为基底.
故答案为：.
【分析】根据向量基底的概念，只有不共线的向量才能作为基底，据此逐项判断即可．
11．【答案】A,D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】连接，，分别是，的中点，所以，
由，可确定平面，平面平面，
而平面内点直线，故平面，
故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误；
因是的中点，所以，故，，三点确定平面，
平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误；
由选项A知平面，故平面，只需为中点，有，
则平面，故D正确．
故选：AD.
【分析】结合题意，根据直线与直线的位置关系可判定与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线；A正确，B错误；根据平面基本性质可判定平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，C错误，根据线面平行的判定定理可判定
平面，故平面，只需为中点，有，则平面，D正确.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】利用余弦的半角公式，化简原式为，再利用两角和差的余弦公式化简求值即可.
13．【答案】.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为与的夹角是锐角，所以且向量与不共线，
则，解得.
故答案为：.
【分析】由与的夹角是锐角 ，可得且向量与不共线，根据向量的数量积的运算公式和共线向量的坐标表示，列不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
即，即，
因为，，所以，所以，
在中，①，
在中，②，
因为，所以，
①②可得，又因为，所以，
即，所以，
令，则，即，解得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为．
故答案为：.
【分析】利用正弦定理，结合两角差的正弦公式化简可得，，再和利用余弦定理可得，进而得到，最后根据基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）解：因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据图像先确定，利用周期求出，结合五点法作图法得到即可；
（2）利用整体法求正弦型函数的值域即可；
（3）先根据三角函数的图象变换得到，再令，即可求解．
（1）根据函数的部分图像，
可得，，所以，
再根据五点法作图，可得，，
又因为，可得，所以，
令，，解得，，
故函数对称中心为，．
（2）因为，可得，
当时，即，；
当时，即，，
所以函数的值域为．
（3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，，解得，，
可得的减区间为，．
16．【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接，交于，连接，如图所示：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，交于，连接，由线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理证明即可.
（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）连接，交于，连接
因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，又因为M是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以，平面
又因为平面，平面平面，
所以，
17．【答案】（1）解：由题知，均为等边三角形，则四边形为菱形，
，
因为，，所以，
所以，
；
（2）解：因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，所以，
设，则，，
所以，
，
所以
，
因为，所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为，
所以的取值范围.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）易知，均为等边三角形，四边形为菱形，由，结合向量的线性运算及平面向量基本定理用，表示，即可；
（2）根据向量的数量积运算求，设，则，即可表示出.结合向量数量积的运算及，结合二次函数性质求的取值范围即可.
（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.
所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，则，
又因为，所以，所以，所以；
（2）解：因为，则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合辅助角公式以及角的范围求解即可；
（2）由（1）的结论，结合正弦定理、两角和差的正弦公式以及辅助角公式将的范围转化为求的范围，再根据角的范围三角函数的值域求解即可.
（1）由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，则，
因为，
所以.
所以.
因为.所以.所以，
所以.
19．【答案】（1）解：①、在 中，由正弦定理得，
因为，所以，
，
，
因为，所以，又因为，所以；
②、由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
（2）解：，由正弦定理可得，
则，因为均为三角形内角，所以（舍）或，
即，所以，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由， 得，
由余弦定理得，
，
，
相加得，得，整理得，
，当且仅当，即时等号成立，
又 因为 而 解得，则实数的最小值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①、利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简求角即可；
②、由①知，则 的三个角都小于，根据三角形面积公式，向量的数量积求解即可；
（2）由正弦定理，化简求得，设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，结合基本不等式求解即可.
（1）①在 中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
.
（2）由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，所以实数的最小值为.
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