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广东省深圳市福田某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
8．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，以下说法正确的是（　　）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
10．下列说法中正确的是（　　）
A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知，，则在上的投影向量的坐标是
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
11．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（　　）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为　 　．
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝　 　.
14．德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．设，，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
17．已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
（1）平面PBC；
（2）．
18．的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线DF与平面所成角的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：易知，则，
即，故.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘方运算以及复数代数形式的乘除运算化简求得z，再根据共轭复数的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，则.
故答案为：D.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和余弦定理，从而建立一元二次方程进行求解得出B的值，从而得出AC的长．
4．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
A选项：令平面为平面，为直线，为直线，
有：，，但，A错误；
B选项：令平面为平面，令平面为平面，
令平面为平面，有：，，而，B错误；
C选项：令平面为平面，令平面为平面，为直线，
有：，，则，而，C错误；
D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合长方体，根据线线、线面、面面位置关系的判定及性质逐项判断即可．
5．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为的中点，所以，
所以，
又因为，所以，
则．
故答案为：C.
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变，注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为，经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，则原图的对角线长是.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法判断即可.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱柱的底面边长为，
由题意可得，即，解得，
因为正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，
则，即球的半径为，
故球的表面积.
故答案为：B.
【分析】设正四棱柱的底面边长为，由题意，根据棱柱的体积公式求得底面边长，再根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
，
，
化简得：，
，
即，
或，
，
或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】将已知条件结合二倍角的正弦公式，再结合两角和的正弦公式，从而化简可得，再结合三角形中角A，B的取值范围得出角A和角B的关系式，从而判断出三角形的形状.
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数的实部是5，故A正确；
B、，故B正确；
C、复数z的共轭复数为：，故C正确；
D、复数在复平面内对应的点，位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】求复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点逐项判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，即与共线，不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误；
B、在上的投影向量的坐标为，故B正确；
C、由，可得，化简得，因为，是非零向量，所以，故C正确；
D、由点，，，可得，，
则，即，不是锐角三角形，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】易知与共线，根据平面向量基本定理即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将两边平方求得即可判断C；由，，可得，，根据向量数量积的坐标运算求得，即，可得不是锐角三角形，即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，在梯形中，即代表圆台的高，
利用勾股定理计算可得，所以A错误；
对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；
对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；
所以该圆台的体积为，可得C正确；
对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；
由弧长公式可知，解得；
所以可得，
设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，
易知，且，
由勾股定理可知，可知D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，根据圆台的轴截面为等腰梯形计算高即可；对于B，利用梯形的面积公式即可计算；对于C，根据圆台的体积公式计算；对于D，根据圆台的侧面展开图，结合勾股定理求解．
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据复数为纯虚数，实部为零，虚部不为零列式求解即可.
13．【答案】5
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接，如图所示：
易知BD∥PM，AC∥PN，则∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，即，
由题意可得，，则.
故答案为：5.
【分析】取的中点，连接，易知即为异面直线AC与BD所成的角，在中求得的长度.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；余弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：易知弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
，
则
，
令，，则，
当时，，
，
，
存在，使，即，
故当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设，，利用向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简可得，再根据角的范围，结合余弦函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：向量，，，
由，可得①；
由，可得②，
联立①②，解得，，即，则，
则；
（2）解：易知，，
则，，
设向量与夹角为，则，
即向量与夹角余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的垂直与共线的坐标表示，列出方程组求的的值，再利用模的运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得，计算，结合向量夹角公式求夹角余弦值即可．
（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．
16．【答案】解：（1）在中，由余弦定理得；
（2）设，则，
因为，所以，
在中，由正弦定理 ，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可；
（2）设，则，利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连结，如图所示：
因为M是PD的中点，所以，，
又因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC；
（2）证明：连结，如图所示：
因为，N是BC的中点，所以，
在中，，，，所以，
由条件，所以，
又因为N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）取的中点，连结，由题意先证明四边形是平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）连结，由题意，利用线面垂直的判定证明平面PDN，再根据线面垂直的性质证明即可.
（1）如图，取的中点，连结，
因为M是PD的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
（2）连结，
因为，N是BC的中点，
所以，
在中，，，，
所以，
由条件，所以，
又N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，则，
在中，因为，，所以，，则，
可得，所以，所以；
（2）解：若中，，，
由正弦定理可得（为外接圆的半径），则，，
因为，则，，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
则，，故.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得，求的值即可；
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求得的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
19．【答案】（1）证明：因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：连结FK，
由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定，证明平面即可求解；
（2）由平面，则即为直线DF与平面所成角，设（），表示出，结合基本不等式即可求最值．
（1）因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）连结FK，由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
1 / 1广东省深圳市福田某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：易知，则，
即，故.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘方运算以及复数代数形式的乘除运算化简求得z，再根据共轭复数的定义求解即可.
2．已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，则.
故答案为：D.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．在中，，，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和余弦定理，从而建立一元二次方程进行求解得出B的值，从而得出AC的长．
4．已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
A选项：令平面为平面，为直线，为直线，
有：，，但，A错误；
B选项：令平面为平面，令平面为平面，
令平面为平面，有：，，而，B错误；
C选项：令平面为平面，令平面为平面，为直线，
有：，，则，而，C错误；
D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合长方体，根据线线、线面、面面位置关系的判定及性质逐项判断即可．
5．如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为的中点，所以，
所以，
又因为，所以，
则．
故答案为：C.
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算求解即可.
6．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变，注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为，经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，则原图的对角线长是.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法判断即可.
7．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱柱的底面边长为，
由题意可得，即，解得，
因为正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，
则，即球的半径为，
故球的表面积.
故答案为：B.
【分析】设正四棱柱的底面边长为，由题意，根据棱柱的体积公式求得底面边长，再根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
8．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
，
，
化简得：，
，
即，
或，
，
或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】将已知条件结合二倍角的正弦公式，再结合两角和的正弦公式，从而化简可得，再结合三角形中角A，B的取值范围得出角A和角B的关系式，从而判断出三角形的形状.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，以下说法正确的是（　　）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、复数的实部是5，故A正确；
B、，故B正确；
C、复数z的共轭复数为：，故C正确；
D、复数在复平面内对应的点，位于第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】求复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点逐项判断即可.
10．下列说法中正确的是（　　）
A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知，，则在上的投影向量的坐标是
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
【答案】B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，即与共线，不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误；
B、在上的投影向量的坐标为，故B正确；
C、由，可得，化简得，因为，是非零向量，所以，故C正确；
D、由点，，，可得，，
则，即，不是锐角三角形，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】易知与共线，根据平面向量基本定理即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将两边平方求得即可判断C；由，，可得，，根据向量数量积的坐标运算求得，即，可得不是锐角三角形，即可判断D.
11．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（　　）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
【答案】B,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，在梯形中，即代表圆台的高，
利用勾股定理计算可得，所以A错误；
对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；
对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；
所以该圆台的体积为，可得C正确；
对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；
由弧长公式可知，解得；
所以可得，
设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，
易知，且，
由勾股定理可知，可知D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，根据圆台的轴截面为等腰梯形计算高即可；对于B，利用梯形的面积公式即可计算；对于C，根据圆台的体积公式计算；对于D，根据圆台的侧面展开图，结合勾股定理求解．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据复数为纯虚数，实部为零，虚部不为零列式求解即可.
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝　 　.
【答案】5
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接，如图所示：
易知BD∥PM，AC∥PN，则∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，即，
由题意可得，，则.
故答案为：5.
【分析】取的中点，连接，易知即为异面直线AC与BD所成的角，在中求得的长度.
14．德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；余弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：易知弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
，
则
，
令，，则，
当时，，
，
，
存在，使，即，
故当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设，，利用向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简可得，再根据角的范围，结合余弦函数的性质求解即可.
四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．设，，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：向量，，，
由，可得①；
由，可得②，
联立①②，解得，，即，则，
则；
（2）解：易知，，
则，，
设向量与夹角为，则，
即向量与夹角余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的垂直与共线的坐标表示，列出方程组求的的值，再利用模的运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得，计算，结合向量夹角公式求夹角余弦值即可．
（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．
16．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【答案】解：（1）在中，由余弦定理得；
（2）设，则，
因为，所以，
在中，由正弦定理 ，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可；
（2）设，则，利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
17．已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
（1）平面PBC；
（2）．
【答案】（1）证明：取的中点，连结，如图所示：
因为M是PD的中点，所以，，
又因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC；
（2）证明：连结，如图所示：
因为，N是BC的中点，所以，
在中，，，，所以，
由条件，所以，
又因为N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）取的中点，连结，由题意先证明四边形是平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）连结，由题意，利用线面垂直的判定证明平面PDN，再根据线面垂直的性质证明即可.
（1）如图，取的中点，连结，
因为M是PD的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
（2）连结，
因为，N是BC的中点，
所以，
在中，，，，
所以，
由条件，所以，
又N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
18．的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）解：，由正弦定理得，则，
在中，因为，，所以，，则，
可得，所以，所以；
（2）解：若中，，，
由正弦定理可得（为外接圆的半径），则，，
因为，则，，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
则，，故.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得，求的值即可；
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求得的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
19．如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线DF与平面所成角的最大值．
【答案】（1）证明：因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：连结FK，
由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定，证明平面即可求解；
（2）由平面，则即为直线DF与平面所成角，设（），表示出，结合基本不等式即可求最值．
（1）因为，，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）连结FK，由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记．
在图1中，因为，所以，
又因为，所以．
又因为，所以．
设（），由，得，解得．
在图2中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以的最大值为，
即直线DF与平面所成角的最大值为．
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