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广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（　　）
A． B． C． D．
3．已知角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，的夹角为45°，且，，则（　　）
A． B． C．1 D．2
5．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（　　）
A． B．
C． D．
6．将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
7．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若向量，，且，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．12
8．函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则为纯虚数的充要条件是
B．若复数（为虚数单位），则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆
10．下列说法正确的是（　　）
A．在中，若，则
B．在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C．若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D．在中，若，则是等腰三角形
11．函数，下列结论正确的是（　　）
A．的图象关于直线对称
B．的一个周期为
C．函数的图象与直线（为常数）在区间上不可能存在3个交点
D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为　 　.
13．两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为　 　km.
14．函数的部分图象如图所示，若，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．已知，且在第三象限.
（1）求和的值；
（2）求的值.
16．已知向量，，，且，.
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
17．在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
18．天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；
（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.
19．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
（1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
（2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
故答案为：A.
【分析】运用复数的除法运算法则，分母实数化可解.
2．【答案】A
【知识点】单位向量；平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：点，，，
，与同方向的单位向量是，
故答案为：A.
【分析】先求出及，代入单位向量公式得解.
3．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：角的终边过点，，，，
由任意角的三角函数的定义知，，.
故答案为：B.
【分析】先代入任意角的三角函数的定义得，再用诱导公式将原式化为，得解
4．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，的夹角为45°，且，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】先根据数量积定义式得到，再根据运算律求解．
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：取中点，连接，
因为是平行四边形，是中点，
则且，所以是平行四边形，
所以，
又，则，
，
所以.
故答案为：C．
【分析】构建是平行四边形，使得AF//CG，从而有，可取AB中点G，此时，将用表示，运用 向量的线性运算法则可得解 ．
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得到，
故答案为：A.
【分析】横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，再由平移得，化简得解
7．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：的三个内角，，所对的边分别为，，，
向量，，且，，
.，，.
又的外接圆的半径为，，
，，
整理得到，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：A.
【分析】由向量垂直得数量积为0，代入余弦定理可解，得sinC，外接圆的半径为，运用正弦定理得c=6，运用基本不等式可得，再结合面积公式可得.
8．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当，，
因为函数在上存在零点，所以，得，
当时，则，
由，可知，，则，则，
所以.
故答案为：B
【分析】当，，
由零点得，得；同理当时，，则，综合得解
9．【答案】B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、若复数，则为纯虚数的充要条件是且，该选项错误，不合题意；
B、，则，该选项正确，符合题意；
C、复数满足，但，该选项错误，不合题意；
D、若复数满足，根据复数的几何意义则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD.
【分析】若复数，则为纯虚数的充要条件是且，可判断A；，则，可判断B；复数满足，但，可判断C；若复数满足，根据复数的几何意义可判断D
10．【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、由大边对大角，则等价于，
再结合正弦定理可得，该选项正确，符合题意；
B、由正弦定理可得，则，
要使该三角形有两解，则，即，则，该选项正确，符合题意；
C、由题意可得，，
则在上的投影向量的坐标为，该选项正确，符合题意；
D、利用正弦定理将化简为，即，
因，则，则或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC.
【分析】由大边对大角以及正弦定理可判断A；由正弦定理得，要使该三角形有两解，则，即，解不等式可判断B；利用公式计算可判断C；利用正弦定理将化简为，结合角的范围得或，可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，，
满足，则的图象关于直线对称，故A正确；
B、，
则的一个周期为，故B正确；
C、当时，的图象与直线有3个交点，分别为，故C错误；
D、当时，，函数单调递增，单调递减，单调递减，则单调递增，即函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】分别计算，，可得两者相等，即得的图象关于直线对称，可判断A；代入计算，得，符合周期函数定义，可得的一个周期为，即可判断B；时，的图象与直线有3个交点，即可判断C；当时，，根据正弦、余弦函数的性质判断的单调性即可判断D.
12．【答案】
【知识点】虚数单位i及其性质；共轭复数
【解析】【解答】解：设，因为，所以，
可得，解得为，则的虚部为.
故答案为：.
【分析】 设， 代入已知条件得，得，得解.
13．【答案】7
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，且，，
所以由余弦定理可得，即.
故答案为：.
【分析】首先画出方位图，得∠ACB得大小，在ACB中利用余弦定理计算可得AB.
14．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，又，则，
因为为递增区间上的零点，且，
所以，，
故，，由条件可得函数的最小正周期，
又，所以，故，故，即，则，
由题意可知，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称，即关于对称，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意可知，可得，由零点，可得，，又最小正周期，得，故，即，得函数解析式为； ，得，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称即关于对称，得即可得到答案.
15．【答案】（1）解：已知，且在第三象限，
所以，

（2）解：
.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系得，再代入 得解.
（2）由诱导公式将原式化为，结合，同除以齐次化计算可得答案.
（1）已知，且在第三象限，所以，
（2）.
16．【答案】（1）解：由，得，解得.
由，得，解得.
所以，.
（2）解：因为，，
所以，，.
所以，
又.
所以向量，的夹角为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由，得，得x得值，由，得，得y的值得解.
（2）由题意得，，代入数量积得，求出模长代入夹角公式结合夹角范围可得解.
（1）由，得，解得.
由，得，解得.
所以，.
（2）因为，，
所以，，.
所以，
又.
所以向量，的夹角为.
17．【答案】（1）解：由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.

（2）解：由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）解：由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将原式化为，三角形内结合两角和的正弦公式得得解；
（2）余弦定理得，将左右两边平方后可得，代入面积即可；
（3）三角形内得，结合正弦定理得，代入辅助角公式得，根据正弦函数特征可得解.
（1）由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
18．【答案】解：设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，
摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，
由题意可得，，
当时， ，
所以游客分钟后距离地面的高度是米 .
（2） 由题意可知，，
在中，，
（3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，
应满足，
化简得，
因为，所以，
所以，解得，
所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，得，代入得解 ；
（2）在中，由余弦定理可求.
（3）由题意可知，解不等式得解.
19．【答案】（1）解：，，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）解：若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）解：由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，判断与是否成立即可；
（2）根据题意可知，得到，进而可得，求出即可；
（3）由（2）得，再换元，结合正弦函数图象的对称性可得，，再代入求值即可.
（1），，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.
1 / 1广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
故答案为：A.
【分析】运用复数的除法运算法则，分母实数化可解.
2．平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单位向量；平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：点，，，
，与同方向的单位向量是，
故答案为：A.
【分析】先求出及，代入单位向量公式得解.
3．已知角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：角的终边过点，，，，
由任意角的三角函数的定义知，，.
故答案为：B.
【分析】先代入任意角的三角函数的定义得，再用诱导公式将原式化为，得解
4．已知向量，的夹角为45°，且，，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，的夹角为45°，且，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】先根据数量积定义式得到，再根据运算律求解．
5．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：取中点，连接，
因为是平行四边形，是中点，
则且，所以是平行四边形，
所以，
又，则，
，
所以.
故答案为：C．
【分析】构建是平行四边形，使得AF//CG，从而有，可取AB中点G，此时，将用表示，运用 向量的线性运算法则可得解 ．
6．将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得到，
故答案为：A.
【分析】横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，再由平移得，化简得解
7．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若向量，，且，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．12
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：的三个内角，，所对的边分别为，，，
向量，，且，，
.，，.
又的外接圆的半径为，，
，，
整理得到，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：A.
【分析】由向量垂直得数量积为0，代入余弦定理可解，得sinC，外接圆的半径为，运用正弦定理得c=6，运用基本不等式可得，再结合面积公式可得.
8．函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当，，
因为函数在上存在零点，所以，得，
当时，则，
由，可知，，则，则，
所以.
故答案为：B
【分析】当，，
由零点得，得；同理当时，，则，综合得解
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则为纯虚数的充要条件是
B．若复数（为虚数单位），则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆
【答案】B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、若复数，则为纯虚数的充要条件是且，该选项错误，不合题意；
B、，则，该选项正确，符合题意；
C、复数满足，但，该选项错误，不合题意；
D、若复数满足，根据复数的几何意义则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD.
【分析】若复数，则为纯虚数的充要条件是且，可判断A；，则，可判断B；复数满足，但，可判断C；若复数满足，根据复数的几何意义可判断D
10．下列说法正确的是（　　）
A．在中，若，则
B．在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C．若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D．在中，若，则是等腰三角形
【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、由大边对大角，则等价于，
再结合正弦定理可得，该选项正确，符合题意；
B、由正弦定理可得，则，
要使该三角形有两解，则，即，则，该选项正确，符合题意；
C、由题意可得，，
则在上的投影向量的坐标为，该选项正确，符合题意；
D、利用正弦定理将化简为，即，
因，则，则或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC.
【分析】由大边对大角以及正弦定理可判断A；由正弦定理得，要使该三角形有两解，则，即，解不等式可判断B；利用公式计算可判断C；利用正弦定理将化简为，结合角的范围得或，可判断D.
11．函数，下列结论正确的是（　　）
A．的图象关于直线对称
B．的一个周期为
C．函数的图象与直线（为常数）在区间上不可能存在3个交点
D．在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，，
满足，则的图象关于直线对称，故A正确；
B、，
则的一个周期为，故B正确；
C、当时，的图象与直线有3个交点，分别为，故C错误；
D、当时，，函数单调递增，单调递减，单调递减，则单调递增，即函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】分别计算，，可得两者相等，即得的图象关于直线对称，可判断A；代入计算，得，符合周期函数定义，可得的一个周期为，即可判断B；时，的图象与直线有3个交点，即可判断C；当时，，根据正弦、余弦函数的性质判断的单调性即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为　 　.
【答案】
【知识点】虚数单位i及其性质；共轭复数
【解析】【解答】解：设，因为，所以，
可得，解得为，则的虚部为.
故答案为：.
【分析】 设， 代入已知条件得，得，得解.
13．两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为　 　km.
【答案】7
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，且，，
所以由余弦定理可得，即.
故答案为：.
【分析】首先画出方位图，得∠ACB得大小，在ACB中利用余弦定理计算可得AB.
14．函数的部分图象如图所示，若，则　 　.
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，又，则，
因为为递增区间上的零点，且，
所以，，
故，，由条件可得函数的最小正周期，
又，所以，故，故，即，则，
由题意可知，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称，即关于对称，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意可知，可得，由零点，可得，，又最小正周期，得，故，即，得函数解析式为； ，得，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称即关于对称，得即可得到答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．已知，且在第三象限.
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：已知，且在第三象限，
所以，

（2）解：
.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系得，再代入 得解.
（2）由诱导公式将原式化为，结合，同除以齐次化计算可得答案.
（1）已知，且在第三象限，所以，
（2）.
16．已知向量，，，且，.
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
【答案】（1）解：由，得，解得.
由，得，解得.
所以，.
（2）解：因为，，
所以，，.
所以，
又.
所以向量，的夹角为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由，得，得x得值，由，得，得y的值得解.
（2）由题意得，，代入数量积得，求出模长代入夹角公式结合夹角范围可得解.
（1）由，得，解得.
由，得，解得.
所以，.
（2）因为，，
所以，，.
所以，
又.
所以向量，的夹角为.
17．在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】（1）解：由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.

（2）解：由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）解：由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将原式化为，三角形内结合两角和的正弦公式得得解；
（2）余弦定理得，将左右两边平方后可得，代入面积即可；
（3）三角形内得，结合正弦定理得，代入辅助角公式得，根据正弦函数特征可得解.
（1）由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
18．天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；
（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.
【答案】解：设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，
摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，
由题意可得，，
当时， ，
所以游客分钟后距离地面的高度是米 .
（2） 由题意可知，，
在中，，
（3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，
应满足，
化简得，
因为，所以，
所以，解得，
所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，得，代入得解 ；
（2）在中，由余弦定理可求.
（3）由题意可知，解不等式得解.
19．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
（1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
（2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
【答案】（1）解：，，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）解：若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）解：由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，判断与是否成立即可；
（2）根据题意可知，得到，进而可得，求出即可；
（3）由（2）得，再换元，结合正弦函数图象的对称性可得，，再代入求值即可.
（1），，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.
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