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湖南省岳阳市云溪区九校联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（　　）
A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm
4．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（　　）
A．36 B．30 C．24 D．20
5．下列说法中，真命题的是（　　）
A．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半
6．下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和( )
A．240° B．600° C．1980° D．21800°
7．如图，在中，垂直平分交于点E，则的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长（　　）
A．4 B．3 C． D．
9．在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．正五边形的外角和为　 　°．
12．在平行四边形中，，则　 　°．
13．直角三角形两条边长分别为6cm，8cm，则第三边长为　 　．
14．如图，四边形是平行四边形，当　 　时，是矩形．（只能添加一个条件）
15．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角∠B＝60°，梯子与墙角的距离BC为3m，则梯子的长AB为　 　m．
16．如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为　 　．
17．如下图：在中，，D、E、F分别是各边中点，，，则的周长=　 　cm．
18．如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，满分共66分，解题时应写出必要的计算步骤、文字说明或证明过程．）
19．已知三角形的三边长满足，请判断这个三角形的形状并写出理由．
20．如图，，．试问：与相等吗？为什么？
21．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.求矩形边BC的长和矩形ABCD的面积.
22．如图：已知，于点，于点，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
24．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
（1）求的度数；
（2）若，求
25．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
26．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°．
（1）①∠ACB＝　 　度（直接填空）；
②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为　 　（直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
B选项的标志是中心对称图形，符合题意；
C选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
D选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
因此正确答案是B。
【分析】
本题主要考查中心对称图形的概念。根据定义：一个图形如果绕某点旋转度后能与原图形重合，则该图形称为中心对称图形。通过逐一分析选项可以得出答案。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣45°=45°，
故选C．
【分析】
在直角三角形中，两个锐角是互余的，根据这一定理解题即可．
3．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
AB=2BC=8cm.
故选B．
【分析】
本题属于基础题型，主要考查含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边的长度是斜边的一半．
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】 解：如图所示，
根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB= =5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
5．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】A不符合题意，平行四边形不是轴对称图形
B不符合题意，平行四边形的对边相等
C不符合题意，矩形的对角线不一定垂直
D菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，符合题意;
故答案为：D
【分析】根据各多边形的性质对各个选项进行分析从而确定最后的答案.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
n边形的内角和为（n﹣2）×180°，显然n边形的内角和能被180°整除，
在四个选项中只有1980° 能被180°整除，
故选C．
【分析】
本题可根据多边形的内角和为（n﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，∴，，
∴
∵垂直平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是三角形的中位线，
∴，
∵，
∴
故选：A.
【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的中位线定理等知识，连接，根据垂直平分线的性质可证明AE=CE，再根据角间关系推导出，CE=BE，得，从而得到是三角形的中位线，计算出BC可得DE的长.
8．【答案】C
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设AC=x，
∵AC+AB=10
∴AB=10-AC=10-x
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则有AC+BC=AB，
∴x+3=(10-x)
解得x=
故答案为：C
【分析】此题考查勾股定理的应用，设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理列方程可求出结果.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，
故A成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，
故B成立；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，
故C成立；
∵题中并没有给出AD和AB是否相等，
∴AD和BE也不确定是相等的，
∴2CF=BE并不一定成立，
故D不一定成立；
故选：D．
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形全等的证明和全等的性质，首先根据平行四边形的性质和平行线的性质可判断∠E=∠CDF是否成立；证明△DCF≌△EBF可判断B选项，C选项是否成立；结合以上结论和已知条件不能证明AD=BE，可判断D选项是否成立．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC–BE=CD–DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，a2+（a–）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
∴S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据正方形性质可得AB=AD，再根据等边三角形性质可得AE=AF，由全等三角形判定定理可得Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），则BE=DF，再根据边之间的关系可判断①；根据等腰直角三角形判定定理可得△ECF是等腰直角三角形，则∠CEF=45°，再根据角之间的关系可判断②；连接AC，交EF于G点，根据垂直平分线性质可判断③；设正方形的边长为a，根据勾股定理建立方程，解方程可得a2=2+，再根据正方形面积可判断④.
11．【答案】360
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正五边形的外角和为；
故答案为：360.
【分析】任意多边形的外角和是360度，根据这一定理可得到答案.
12．【答案】70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：70．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得到答案．
13．【答案】10cm或cm
【知识点】二次根式的性质与化简；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当8cm的边是直角三角形的直角边时，第三边的长cm；
当8cm的边是直角三角形的斜边时，第三边的长cm；
故答案为：10cm或cm．
【分析】
本题考查了勾股定理和二次根式的化简，熟练掌握勾股定理、正确分类是解题的关键，题中已知的两条边中较长的边为8cm， 没有明确是不是斜边，要分8cm的边是直角三角形的直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定定理，题中已知明确 四边形是平行四边形， 根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以只需要让其一个内角为90度即可．
15．【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，
∵BC=3m，
∴AB=2BC=6m．
故答案为：6．
【分析】
先根据直角三角形两锐角互余得出∠BAC=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
16．【答案】64
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，c2=100，b2=36，
从而可得a2=c2﹣b2=64，
即字母A所表示的正方形的面积为：64，
故答案为64．
【分析】
本题考查了正方形的面积公式与勾股定理，利用勾股定理可求得a2的值，继而可得字母A所表示的正方形的面积．
17．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵D、E、F分别是各边中点，
∴DF、DE、EF都是的中位线，
∴，
∴ 的周长cm；
故答案为：12.
【分析】
本题考查了勾股定理和三角形的中位线，熟练掌握这两个定理是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.
18．【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
设正方形ABCD的边长为a，则．
延长至E，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点Q在上时，取最小值．
∵的最小值为，
∴，
在中，，
即，
解得（负值舍去）．
故答案为：3．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，设正方形的边长为a，延长至E，使得，连接，证明，可得，从而得出=EQ+CQ，再求EQ+CQ取最小值时的正方形边长即可。
19．【答案】解：这个三角形是直角三角形，理由如下：
∵，
且，
∴，
∴，
∵，
∴这个三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，先根据非负数的性质求出，再根据勾股定理的逆定理即可得到结论.
20．【答案】【解答】解：，理由如下：
证明：连接，如图，
，
∴三角形ACD和三角形BDC都是直角三角形，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，连接，用HL证明可得结论.
21．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2AO=4，
在Rt△ABC中，BC==2，
∴矩形的面积是：AB×BC=2×=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】
本题主要考查矩形的性质，等边三角形判定，勾股定理，先根据题意与矩形的性质证明△OAB为等边三角形，进而得到AC的长，再利用勾股定理求得BC的，然后求解矩形面积即可.
22．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴≌
∴．
∵，
∴
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识.
先证明≌得AD＝BC，再由 判定AD∥BC，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
23．【答案】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点定理证明，从未得到AF=DB；结合D为BC的中点推出AF=CD，进而判定四边形ADCF为平行四边形，最后利用直角三角形斜边中线定理得到AD=CD，即可解答；
（2）首先连接DF，利用平行四边形的判定证明四边形ABDF是平行四边形，从而得到DF=AB，最后利用菱形的面积等于其对角线积的一半，进行计算即可．
24．【答案】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点F，如图，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识.
（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形中两锐角互余可求出.
（2）作于点F，根据角平分线的性质可得，然后根据可计算出结果．
（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点F，如图，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
∴
∴
（2）解：过C作于H，设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：．
在中，，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据海伦-秦九韶公式计算即可求出答案.
（2）过C作于H，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得CH，再根据三角形面积即可求出答案.
26．【答案】（1）① 45；
② 解：四边形为正方形，
∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°，
∴∠PBC+∠PQC＝180°，
又∵∠PQC+∠PQD＝180°，
∴∠PBC＝∠PQD；
③解：PB＝PQ，理由如下：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，
过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．则四边形PECF是矩形，PE=PF，
∴四边形PECF是正方形，∴∠EPF＝90°
∴∠BPQ=∠EPF，
∴∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ，
∴∠BPE＝∠QPF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF，
∴（ASA），
∴PB＝PQ .
（2）解：如图①中，由（1）可知，四边形PECF是正方形，
∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，
∵BC+CQ＝6，
∴EC+FC＝BC+CQ＝6，
∴CE＝CF＝3，
又∵S△BPE＝S△PQF，
∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9，
故答案为：9；
（3）解：PE2＝AP2+EC2．理由如下：
∵BP＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴∠ABP+∠CBE＝45°，
如图②，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到，连接HP，
∴，
∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，
∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH，
又∵BP＝BP，BH＝BE，
∴（SAS），
∴PE＝PH，
∵PH2＝AP2+AH2，
∴PE2＝AP2+EC2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）①解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
故答案为：45；
【分析】
本题考查的是正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和定理，勾股定理的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）①由正方形的对角线平分对角这一性质可得出∠ACB的度数。
②由四边形内角和定理可求∠PBC+∠PQC＝180°，由平角的性质可得∠PQC+∠PQD＝180°，根据等角的补角相等可推导出结论；
③过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由ASA可证，可得PB＝PQ；
（2）由可推导出S△BPE＝S△PQF，可得S四边形BCQP＝S四边形CEPF，运用正方形面积公式计算即可。
（3）将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，由SAS证，可得PE＝PH，由勾股定理可得结论．
1 / 1湖南省岳阳市云溪区九校联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
B选项的标志是中心对称图形，符合题意；
C选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
D选项的标志不是中心对称图形，不符合题意；
因此正确答案是B。
【分析】
本题主要考查中心对称图形的概念。根据定义：一个图形如果绕某点旋转度后能与原图形重合，则该图形称为中心对称图形。通过逐一分析选项可以得出答案。
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣45°=45°，
故选C．
【分析】
在直角三角形中，两个锐角是互余的，根据这一定理解题即可．
3．如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（　　）
A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
AB=2BC=8cm.
故选B．
【分析】
本题属于基础题型，主要考查含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边的长度是斜边的一半．
4．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（　　）
A．36 B．30 C．24 D．20
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】 解：如图所示，
根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB= =5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
5．下列说法中，真命题的是（　　）
A．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】A不符合题意，平行四边形不是轴对称图形
B不符合题意，平行四边形的对边相等
C不符合题意，矩形的对角线不一定垂直
D菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，符合题意;
故答案为：D
【分析】根据各多边形的性质对各个选项进行分析从而确定最后的答案.
6．下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和( )
A．240° B．600° C．1980° D．21800°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
n边形的内角和为（n﹣2）×180°，显然n边形的内角和能被180°整除，
在四个选项中只有1980° 能被180°整除，
故选C．
【分析】
本题可根据多边形的内角和为（n﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．
7．如图，在中，垂直平分交于点E，则的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，∴，，
∴
∵垂直平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是三角形的中位线，
∴，
∵，
∴
故选：A.
【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的中位线定理等知识，连接，根据垂直平分线的性质可证明AE=CE，再根据角间关系推导出，CE=BE，得，从而得到是三角形的中位线，计算出BC可得DE的长.
8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设AC=x，
∵AC+AB=10
∴AB=10-AC=10-x
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则有AC+BC=AB，
∴x+3=(10-x)
解得x=
故答案为：C
【分析】此题考查勾股定理的应用，设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理列方程可求出结果.
9．在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，
故A成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，
故B成立；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，
故C成立；
∵题中并没有给出AD和AB是否相等，
∴AD和BE也不确定是相等的，
∴2CF=BE并不一定成立，
故D不一定成立；
故选：D．
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形全等的证明和全等的性质，首先根据平行四边形的性质和平行线的性质可判断∠E=∠CDF是否成立；证明△DCF≌△EBF可判断B选项，C选项是否成立；结合以上结论和已知条件不能证明AD=BE，可判断D选项是否成立．
10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC–BE=CD–DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，a2+（a–）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
∴S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据正方形性质可得AB=AD，再根据等边三角形性质可得AE=AF，由全等三角形判定定理可得Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），则BE=DF，再根据边之间的关系可判断①；根据等腰直角三角形判定定理可得△ECF是等腰直角三角形，则∠CEF=45°，再根据角之间的关系可判断②；连接AC，交EF于G点，根据垂直平分线性质可判断③；设正方形的边长为a，根据勾股定理建立方程，解方程可得a2=2+，再根据正方形面积可判断④.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．正五边形的外角和为　 　°．
【答案】360
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正五边形的外角和为；
故答案为：360.
【分析】任意多边形的外角和是360度，根据这一定理可得到答案.
12．在平行四边形中，，则　 　°．
【答案】70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：70．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得到答案．
13．直角三角形两条边长分别为6cm，8cm，则第三边长为　 　．
【答案】10cm或cm
【知识点】二次根式的性质与化简；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当8cm的边是直角三角形的直角边时，第三边的长cm；
当8cm的边是直角三角形的斜边时，第三边的长cm；
故答案为：10cm或cm．
【分析】
本题考查了勾股定理和二次根式的化简，熟练掌握勾股定理、正确分类是解题的关键，题中已知的两条边中较长的边为8cm， 没有明确是不是斜边，要分8cm的边是直角三角形的直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
14．如图，四边形是平行四边形，当　 　时，是矩形．（只能添加一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定定理，题中已知明确 四边形是平行四边形， 根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以只需要让其一个内角为90度即可．
15．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角∠B＝60°，梯子与墙角的距离BC为3m，则梯子的长AB为　 　m．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，
∵BC=3m，
∴AB=2BC=6m．
故答案为：6．
【分析】
先根据直角三角形两锐角互余得出∠BAC=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
16．如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为　 　．
【答案】64
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，c2=100，b2=36，
从而可得a2=c2﹣b2=64，
即字母A所表示的正方形的面积为：64，
故答案为64．
【分析】
本题考查了正方形的面积公式与勾股定理，利用勾股定理可求得a2的值，继而可得字母A所表示的正方形的面积．
17．如下图：在中，，D、E、F分别是各边中点，，，则的周长=　 　cm．
【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵D、E、F分别是各边中点，
∴DF、DE、EF都是的中位线，
∴，
∴ 的周长cm；
故答案为：12.
【分析】
本题考查了勾股定理和三角形的中位线，熟练掌握这两个定理是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.
18．如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为　 　．
【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
设正方形ABCD的边长为a，则．
延长至E，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点Q在上时，取最小值．
∵的最小值为，
∴，
在中，，
即，
解得（负值舍去）．
故答案为：3．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，设正方形的边长为a，延长至E，使得，连接，证明，可得，从而得出=EQ+CQ，再求EQ+CQ取最小值时的正方形边长即可。
三、解答题（本大题共6个小题，满分共66分，解题时应写出必要的计算步骤、文字说明或证明过程．）
19．已知三角形的三边长满足，请判断这个三角形的形状并写出理由．
【答案】解：这个三角形是直角三角形，理由如下：
∵，
且，
∴，
∴，
∵，
∴这个三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，先根据非负数的性质求出，再根据勾股定理的逆定理即可得到结论.
20．如图，，．试问：与相等吗？为什么？
【答案】【解答】解：，理由如下：
证明：连接，如图，
，
∴三角形ACD和三角形BDC都是直角三角形，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，连接，用HL证明可得结论.
21．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.求矩形边BC的长和矩形ABCD的面积.
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2AO=4，
在Rt△ABC中，BC==2，
∴矩形的面积是：AB×BC=2×=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】
本题主要考查矩形的性质，等边三角形判定，勾股定理，先根据题意与矩形的性质证明△OAB为等边三角形，进而得到AC的长，再利用勾股定理求得BC的，然后求解矩形面积即可.
22．如图：已知，于点，于点，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴≌
∴．
∵，
∴
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识.
先证明≌得AD＝BC，再由 判定AD∥BC，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点定理证明，从未得到AF=DB；结合D为BC的中点推出AF=CD，进而判定四边形ADCF为平行四边形，最后利用直角三角形斜边中线定理得到AD=CD，即可解答；
（2）首先连接DF，利用平行四边形的判定证明四边形ABDF是平行四边形，从而得到DF=AB，最后利用菱形的面积等于其对角线积的一半，进行计算即可．
24．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
（1）求的度数；
（2）若，求
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点F，如图，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识.
（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形中两锐角互余可求出.
（2）作于点F，根据角平分线的性质可得，然后根据可计算出结果．
（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点F，如图，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∴．
25．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
∴
∴
（2）解：过C作于H，设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：．
在中，，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据海伦-秦九韶公式计算即可求出答案.
（2）过C作于H，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得CH，再根据三角形面积即可求出答案.
26．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°．
（1）①∠ACB＝　 　度（直接填空）；
②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为　 　（直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．
【答案】（1）① 45；
② 解：四边形为正方形，
∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°，
∴∠PBC+∠PQC＝180°，
又∵∠PQC+∠PQD＝180°，
∴∠PBC＝∠PQD；
③解：PB＝PQ，理由如下：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，
过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．则四边形PECF是矩形，PE=PF，
∴四边形PECF是正方形，∴∠EPF＝90°
∴∠BPQ=∠EPF，
∴∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ，
∴∠BPE＝∠QPF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF，
∴（ASA），
∴PB＝PQ .
（2）解：如图①中，由（1）可知，四边形PECF是正方形，
∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，
∵BC+CQ＝6，
∴EC+FC＝BC+CQ＝6，
∴CE＝CF＝3，
又∵S△BPE＝S△PQF，
∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9，
故答案为：9；
（3）解：PE2＝AP2+EC2．理由如下：
∵BP＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴∠ABP+∠CBE＝45°，
如图②，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到，连接HP，
∴，
∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，
∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH，
又∵BP＝BP，BH＝BE，
∴（SAS），
∴PE＝PH，
∵PH2＝AP2+AH2，
∴PE2＝AP2+EC2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）①解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
故答案为：45；
【分析】
本题考查的是正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和定理，勾股定理的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）①由正方形的对角线平分对角这一性质可得出∠ACB的度数。
②由四边形内角和定理可求∠PBC+∠PQC＝180°，由平角的性质可得∠PQC+∠PQD＝180°，根据等角的补角相等可推导出结论；
③过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由ASA可证，可得PB＝PQ；
（2）由可推导出S△BPE＝S△PQF，可得S四边形BCQP＝S四边形CEPF，运用正方形面积公式计算即可。
（3）将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，由SAS证，可得PE＝PH，由勾股定理可得结论．
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