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浙江省 2025 年5月初中学业水平考试潮汐组合-钱塘甬真卷1-明州卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．有理数-2025是2025的（　　）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2025是2025的相反数，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
3．如图，平行线被所截，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义，进行求解即可．
4．数轴上a，b两数如图所示，则下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，且，
A.∴，故本选项不符合题意；
B.∴，故 本选项 不符合题意；
C.∴，故本选项符合题意；
D.∴，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】由数轴可得，且，再根据有理数的运算法则逐项判断即可．
5． 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x + a = 0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值可以是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得 >0，
即4-4a>0
解得：a<1，
∴a的取值可以是，
故答案为：A.
【分析】方程有两个不相等的实数根，可知 >0，求解即可.
6．在男子1000m跑步比赛中，由甲、乙两名裁判计时，分别得到一组成绩.结果发现两名裁判其他计时工作都正常，但在起跑时，甲裁判提前1秒按了秒表.由此可知，甲裁判记录的成绩与乙裁判记录的成绩相比，（　　）
A．平均值相等、方差较小 B．平均值相等、方差相等
C．平均值较大、方差较小 D．平均值较大、方差相等
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：平均值：整体平移后，平均值增加1秒，因此甲的平均值更大；
方差：数据波动程度未改变，方差保持不变.
故答案为：D.
【分析】当所有数据都加上一个相同的常数时，平均数会增加这个常数，但方差保持不变(因为方差反映的是数据波动程度，与整体平移无关).
7．计算－的结果是(　　)
A．x－1 B．1－x C．1 D．－1
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：-
=
=-1．
故选：D．
【分析】根据同分母分式的加减法法则进行计算．
8．如图，的直径垂直弦，点是的中点，弦交于点，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
由圆心角定理可得，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】连接，由圆周角定理，，再根据等弧对等角求出，进而求出的度数，即可得出结果．
9．如图，四边形中，，对角线，交于点，过点作分别交，于点，．若，，则的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故选：A．
【分析】根据可得，则，则，，同理可证明证明，，则，，从而得到，求得，即可由求解．
10．关于的函数，当时，．若，则（　　）
A． B． C．1 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将函数的表达式写成顶点式的形式，
即，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
把代入，
则，
∴直线过定点，
∵当时，．
∴抛物线与直线的交点横坐标为m，
则抛物线与直线的交点纵坐标为km-k+4，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，
即，
∴或（舍去），
∴，
∴，
把代入，
即，
∴经过定点，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，得
∴，
∴或
∴抛物线与直线的另一交点横坐标为，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】先 将函数的表达式写成顶点式的形式， 则可以得出抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，再得出直线、都经过定点根据当时，，求得，从而得出，抛物线与直线的交点坐标为，求得抛物线与直线的另一交点横坐标为，根据，最后利用数形结合思想即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
本题聚焦因式分解的基础方法：提公因式法. 熟练掌握公因式的提取规则，是解决这类问题的核心. 解题时，先观察多项式的结构，提取各项的公因式，再将剩余部分整理为整式乘积的形式，即可完成因式分解.
12．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
13．圆锥的母线6cm，底面半径3cm，其侧面积　 　cm2．
【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：2π×3×6÷2=18π．
故答案为：18π．
【解析】根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2” 即可得出答案．
14．函数与的图象交于两点，若点坐标为，则点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数与的图象交于两点，点坐标为，
∴4=2k，
∴k=2，
∴，
∵，
∴或，
∴点坐标为.
故答案为：．
【分析】根据点A的坐标求出k值，再联立方程组即可得出答案.
15．如图，中，，为的角平分线，过点作交下点，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】现根据勾股定理求出的长，再根据角平分线得到，则，进行求解即可．
16．如图，菱形中，点，分别是，上的点，已知，，则对角线的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作，
∵菱形，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，.
故答案为：．
【分析】作，根据对边平行证明四边形为平行四边形，则，，则为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一及勾股定理求出的长，进而得出答案．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】解：
=0．
【知识点】零指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先去绝对值及算出零指数幂，然后相加减即可．
18．解方程组：．
【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可．
19．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，经历了以下操作（如示意图所示）：①先将旗杆上绳子向外拉紧；②测量出在点处观察旗杆顶端的仰角；③测量出点到旗杆的距离；④测量出点到地面的距离．求旗杆的高为多少．（参考数据：，结果保留两位小数）
【答案】解：作，
∵，，，
∴在中，，
∴，
答：旗杆的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】作，在中，根据正切值求出的长，再根据进行求解即可．
20．如图，是矩形的对角线．
（1）用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；
（2）在（1）条件下，若，求的长．
【答案】（1）解：即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，∠AOF=90°，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求；
（2）根据勾股定理先求出的长，再根据余弦值求出的长，进而得出答案．
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
21．某校为了解七年级学生的跳绳成绩情况，随机抽取了部分七年级学生进行跳绳测试，并对数据进行整理得到下表．（跳绳成绩均为整数，满分10分）
七年级部分学生跳绳成绩频数分布表
组别 成绩（单位：分） 频数 频率
A 84 0.7
B 18
C 0.1
D 6 0.05
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求频数分布表中的值；
（2）请估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数．
【答案】（1）解：，
抽取的学生人数为（人），
.
（2）解：（人）
（分），
答：估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数为8.8分．
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据其它频率，a即为所求，再求出抽取的学生人数，进而得出答案；
（2）利用平均数的计算公式进行计算即可．
（1）解：，
，；
（2）（分）；
答：估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数为8.8分．
22．【感知方法】
与的面积相等，按如图1所示摆放，点在边上，与的边交于点．已知的面积比面积大2，与面积和为3，求的面积．
第1步：设未知数，
设的面积分别为．
第2步：表示，
．
第3步：找数量关系，列式（方程），
（1）请你完成第3步．
【尝试应用】
（2）如图2，矩形中，连接，点是内部一点，已知四边形与凹四边形面积分别为12，7，求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图3，点是矩形内部一点，过点作线段把矩形分成4个小矩形，点在矩形边上，连接，已知矩形与矩形的面积分别为，求的面积．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴e=a+c+d-b=（a-b）+(c-d)，
∵，
∴.
（2）在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）在，
∵，
∴，
同理，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由得，整理得e=a+c+d-b=（a-b）+(c-d)，再整体代入即可；
（2）由，，得，即得；
（3）设， 得，根据，，得，得，根据，即得．
23．关于的二次函数的图象经过点．
（1）用含的代数式分别表示；
（2）当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：点在二次函数的图象上，
，
∴，
；

（2）解：，，
，
，
，
，
，
当时，，
∴
当时，总有，
，
，
当时，，
∴或，
当时，总有，
或，
或；
综上所述：的取值范围是当时，或，当时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）由已知可得，将代入表达式，进而得出答案；
（2）先将（1）中代入函数表达式，则，根据题意得出，再分情况：当时或当时分别求出即可．
（1）解：关于的二次函数的图象经过点，
，
解得，
；
（2）解：，
，
，
，
，
当时，，
解得：或，
当时，总有，
或，
或；
当时，，
解得：
当时，总有，
，
；
综上所述，的取值范围是当时，或；当时，．
24．如图1，正方形中，点是边上一点，连接，取中点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：．
（2）将绕点逆时针旋转至（如图2），连结，，，
①求的度数；
②求证：．
【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据ASA再证明，即可得证；
（2）①连接，则，由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，推出，由正方形的性质可得，，根据SAS证明，得出，求出，即可得解；
②根据SAS证明，得出，即可得证．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省 2025 年5月初中学业水平考试潮汐组合-钱塘甬真卷1-明州卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．有理数-2025是2025的（　　）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形
3．如图，平行线被所截，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．数轴上a，b两数如图所示，则下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
5． 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x + a = 0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值可以是（　　）
A． B．1 C． D．2
6．在男子1000m跑步比赛中，由甲、乙两名裁判计时，分别得到一组成绩.结果发现两名裁判其他计时工作都正常，但在起跑时，甲裁判提前1秒按了秒表.由此可知，甲裁判记录的成绩与乙裁判记录的成绩相比，（　　）
A．平均值相等、方差较小 B．平均值相等、方差相等
C．平均值较大、方差较小 D．平均值较大、方差相等
7．计算－的结果是(　　)
A．x－1 B．1－x C．1 D．－1
8．如图，的直径垂直弦，点是的中点，弦交于点，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形中，，对角线，交于点，过点作分别交，于点，．若，，则的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
10．关于的函数，当时，．若，则（　　）
A． B． C．1 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解的结果是　 　．
12．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
13．圆锥的母线6cm，底面半径3cm，其侧面积　 　cm2．
14．函数与的图象交于两点，若点坐标为，则点坐标为　 　．
15．如图，中，，为的角平分线，过点作交下点，若，，则的长为　 　．
16．如图，菱形中，点，分别是，上的点，已知，，则对角线的长为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程组：．
19．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，经历了以下操作（如示意图所示）：①先将旗杆上绳子向外拉紧；②测量出在点处观察旗杆顶端的仰角；③测量出点到旗杆的距离；④测量出点到地面的距离．求旗杆的高为多少．（参考数据：，结果保留两位小数）
20．如图，是矩形的对角线．
（1）用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；
（2）在（1）条件下，若，求的长．
21．某校为了解七年级学生的跳绳成绩情况，随机抽取了部分七年级学生进行跳绳测试，并对数据进行整理得到下表．（跳绳成绩均为整数，满分10分）
七年级部分学生跳绳成绩频数分布表
组别 成绩（单位：分） 频数 频率
A 84 0.7
B 18
C 0.1
D 6 0.05
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求频数分布表中的值；
（2）请估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数．
22．【感知方法】
与的面积相等，按如图1所示摆放，点在边上，与的边交于点．已知的面积比面积大2，与面积和为3，求的面积．
第1步：设未知数，
设的面积分别为．
第2步：表示，
．
第3步：找数量关系，列式（方程），
（1）请你完成第3步．
【尝试应用】
（2）如图2，矩形中，连接，点是内部一点，已知四边形与凹四边形面积分别为12，7，求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图3，点是矩形内部一点，过点作线段把矩形分成4个小矩形，点在矩形边上，连接，已知矩形与矩形的面积分别为，求的面积．
23．关于的二次函数的图象经过点．
（1）用含的代数式分别表示；
（2）当时，总有，求的取值范围．
24．如图1，正方形中，点是边上一点，连接，取中点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：．
（2）将绕点逆时针旋转至（如图2），连结，，，
①求的度数；
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2025是2025的相反数，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
3．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义，进行求解即可．
4．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，且，
A.∴，故本选项不符合题意；
B.∴，故 本选项 不符合题意；
C.∴，故本选项符合题意；
D.∴，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】由数轴可得，且，再根据有理数的运算法则逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得 >0，
即4-4a>0
解得：a<1，
∴a的取值可以是，
故答案为：A.
【分析】方程有两个不相等的实数根，可知 >0，求解即可.
6．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：平均值：整体平移后，平均值增加1秒，因此甲的平均值更大；
方差：数据波动程度未改变，方差保持不变.
故答案为：D.
【分析】当所有数据都加上一个相同的常数时，平均数会增加这个常数，但方差保持不变(因为方差反映的是数据波动程度，与整体平移无关).
7．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：-
=
=-1．
故选：D．
【分析】根据同分母分式的加减法法则进行计算．
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
由圆心角定理可得，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】连接，由圆周角定理，，再根据等弧对等角求出，进而求出的度数，即可得出结果．
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故选：A．
【分析】根据可得，则，则，，同理可证明证明，，则，，从而得到，求得，即可由求解．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将函数的表达式写成顶点式的形式，
即，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
把代入，
则，
∴直线过定点，
∵当时，．
∴抛物线与直线的交点横坐标为m，
则抛物线与直线的交点纵坐标为km-k+4，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，
即，
∴或（舍去），
∴，
∴，
把代入，
即，
∴经过定点，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，得
∴，
∴或
∴抛物线与直线的另一交点横坐标为，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】先 将函数的表达式写成顶点式的形式， 则可以得出抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，再得出直线、都经过定点根据当时，，求得，从而得出，抛物线与直线的交点坐标为，求得抛物线与直线的另一交点横坐标为，根据，最后利用数形结合思想即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
本题聚焦因式分解的基础方法：提公因式法. 熟练掌握公因式的提取规则，是解决这类问题的核心. 解题时，先观察多项式的结构，提取各项的公因式，再将剩余部分整理为整式乘积的形式，即可完成因式分解.
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
13．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：2π×3×6÷2=18π．
故答案为：18π．
【解析】根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2” 即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数与的图象交于两点，点坐标为，
∴4=2k，
∴k=2，
∴，
∵，
∴或，
∴点坐标为.
故答案为：．
【分析】根据点A的坐标求出k值，再联立方程组即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】现根据勾股定理求出的长，再根据角平分线得到，则，进行求解即可．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作，
∵菱形，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，.
故答案为：．
【分析】作，根据对边平行证明四边形为平行四边形，则，，则为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一及勾股定理求出的长，进而得出答案．
17．【答案】解：
=0．
【知识点】零指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先去绝对值及算出零指数幂，然后相加减即可．
18．【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可．
19．【答案】解：作，
∵，，，
∴在中，，
∴，
答：旗杆的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】作，在中，根据正切值求出的长，再根据进行求解即可．
20．【答案】（1）解：即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，∠AOF=90°，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求；
（2）根据勾股定理先求出的长，再根据余弦值求出的长，进而得出答案．
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：，
抽取的学生人数为（人），
.
（2）解：（人）
（分），
答：估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数为8.8分．
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据其它频率，a即为所求，再求出抽取的学生人数，进而得出答案；
（2）利用平均数的计算公式进行计算即可．
（1）解：，
，；
（2）（分）；
答：估计该校七年级全体学生跳绳成绩的平均数为8.8分．
22．【答案】解：（1）∵，
∴，
∴e=a+c+d-b=（a-b）+(c-d)，
∵，
∴.
（2）在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）在，
∵，
∴，
同理，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由得，整理得e=a+c+d-b=（a-b）+(c-d)，再整体代入即可；
（2）由，，得，即得；
（3）设， 得，根据，，得，得，根据，即得．
23．【答案】（1）解：点在二次函数的图象上，
，
∴，
；

（2）解：，，
，
，
，
，
，
当时，，
∴
当时，总有，
，
，
当时，，
∴或，
当时，总有，
或，
或；
综上所述：的取值范围是当时，或，当时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）由已知可得，将代入表达式，进而得出答案；
（2）先将（1）中代入函数表达式，则，根据题意得出，再分情况：当时或当时分别求出即可．
（1）解：关于的二次函数的图象经过点，
，
解得，
；
（2）解：，
，
，
，
，
当时，，
解得：或，
当时，总有，
或，
或；
当时，，
解得：
当时，总有，
，
；
综上所述，的取值范围是当时，或；当时，．
24．【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据ASA再证明，即可得证；
（2）①连接，则，由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，推出，由正方形的性质可得，，根据SAS证明，得出，求出，即可得解；
②根据SAS证明，得出，即可得证．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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