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广东省深圳市龙华实验学校教育集团 20252026学年九年级下学期学情自检数学试题（三月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．在东西走向的马路上，若把向东走1km记做＋1km，则向西走2km应记做（　　）
A．＋2km B．－2km C．＋1km D．－1km
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】向东记为+1，则向西记为-2；
故选：B.
【分析】由正负数的意义分析即可.
2．百米大赛的成绩差异总在毫厘之间，裁判经常会依据视频回放帮助自己作出正确的判断，如图大致反映了场上运动员的（　　）
A．主视图 B．左视图 C．右视图 D．俯视图
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图大致反映了场上运动员的俯视图。
故答案为：D.
【分析】主视图，即从正面看到的图形；左视图，即从左面看到的图形；右视图，即从右边看到的图形；俯视图，即从上面看到的图形。题中每名运动员的头顶、位置均可观察到，因此是俯视图。如果是主视图，则无法观察到每名远动员的位置；如果是左视图或右视图，则运动员的头顶无法观察到。
3．央视春晚的主题为“龙行龘（dá)疆，欣欣家园”， “龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，现将分别印有“龙”、“行”、“龘”、“龘”四张质地均匀，大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P=，
即抽取的卡片上印有汉字“ 龘 ”的概率为.
故答案为：A.
【分析】本题从条件分析，从中随机抽取一张卡片，一共有4种可能性，因为“ 龘 ”有两张卡片，因此抽到“ 龘 ”有两种可能性，最后根据概率定义列式即可，
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层， “飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°， 则高BC是 （　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：从图中可知，BC⊥AC，即∠C=90°，
∵AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，即AB=50米，∠A=24°，
∴BC=AB×sinA=米，
故答案为：A.
【分析】本题结合图中信息得出，∠C=90°，而AB长度和∠A的度数已知，因此结合三角函数sinA=，列式BC=AB×sinA即可得出答案。
5．下列各式计算错误的有 （　　）
b
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；完全平方式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：，错误；
，错误；
，错误；
，错误；
，错误；
综上，错误的有5个；
故答案为：D.
【分析】本题根据同底数幂乘法的逆用，即可判断①；依据合并同类项的计算法则即可计算并判断②；依据完全平方公式依据去括号法则，即可计算并判断③；依据幂的乘方计算法则即可计算判断④；依据完全平方公式即可计算并判断⑤。
6．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
7．李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件.已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件 设张师傅每小时做手工艺品x件，则根据题意，可列出方程是 （　　）
A．40x=50（x-4) B．40+x=50-4x
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设张师傅每小时做手工艺品x件，则李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，结合题意列式。
故答案为：D.
【分析】本题先根据条件“张师傅比李师傅每小时少做4件”，则可以得出李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，而张师傅做40件需要小时，李师傅做50件需要小时，条件“ 张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等 ”，因此可以列出分式方程，从而得出答案。
8．如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，
∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F，
∴CD=CE=4，EF=DF，
∴MN=CD=CE=BE=4，
在Rt△BEN中，EN=，
∴ME=MN-EN=4-，
设EF=DF=a，则MF=2-a，
在Rt△MEF中，，即，
解得a=，
∴FD的长为。
故答案为：D.
【分析】本题先根据正方形的性质以及对称轴的性质，得出BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，然后依据折叠的性质综合得出MN=CD=CE=BE=4以及EF=DF，此时可以利用勾股定理计算出EN=，最后放到Rt△MEF中，利用勾股定理列式即可求出FD的长度。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．已知关于的方程的解是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程中得：
，
，
故答案为：．
【分析】根据方程解的含义，把方程的解代入原方程，求解即可．
10．将点A （-2，3)先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点 B，则点B的坐标是 　 　 .
【答案】（-5， 5)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A（-2，3)向左平移3个单位长度，此时的坐标为（-2-3，3），即（-5，3）；再向上平移2个单位长度，此时的坐标为（-5，3+2），即（-5，5），
∴点B的坐标是（-5，5）。
故答案为：（-5，5）.
【分析】依据坐标的平移公式，即将点P(x，y)向左或右平移a个单位，则纵坐标不变，横坐标变为x-a或x+a；如果向上或向下平移b个单位，则横坐标不变，纵坐标变为y+b或y-b。本题先求出将点A向左平移3个单位后对应的坐标，然后再此基础上再向上平移2个单位长度得到的坐标，即可得出答案。
11．化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：x．
【分析】根据分式的四则运算，对分式进行化简，即可求解．
12．如图，经过原点O 的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点（点A在第一象限)，过点A作AC∥x轴，与反比例函数 图象交于点 C，连结 BC与x轴交于点 D.若△OBD的面积为3， 则a-b的值为 　 　 .
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应面积；三角形的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接OC，如图
∵经过原点O的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点，
∴OA=OB，
∴OB=，
∵AC∥x轴，
∴△BOD~△BAC，
∴，
∵△OBD的面积为3，
∴S△AOC=，
∵AC∥x轴，
∴AC⊥y轴，
∴S△AOC=，
即a-b=6，
故答案为：6.
【分析】本题先根据过原点的一次函数与反比例函数相交的特点，求出OB=，然后根据平行性质判断出△BOD~△BAC，从而得出，接着利用三角形中线性质得出S△AOC=，最后依据反比例函数k的几何意义得出S△AOC=，从而得出答案。
13． 如图， 在矩形ABCD中， 边BC上有一点E，作射线AE，将射线AE绕点A 顺时针 旋转 90°，交 CD的延 长 线 于 点 G，以 线段 AE，AG为邻 边 作 矩 形 AEFG，则 　 　 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；余角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、AEFG为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠GAE=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠DAG=90°-∠DAE，∠DAE=∠AGD=90°-∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AGD=∠AEB，
∴△ADG~△ABE，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，∠DAB=∠GAE=∠ADC=90°，然后计算推出∠BAE=∠DAG、∠DAE=∠AGD，接着利用“两直线平行、内错角相等”综合推出∠AGD=∠AEB，此时利用AA证明出△ADG~△ABE，最后利用相似三角形对应边成比例列式计算即可。
三、解答题（本题共7小题，共61分)
14． 计算：
（1） 5-(-2)+(-3)
（2）
【答案】（1）解：原式＝5+2﹣3
＝7﹣3
＝4
（2）解：原式=
=
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和括号和的形式，再进行简便计算即可；
（2）按照混合运算法则，先算乘方，再把绝对值符号去掉，然后算乘法，最后算加减即可
15．解下列不等式组，并写出它的所有整数解.
【答案】解：
解不等式①，得： x<10，
解不等式②，得：
∴不等式组的解为
即整数解为7， 8， 9.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题依据解不等式的步骤，先分别求出不等式组中的两个不等式，此时综合即可得出该不等式组的解，然后再该解的范围内取整数即可。
16．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人 校园智创赛”.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”.
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
信息2： 八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94；九年级C组同学的成绩分别为： 89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息3：
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 b 35%
（1） 完成填空： a= ▲ ，b= ▲ ，并补全条形统计图；
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好 请说明理由（写出一条理由即可)；
（3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人
【答案】（1）解：88.5， 88；
补全条形图如下：
（2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：
两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，因此八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好。
（3）解：估计该校八、九年级成绩为A 等级的学生共有（人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从条形统计图得出，八年级A等级的人数=20-5-4-8=3人，
八年级数据中位数
九年级中A等级的人数为20×20%=4人，B等级的人数为人，C等级的人数为人，D等级的人数为20×20%=4人，而数据中出现次数最多的是88，
∴b=88；
故答案为：（1）88.5， 88；
【分析】（1）先计算出八年级A等级的人数有3人，然后结合数据以及中位数的定义即可分析出八年级数据中位数是88和89，最后取这两个数的平均值即可求出a；分别计算出九年级各等级的人数，发现C等级人数最多，然后在C等级中找到出现最多的数即为众数b；最后补充条形统计图即可；
（2）先对比两个年级的平均数，如果平均数相同，则比较中位数和众数，即可得出答案；
（3）先分别计算出八年级580人中，对应的A等级的人数有人；九年级525人中，对应的A等级的人数有人，最后求和即可。
17．为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
（1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．
则，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台；
（2）解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，
由题，，
解得；
设费用为，则，
，
随的增大而增大，
当时，最少，此时，
甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了台，可得乙种品牌的电脑购买了台．根据题意，列出方程组，求解即可；
（2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，设费用为，根据题意可得，解得；由题意可得，根据一次函数的性质求解即可．
18． 如图， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.
（1） 求证： △ACE∽△ABC；
（2） 求证： CE 是⊙O的切线；
（3） 若 求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明： ∵C是 的中点，
∴，
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC。
（2）证明： 连接OC， 如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
由（1） 知： ∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，即∠E=90°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE 是⊙O的切线。
（3）解：连接OD， 过点O作OF⊥AD于点F， 如图，
则
∵AD=2CE，
∴AF=CE.
∵OF⊥AD， CE⊥AE， OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF=CE，
∴OF=AF，
则△AFO 为等腰直角三角形，
，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠FAO=45°，
∴∠AOD=90°.
S扇形
∴阴影部分的面积=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；扇形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC；然后利用圆周角定理综合得出∠AEC=∠ACB=90°，此时利用AA即可得出△ACE∽△ABC；
（2）结合圆的性质以及等腰三角形的性质，得出∠OAC=∠OCA，结合（1）中的等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，因此综合得出∠EAC=∠OCA，此时利用“内错角相等、两直线平行”推出OC∥AE，再依据“两直线平行、同旁内角互补”综合推出OC⊥CE.，最后依据切线的判断即可得出答案；
（3）做辅助线后，依据垂径定理得出然后结合矩形判定条件得出四边形EFOC为矩形，从而综合推出OF=AF，此时即可得出△AFO 为等腰直角三角形，继而依据等腰直角三角形的性质得出，依据圆的性质以及等腰三角形的性质得出∠ODA=∠FAO=45°，从而计算出∠AOD=90°，这时阴影部分的面积可以看成是扇形OAD的面积减去△OAD的面积，最后代入计算即可。
19．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1).
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位： cm)，如果在离水面竖直距离为h（单位： cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离)s（单位： cm)与h的关系式为
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 hcm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
【答案】（1）解：而用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，
∴H=20cm，此时
∴当h=10cm时， s2有最大值 此时s=，
即当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm。
（2）解：
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20-a) =4b（20-b)，
变形得到（a-b) （a+b-20) =0，
∴a-b=0， 或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20。
（3）解：设垫高的高度为m(cm)，则
∴当时，Smax=20+m=20+16(cm)，
∴m=16cm， 此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）结合条件，将H=20cm代入中，再变为顶点式二次函数，即可求出此时s2与h的关系式为，然后即可得出h=10cm时，s有最大值，计算即可；
（2）结合s2与h的关系式，将h=a和h=b分别代入，得到关系式4a（20-a) =4b（20-b)，化简后即可得出答案；
（3）结合关系式，因此当“垫高塑料水瓶m(cm)”时，则关系式变为此时结合条件“ 射出水的最大射程增加16cm ”得出，当时，Smax=20+m=20+16(cm)，然后即可求出m的值以及小孔离水面的竖直距离
20． 在 ABCD中， 点E是线段CB延长线上的一个动点， 连接AE， 过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，写出AF与AE之间的数量关系：　 　；（直接写出结论)
（2）如图2，若四边形ABCD 是矩形，且 试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；
（3）如图3， 若四边形ABCD是菱形， 且∠ABC=60°， 过点A作AE⊥BC于点E， 过点A作AF⊥AB，交过D点与AD垂直的直线于点F，且DF=1，求
【答案】（1）AE=AF
（2）解：2AF=3AE，
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△ABE∽△ADF，
∴2AF=3AE；
（3）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD， AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∴∠BAE=90°-∠EAF=∠DAF=30°，
∵FD⊥AD， DF=1，
∴AF=2DF=2，
在 Rt△ABF中，根据勾股定理
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）AE=AF， 理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°， AB=AD，∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠ABE=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°=∠EAF=∠EAB+∠BAF，
∴∠DAF=∠EAB，
在△EAB和△FAD中，∠DAF=∠EAB，AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，
∴△EAB≌△FAD（ASA)，
∴AF=AE，
故答案为：（1） AF=AE；
【分析】（1）依据正方形的性质依据平角的定义，得出AB=AD和∠ABE=∠ADF=90°，然后依据“等角的余角相等”得出∠DAF=∠EAB，最后利用ASA证明出△EAB≌△FAD，再利用全等三角形的性质即可得出答案；
（2）结合矩形的性质以及平角的定义，推出∠ABE=∠D=90°，然后依据“等角的余角相等”得出∠EAB=∠FAD，此时利用AA证明出△ABE∽△ADF，从而得到最后将代入即可得出答案；
（3）根据菱形的性质以及平行线的性质，推出AE⊥AD，然后依据“直角三角形锐角互余”得出∠BAE=30°，接着依据“等角的余角相等”计算得出∠BAE=∠DAF=30°，此时利用“含30°直角三角形的形状”得出AF=2DF=2，并利用三角函数计算出利用勾股定理求出BF，最后列式计算即可得出答案。
1 / 1广东省深圳市龙华实验学校教育集团 20252026学年九年级下学期学情自检数学试题（三月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．在东西走向的马路上，若把向东走1km记做＋1km，则向西走2km应记做（　　）
A．＋2km B．－2km C．＋1km D．－1km
2．百米大赛的成绩差异总在毫厘之间，裁判经常会依据视频回放帮助自己作出正确的判断，如图大致反映了场上运动员的（　　）
A．主视图 B．左视图 C．右视图 D．俯视图
3．央视春晚的主题为“龙行龘（dá)疆，欣欣家园”， “龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，现将分别印有“龙”、“行”、“龘”、“龘”四张质地均匀，大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层， “飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°， 则高BC是 （　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
5．下列各式计算错误的有 （　　）
b
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
7．李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件.已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件 设张师傅每小时做手工艺品x件，则根据题意，可列出方程是 （　　）
A．40x=50（x-4) B．40+x=50-4x
C． D．
8．如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．已知关于的方程的解是，则的值为　 　．
10．将点A （-2，3)先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点 B，则点B的坐标是 　 　 .
11．化简的结果是　 　．
12．如图，经过原点O 的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点（点A在第一象限)，过点A作AC∥x轴，与反比例函数 图象交于点 C，连结 BC与x轴交于点 D.若△OBD的面积为3， 则a-b的值为 　 　 .
13． 如图， 在矩形ABCD中， 边BC上有一点E，作射线AE，将射线AE绕点A 顺时针 旋转 90°，交 CD的延 长 线 于 点 G，以 线段 AE，AG为邻 边 作 矩 形 AEFG，则 　 　 .
三、解答题（本题共7小题，共61分)
14． 计算：
（1） 5-(-2)+(-3)
（2）
15．解下列不等式组，并写出它的所有整数解.
16．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人 校园智创赛”.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”.
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
信息2： 八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94；九年级C组同学的成绩分别为： 89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息3：
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 b 35%
（1） 完成填空： a= ▲ ，b= ▲ ，并补全条形统计图；
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好 请说明理由（写出一条理由即可)；
（3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人
17．为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
（1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？
18． 如图， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.
（1） 求证： △ACE∽△ABC；
（2） 求证： CE 是⊙O的切线；
（3） 若 求阴影部分的面积.
19．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1).
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位： cm)，如果在离水面竖直距离为h（单位： cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离)s（单位： cm)与h的关系式为
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 hcm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
20． 在 ABCD中， 点E是线段CB延长线上的一个动点， 连接AE， 过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，写出AF与AE之间的数量关系：　 　；（直接写出结论)
（2）如图2，若四边形ABCD 是矩形，且 试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；
（3）如图3， 若四边形ABCD是菱形， 且∠ABC=60°， 过点A作AE⊥BC于点E， 过点A作AF⊥AB，交过D点与AD垂直的直线于点F，且DF=1，求
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】向东记为+1，则向西记为-2；
故选：B.
【分析】由正负数的意义分析即可.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图大致反映了场上运动员的俯视图。
故答案为：D.
【分析】主视图，即从正面看到的图形；左视图，即从左面看到的图形；右视图，即从右边看到的图形；俯视图，即从上面看到的图形。题中每名运动员的头顶、位置均可观察到，因此是俯视图。如果是主视图，则无法观察到每名远动员的位置；如果是左视图或右视图，则运动员的头顶无法观察到。
3．【答案】A
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P=，
即抽取的卡片上印有汉字“ 龘 ”的概率为.
故答案为：A.
【分析】本题从条件分析，从中随机抽取一张卡片，一共有4种可能性，因为“ 龘 ”有两张卡片，因此抽到“ 龘 ”有两种可能性，最后根据概率定义列式即可，
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：从图中可知，BC⊥AC，即∠C=90°，
∵AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，即AB=50米，∠A=24°，
∴BC=AB×sinA=米，
故答案为：A.
【分析】本题结合图中信息得出，∠C=90°，而AB长度和∠A的度数已知，因此结合三角函数sinA=，列式BC=AB×sinA即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；完全平方式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：，错误；
，错误；
，错误；
，错误；
，错误；
综上，错误的有5个；
故答案为：D.
【分析】本题根据同底数幂乘法的逆用，即可判断①；依据合并同类项的计算法则即可计算并判断②；依据完全平方公式依据去括号法则，即可计算并判断③；依据幂的乘方计算法则即可计算判断④；依据完全平方公式即可计算并判断⑤。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设张师傅每小时做手工艺品x件，则李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，结合题意列式。
故答案为：D.
【分析】本题先根据条件“张师傅比李师傅每小时少做4件”，则可以得出李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，而张师傅做40件需要小时，李师傅做50件需要小时，条件“ 张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等 ”，因此可以列出分式方程，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，
∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F，
∴CD=CE=4，EF=DF，
∴MN=CD=CE=BE=4，
在Rt△BEN中，EN=，
∴ME=MN-EN=4-，
设EF=DF=a，则MF=2-a，
在Rt△MEF中，，即，
解得a=，
∴FD的长为。
故答案为：D.
【分析】本题先根据正方形的性质以及对称轴的性质，得出BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，然后依据折叠的性质综合得出MN=CD=CE=BE=4以及EF=DF，此时可以利用勾股定理计算出EN=，最后放到Rt△MEF中，利用勾股定理列式即可求出FD的长度。
9．【答案】
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程中得：
，
，
故答案为：．
【分析】根据方程解的含义，把方程的解代入原方程，求解即可．
10．【答案】（-5， 5)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A（-2，3)向左平移3个单位长度，此时的坐标为（-2-3，3），即（-5，3）；再向上平移2个单位长度，此时的坐标为（-5，3+2），即（-5，5），
∴点B的坐标是（-5，5）。
故答案为：（-5，5）.
【分析】依据坐标的平移公式，即将点P(x，y)向左或右平移a个单位，则纵坐标不变，横坐标变为x-a或x+a；如果向上或向下平移b个单位，则横坐标不变，纵坐标变为y+b或y-b。本题先求出将点A向左平移3个单位后对应的坐标，然后再此基础上再向上平移2个单位长度得到的坐标，即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：x．
【分析】根据分式的四则运算，对分式进行化简，即可求解．
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应面积；三角形的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接OC，如图
∵经过原点O的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点，
∴OA=OB，
∴OB=，
∵AC∥x轴，
∴△BOD~△BAC，
∴，
∵△OBD的面积为3，
∴S△AOC=，
∵AC∥x轴，
∴AC⊥y轴，
∴S△AOC=，
即a-b=6，
故答案为：6.
【分析】本题先根据过原点的一次函数与反比例函数相交的特点，求出OB=，然后根据平行性质判断出△BOD~△BAC，从而得出，接着利用三角形中线性质得出S△AOC=，最后依据反比例函数k的几何意义得出S△AOC=，从而得出答案。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；余角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、AEFG为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠GAE=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠DAG=90°-∠DAE，∠DAE=∠AGD=90°-∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AGD=∠AEB，
∴△ADG~△ABE，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，∠DAB=∠GAE=∠ADC=90°，然后计算推出∠BAE=∠DAG、∠DAE=∠AGD，接着利用“两直线平行、内错角相等”综合推出∠AGD=∠AEB，此时利用AA证明出△ADG~△ABE，最后利用相似三角形对应边成比例列式计算即可。
14．【答案】（1）解：原式＝5+2﹣3
＝7﹣3
＝4
（2）解：原式=
=
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和括号和的形式，再进行简便计算即可；
（2）按照混合运算法则，先算乘方，再把绝对值符号去掉，然后算乘法，最后算加减即可
15．【答案】解：
解不等式①，得： x<10，
解不等式②，得：
∴不等式组的解为
即整数解为7， 8， 9.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题依据解不等式的步骤，先分别求出不等式组中的两个不等式，此时综合即可得出该不等式组的解，然后再该解的范围内取整数即可。
16．【答案】（1）解：88.5， 88；
补全条形图如下：
（2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：
两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，因此八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好。
（3）解：估计该校八、九年级成绩为A 等级的学生共有（人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）从条形统计图得出，八年级A等级的人数=20-5-4-8=3人，
八年级数据中位数
九年级中A等级的人数为20×20%=4人，B等级的人数为人，C等级的人数为人，D等级的人数为20×20%=4人，而数据中出现次数最多的是88，
∴b=88；
故答案为：（1）88.5， 88；
【分析】（1）先计算出八年级A等级的人数有3人，然后结合数据以及中位数的定义即可分析出八年级数据中位数是88和89，最后取这两个数的平均值即可求出a；分别计算出九年级各等级的人数，发现C等级人数最多，然后在C等级中找到出现最多的数即为众数b；最后补充条形统计图即可；
（2）先对比两个年级的平均数，如果平均数相同，则比较中位数和众数，即可得出答案；
（3）先分别计算出八年级580人中，对应的A等级的人数有人；九年级525人中，对应的A等级的人数有人，最后求和即可。
17．【答案】（1）解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．
则，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台；
（2）解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，
由题，，
解得；
设费用为，则，
，
随的增大而增大，
当时，最少，此时，
甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了台，可得乙种品牌的电脑购买了台．根据题意，列出方程组，求解即可；
（2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，设费用为，根据题意可得，解得；由题意可得，根据一次函数的性质求解即可．
18．【答案】（1）证明： ∵C是 的中点，
∴，
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC。
（2）证明： 连接OC， 如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
由（1） 知： ∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，即∠E=90°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE 是⊙O的切线。
（3）解：连接OD， 过点O作OF⊥AD于点F， 如图，
则
∵AD=2CE，
∴AF=CE.
∵OF⊥AD， CE⊥AE， OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF=CE，
∴OF=AF，
则△AFO 为等腰直角三角形，
，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠FAO=45°，
∴∠AOD=90°.
S扇形
∴阴影部分的面积=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；扇形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC；然后利用圆周角定理综合得出∠AEC=∠ACB=90°，此时利用AA即可得出△ACE∽△ABC；
（2）结合圆的性质以及等腰三角形的性质，得出∠OAC=∠OCA，结合（1）中的等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，因此综合得出∠EAC=∠OCA，此时利用“内错角相等、两直线平行”推出OC∥AE，再依据“两直线平行、同旁内角互补”综合推出OC⊥CE.，最后依据切线的判断即可得出答案；
（3）做辅助线后，依据垂径定理得出然后结合矩形判定条件得出四边形EFOC为矩形，从而综合推出OF=AF，此时即可得出△AFO 为等腰直角三角形，继而依据等腰直角三角形的性质得出，依据圆的性质以及等腰三角形的性质得出∠ODA=∠FAO=45°，从而计算出∠AOD=90°，这时阴影部分的面积可以看成是扇形OAD的面积减去△OAD的面积，最后代入计算即可。
19．【答案】（1）解：而用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，
∴H=20cm，此时
∴当h=10cm时， s2有最大值 此时s=，
即当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm。
（2）解：
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20-a) =4b（20-b)，
变形得到（a-b) （a+b-20) =0，
∴a-b=0， 或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20。
（3）解：设垫高的高度为m(cm)，则
∴当时，Smax=20+m=20+16(cm)，
∴m=16cm， 此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）结合条件，将H=20cm代入中，再变为顶点式二次函数，即可求出此时s2与h的关系式为，然后即可得出h=10cm时，s有最大值，计算即可；
（2）结合s2与h的关系式，将h=a和h=b分别代入，得到关系式4a（20-a) =4b（20-b)，化简后即可得出答案；
（3）结合关系式，因此当“垫高塑料水瓶m(cm)”时，则关系式变为此时结合条件“ 射出水的最大射程增加16cm ”得出，当时，Smax=20+m=20+16(cm)，然后即可求出m的值以及小孔离水面的竖直距离
20．【答案】（1）AE=AF
（2）解：2AF=3AE，
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△ABE∽△ADF，
∴2AF=3AE；
（3）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD， AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∴∠BAE=90°-∠EAF=∠DAF=30°，
∵FD⊥AD， DF=1，
∴AF=2DF=2，
在 Rt△ABF中，根据勾股定理
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）AE=AF， 理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°， AB=AD，∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠ABE=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°=∠EAF=∠EAB+∠BAF，
∴∠DAF=∠EAB，
在△EAB和△FAD中，∠DAF=∠EAB，AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，
∴△EAB≌△FAD（ASA)，
∴AF=AE，
故答案为：（1） AF=AE；
【分析】（1）依据正方形的性质依据平角的定义，得出AB=AD和∠ABE=∠ADF=90°，然后依据“等角的余角相等”得出∠DAF=∠EAB，最后利用ASA证明出△EAB≌△FAD，再利用全等三角形的性质即可得出答案；
（2）结合矩形的性质以及平角的定义，推出∠ABE=∠D=90°，然后依据“等角的余角相等”得出∠EAB=∠FAD，此时利用AA证明出△ABE∽△ADF，从而得到最后将代入即可得出答案；
（3）根据菱形的性质以及平行线的性质，推出AE⊥AD，然后依据“直角三角形锐角互余”得出∠BAE=30°，接着依据“等角的余角相等”计算得出∠BAE=∠DAF=30°，此时利用“含30°直角三角形的形状”得出AF=2DF=2，并利用三角函数计算出利用勾股定理求出BF，最后列式计算即可得出答案。
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