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广东省湛江市第十四中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分）
1．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列词语所描述的事件中是不可能事件的是(　　)
A．温故知新 B．水滴石穿 C．水中捞月 D．日出东方
3．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
4．若一个角的余角是，则这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为(　　)
A． B．或
C． D．或
6．下列各式中，从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共15分）
11．分解因式： =　 　.
12．若，则　 　
13．如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为　 　．
14．唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为　 　
15．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为　 　．
三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
17．解不等式组并写出它的非负整数解．
18．数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上．
（1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
（2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平 （注：水果是卡片D，E）
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
（1）求证：；
（2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
20．第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件．
（1）请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？
（2）第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？
21．如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决：
（1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式；
（2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称．
①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ；
②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内 请说明理由．
五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为　 　．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
23．如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点.
（1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）在（1）的条件下：
①若，，求的长；
②设，，当时，求y关于x的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
不是中心对称图形；
B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形；
C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形；
D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： A.“温故知新”指复习旧知识获得新理解，是可能事件，不符合题意；
B.“水滴石穿”指水滴长期滴落可穿石，是可能事件，不符合题意；
C.“水中捞月”指捞取水中月影，实际不可能实现，是不可能事件，符合题意；
D.“日出东方”指太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】通过分析各选项词语的含义，判断其描述的事件是否可能发生．
3．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
故选：C．
【分析】根据题意可得，点A表示的数为，再根据相反数的含义求解即可．
4．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：根据余角的定义，，
故选：B
【分析】根据余角的概念，两角的和为90°，这两个互余，求解即可．
5．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为 1：3 时，点 C (4，1) 的对应点 C' 的坐标 为或，即或
故答案为：D。
【分析】这道题考察位似变换的坐标规律，核心是：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标等于原坐标乘以相似比（或其相反数），需考虑位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况。
6．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，该选项错误，故不符合题意；
B.不是同类项，无法相加，该选项错误，故不符合题意；
C.不是同类项，无法相减，该选项错误，故不符合题意；
D.为积的乘方运算，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】利用相反数，去括号，合并同类项，积的乘方法则对选项逐个判断，求解即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数的性质可知，当函数在每个象限内随增大而增大时，其比例系数小于0。
本题中比例系数为，因此有，
解得。
故答案为：D。
【分析】 本题考查反比例函数的图象与性质，核心是明确反比例函数（为常数，）的增减性规律：当时，函数图象在每一个象限内，随的增大而增大；当时则相反。解题关键是根据题目给出的增减性，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围。
8．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径是6，高是8，
∴圆锥的母线长=，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积．
故选：C．
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线，利用圆锥侧面积的公式求解即可．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=AD=4，∠C=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
由AB=BE，得AB=5，
因为AB∥CD，所以△EFC∽△AFB，相似比为，
设EF=3k，则BF=5k，由，解得，
所以，
故答案为：B。
【分析】本题核心是矩形性质、勾股定理与相似三角形的综合应用，先利用矩形边长和勾股定理求出 BE、AB 的长度，再通过平行线判定相似三角形，结合相似比建立方程求解 EF 的长度。
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，过点C作，如图所示，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为，
第二次旋转后点C的坐标为，
第三次旋转后点C的坐标为，
∵每次旋转，，
∴每旋转4次为一个循环．
∵，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故答案为：B．
【分析】
连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为，解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
【分析】将式子进行化简得到，再整体代入，求解即可．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴与的面积比为，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为．
故答案为．
【分析】根据相似三角形的性质可得，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据面积得到相似比，进而求解．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴在中，
∴．
故答案为：2m。
【分析】先根据垂径定理求出弦 AB 的一半 AD 的长度，再在 Rt△AOD 中用勾股定理算出 OD 的长度，最后由半径 OC 减去 OD 得到浸水深度 CD。
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：过点E作于点G，
∵，
∴设，，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据折叠性质，；，
，
∴，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】
过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可解答．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】根据负整指数幂，零指数幂，二次根式的除法，绝对值对每个式子进行化简，然后求解即可．
17．【答案】解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每一个不等式的解，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再求出非负整数解即可．
18．【答案】（1）
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：，
∵，
∴这个游戏不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：，
故答案为：．
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，分别求出小轩赢的概率，小辉赢的概率，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：，
故答案为：．
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：，
∵，
∴这个游戏不公平．
19．【答案】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1） 在平行四边形中得到，，由勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可求证；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由BC=AD可以得到，从而得到四边形是平行四边形，再根据，即可求证．
（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
20．【答案】（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为．
（2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：每件公仔应降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，求解即可；
（2）设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，然后根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为．
（2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：每件公仔应降价10元．
21．【答案】（1）由题意得，，，∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）①，；
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；两个图形成中心对称
【解析】【解答】（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，；
【分析】(1) 已知抛物线顶点，设顶点式，代入点求出，得到解析式。
(2) ①根据中心对称性质，顶点关于的对称点为，即腾空最大高度为；设顶点式，代入求出，得表达式。
②令，解方程得，计算，故D在安全距离内。
（1）由题意得，，，
∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，；
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内．
22．【答案】（1）；（2）方案①：证明：∵，∴，．∵，∴．∴．∴． ∵， ∴，∴，∴．方案②：证明：∵，∴，．∵，∴，∴． ∵， ∴，即．方案③证明：∵，，∴．∵，∴，∴．∵， ∴， ∴，∴．（3）证明：∵平分，∴，．∵，∴．∴．∴． 又∵， ∴．∴．∴．又∵，∴．
（1）
（2）解：方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
【分析】(1) 在Rt△ABC中，利用折叠性质得到角相等，证明△ABC∽△DAC，结合线段关系推导出；
(2) 选择任意一种构造平行线或高的方案，通过证明相似三角形，利用对应边成比例，最终得到仍然成立。
(3) 先由角平分线性质得，再通过AE=DE和角的推导证明△ABE∽△CAE，结合AE=DE，最终证得。
23．【答案】（1）解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
②如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①M、N、B三点共线，②FN⊥CE，求证：③FN=FM。
证明：由、得，故；又，则，从而，所以。
(2) ①由、得，；在中算得，，，故为等腰直角三角形，，，四边形为矩形，因此。
②由，结合，得；作，在中利用勾股定理建立方程，化简后得。
（1）解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
②如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
1 / 1广东省湛江市第十四中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分）
1．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
不是中心对称图形；
B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形；
C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形；
D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．下列词语所描述的事件中是不可能事件的是(　　)
A．温故知新 B．水滴石穿 C．水中捞月 D．日出东方
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： A.“温故知新”指复习旧知识获得新理解，是可能事件，不符合题意；
B.“水滴石穿”指水滴长期滴落可穿石，是可能事件，不符合题意；
C.“水中捞月”指捞取水中月影，实际不可能实现，是不可能事件，符合题意；
D.“日出东方”指太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】通过分析各选项词语的含义，判断其描述的事件是否可能发生．
3．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
故选：C．
【分析】根据题意可得，点A表示的数为，再根据相反数的含义求解即可．
4．若一个角的余角是，则这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：根据余角的定义，，
故选：B
【分析】根据余角的概念，两角的和为90°，这两个互余，求解即可．
5．以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为(　　)
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为 1：3 时，点 C (4，1) 的对应点 C' 的坐标 为或，即或
故答案为：D。
【分析】这道题考察位似变换的坐标规律，核心是：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标等于原坐标乘以相似比（或其相反数），需考虑位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况。
6．下列各式中，从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，该选项错误，故不符合题意；
B.不是同类项，无法相加，该选项错误，故不符合题意；
C.不是同类项，无法相减，该选项错误，故不符合题意；
D.为积的乘方运算，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】利用相反数，去括号，合并同类项，积的乘方法则对选项逐个判断，求解即可．
7．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数的性质可知，当函数在每个象限内随增大而增大时，其比例系数小于0。
本题中比例系数为，因此有，
解得。
故答案为：D。
【分析】 本题考查反比例函数的图象与性质，核心是明确反比例函数（为常数，）的增减性规律：当时，函数图象在每一个象限内，随的增大而增大；当时则相反。解题关键是根据题目给出的增减性，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围。
8．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径是6，高是8，
∴圆锥的母线长=，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积．
故选：C．
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线，利用圆锥侧面积的公式求解即可．
9．如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=AD=4，∠C=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
由AB=BE，得AB=5，
因为AB∥CD，所以△EFC∽△AFB，相似比为，
设EF=3k，则BF=5k，由，解得，
所以，
故答案为：B。
【分析】本题核心是矩形性质、勾股定理与相似三角形的综合应用，先利用矩形边长和勾股定理求出 BE、AB 的长度，再通过平行线判定相似三角形，结合相似比建立方程求解 EF 的长度。
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，过点C作，如图所示，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为，
第二次旋转后点C的坐标为，
第三次旋转后点C的坐标为，
∵每次旋转，，
∴每旋转4次为一个循环．
∵，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故答案为：B．
【分析】
连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为，解答即可．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共15分）
11．分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
12．若，则　 　
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
【分析】将式子进行化简得到，再整体代入，求解即可．
13．如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴与的面积比为，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为．
故答案为．
【分析】根据相似三角形的性质可得，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据面积得到相似比，进而求解．
14．唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴在中，
∴．
故答案为：2m。
【分析】先根据垂径定理求出弦 AB 的一半 AD 的长度，再在 Rt△AOD 中用勾股定理算出 OD 的长度，最后由半径 OC 减去 OD 得到浸水深度 CD。
15．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：过点E作于点G，
∵，
∴设，，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据折叠性质，；，
，
∴，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】
过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可解答．
三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】根据负整指数幂，零指数幂，二次根式的除法，绝对值对每个式子进行化简，然后求解即可．
17．解不等式组并写出它的非负整数解．
【答案】解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每一个不等式的解，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再求出非负整数解即可．
18．数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上．
（1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
（2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平 （注：水果是卡片D，E）
【答案】（1）
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：，
∵，
∴这个游戏不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：，
故答案为：．
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，分别求出小轩赢的概率，小辉赢的概率，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：，
故答案为：．
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：，
∵，
∴这个游戏不公平．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
（1）求证：；
（2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1） 在平行四边形中得到，，由勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可求证；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由BC=AD可以得到，从而得到四边形是平行四边形，再根据，即可求证．
（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
20．第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件．
（1）请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？
（2）第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？
【答案】（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为．
（2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：每件公仔应降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，求解即可；
（2）设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，然后根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为．
（2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：每件公仔应降价10元．
21．如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决：
（1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式；
（2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称．
①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ；
②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内 请说明理由．
【答案】（1）由题意得，，，∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）①，；
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；两个图形成中心对称
【解析】【解答】（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，；
【分析】(1) 已知抛物线顶点，设顶点式，代入点求出，得到解析式。
(2) ①根据中心对称性质，顶点关于的对称点为，即腾空最大高度为；设顶点式，代入求出，得表达式。
②令，解方程得，计算，故D在安全距离内。
（1）由题意得，，，
∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，；
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内．
五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为　 　．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
【答案】（1）；（2）方案①：证明：∵，∴，．∵，∴．∴．∴． ∵， ∴，∴，∴．方案②：证明：∵，∴，．∵，∴，∴． ∵， ∴，即．方案③证明：∵，，∴．∵，∴，∴．∵， ∴， ∴，∴．（3）证明：∵平分，∴，．∵，∴．∴．∴． 又∵， ∴．∴．∴．又∵，∴．
（1）
（2）解：方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
【分析】(1) 在Rt△ABC中，利用折叠性质得到角相等，证明△ABC∽△DAC，结合线段关系推导出；
(2) 选择任意一种构造平行线或高的方案，通过证明相似三角形，利用对应边成比例，最终得到仍然成立。
(3) 先由角平分线性质得，再通过AE=DE和角的推导证明△ABE∽△CAE，结合AE=DE，最终证得。
23．如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点.
（1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）在（1）的条件下：
①若，，求的长；
②设，，当时，求y关于x的函数关系式．
【答案】（1）解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
②如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①M、N、B三点共线，②FN⊥CE，求证：③FN=FM。
证明：由、得，故；又，则，从而，所以。
(2) ①由、得，；在中算得，，，故为等腰直角三角形，，，四边形为矩形，因此。
②由，结合，得；作，在中利用勾股定理建立方程，化简后得。
（1）解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
②如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
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