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浙江省衢州市衢江区2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题卷
1．如图1，某博物院收藏着一件西周乐器云纹青铜大铙，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹、图2为其结构示意图，则它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
2．我国天问二号探测器正奔赴小行星执行探测与采样任务．截至2025年12月，该探测器累计行程已达1.8亿公里．将数“180000000”用科学记数法表示为(　　)
A．1.8×107 B． C． D．
3．一个不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解为(　　)
A．x>1 B．x≤4 C．1≤x<4 D．14．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为 则三人中成绩最稳定的选手是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinC的值是(　　)
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，已知正六边形 ABCDEF的边长为1，连接AE， BD，则四边形ABDE的面积为(　　)

A．2 B． C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，若点A(1，y1)， B(-2，y2)在反比例函数 的图象上，则 的值为(　　)
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．不能确定
10．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
11．计算：当x=2时，二次根式 　 　．
12．因式分解： 　 　．
13．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，数学兴趣小组研究哥德巴赫猜想时，在质数2，3，5中随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是　 　．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则弦BC的长为　 　．
15．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交 PA于点E．当PE=3AE时，则PC的长为　 　．
17． 计算：
18． 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 时，小江同学的解法如图所示：
（1）你认为 是原方程的解吗 请检验(写出检验过程)：
（2）请选择合适的方法解原方程．
19．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
20．某科技公司为评估自研AI机器人的交互响应时延(响应时延越短越优)，对内部研发的A、B两种型号机器人进行了多轮响应测试，以下是响应时延的部分检测数据信息，每个型号均测试10次，每次测试的响应时延(单位：毫秒)记录如下：
A型号： 120， 135， 125， 130， 130，132， 130， 133， 138， 140； B型号： 118， 132， 124， 126， 124，132， 132， 142， 132， 145．
型号 平均数 中位数 众数
A 132 a 130
B 132 132 b
（1）请直接写出a，b的值：
（2）结合响应时延的平均数、中位数、众数等数据，比较哪种型号的 A1机器人响应时延更优，并阐述理由；
（3）在一次对 AI机器人性能的抽检中，发现抽检的200台AI机器人中有5台存在严重的响应延迟问题。若该公司现生产有10000台AI机器人，请你估算该公司存在严重响应延迟问题的 AI机器人数量。
21．某款电饭煲有两种工作模式：煮饭模式和保温模式．在煮饭模式下将水和米加热至105℃后自动进入保温模式．现有一锅20℃的常温食材，经过35分钟加热至105℃后进入保温模式．数学研究小组对电饭煲工作原理进行调查，调查结果如下，并绘制出温度y(℃)与时间x(分)的关系如图所示．
（1） 填空： m的值为　 　；
（2）求线段AB的表达式(不需要写x的取值范围)；
（3）切断主加热电路后开始降温，当x=50时，y=90，求第一次开始加热的时间n的值．
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
23．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
24．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为
；
故答案为：D.
【分析】根据从正面看到的平面图形为主视图解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 180000000= ，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x>1；从4出发向左画出的折线且表示4的点是实心圆，表示
所以这个不等式组的解集为
故答案为：D.
【分析】根据数轴上表示的取值范围得到不等式组的解集即可.
4．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
0.006<0.012<0.025，
∴甲的成绩最稳定，
故选： A.
【分析】根据方差小的成绩稳定解答即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A不符合题意，
则B符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故选： B.
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】求正弦值；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：在 中，AB=3，BC=4，
故选： C.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，然后利用锐正弦的定义进行计算，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
在 与 中，
∵AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形.
∴四边形ABDE的面积
故选： C.
【分析】根据正六边形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 然后根据SAS得到△AEF≌△BCD，得到AE=BD，进而得到四边形ABDE是矩形，根据矩形的性质解答即可.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 在反比例函数
的图象上，
的值一定是正数，
故选： A.
【分析】根据图象上点的坐标特征求得 得到 即可判断.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
11．【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，二次根式
故答案为：3.
【分析】把x的值代入化简即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
∴概率为
故答案为：
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，然后利用概率公式计算解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
故答案为：
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理得到 再由勾股定理求解.
15．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
16．【答案】或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长DE角CB延长线于点F，
设CP=x，则CF=3-x，
即
整理得
解得 即
故答案为： 或
【分析】延长DE交CB延长线于点F，根据正方形的性质得到，即可得到PF=3，设CP=x，则CF=3-x，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可.
17．【答案】解：原式=
=1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先运算零指数幂、绝对值、负整数指数幂，然后运算加减解答即可.
18．【答案】（1）解：不是原方程的解，
当x=1时，左边=1× (1-2) =-1；
右边=3
∵左边≠右边
∴x=1 不是原方程的解
（2）解：
x-1=2或x-1=-2
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；
(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.
19．【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
20．【答案】（1）a=131；b=132；
（2）解：A型号与B型号的平均数相等，但从众数和中位数看，A型号优于B型号；
（3）解：，
答：其中响应时延过长的机器人大约有250架.

【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)A型号的数据从小到大排列，第5个和第6个数据是130， 132，
所以
B型号中132出现的次数最多，
所以b=132；
故答案为：131，132；
【分析】(1)利用众数、中位数的定义求出a，b的值即可；
(2)根据求得的中位数，众数及平均数进行比较判断即可；
(3)用10000乘以严重响应延迟问题的 AI机器人的占比解答即可 .
21．【答案】（1）100
（2）解：设y= kx+b，
将(30， 100)和(35， 105)代入表达式，得
解得
∴函数表达式为y=x+70(30≤x≤35)．
（3）解：设BC表达式为y= kx+b，
将(35， 105)和(50， 90)代入表达式，得
解得
∴函数表达式为y=-x+140
当y=60时， - x+140=60
解得x=80.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由电饭煲的工作原理，结合函数图象可知经过30分钟后，水温达到100℃，
∴m=100，
故答案为：100；
【分析】（1）根据函数图象可知经过30分钟水沸腾，即可得到m的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB 的解析式即可；
（3）先求出直线BC的解析式，令y=60，求出x的值解答即可.
22．【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
24．【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
1 / 1浙江省衢州市衢江区2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题卷
1．如图1，某博物院收藏着一件西周乐器云纹青铜大铙，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹、图2为其结构示意图，则它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为
；
故答案为：D.
【分析】根据从正面看到的平面图形为主视图解答即可.
2．我国天问二号探测器正奔赴小行星执行探测与采样任务．截至2025年12月，该探测器累计行程已达1.8亿公里．将数“180000000”用科学记数法表示为(　　)
A．1.8×107 B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 180000000= ，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．一个不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解为(　　)
A．x>1 B．x≤4 C．1≤x<4 D．1【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x>1；从4出发向左画出的折线且表示4的点是实心圆，表示
所以这个不等式组的解集为
故答案为：D.
【分析】根据数轴上表示的取值范围得到不等式组的解集即可.
4．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为 则三人中成绩最稳定的选手是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
0.006<0.012<0.025，
∴甲的成绩最稳定，
故选： A.
【分析】根据方差小的成绩稳定解答即可.
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A不符合题意，
则B符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故选： B.
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinC的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正弦值；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：在 中，AB=3，BC=4，
故选： C.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，然后利用锐正弦的定义进行计算，即可解答.
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
8．如图，已知正六边形 ABCDEF的边长为1，连接AE， BD，则四边形ABDE的面积为(　　)

A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
在 与 中，
∵AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形.
∴四边形ABDE的面积
故选： C.
【分析】根据正六边形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 然后根据SAS得到△AEF≌△BCD，得到AE=BD，进而得到四边形ABDE是矩形，根据矩形的性质解答即可.
9．在平面直角坐标系xOy中，若点A(1，y1)， B(-2，y2)在反比例函数 的图象上，则 的值为(　　)
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．不能确定
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 在反比例函数
的图象上，
的值一定是正数，
故选： A.
【分析】根据图象上点的坐标特征求得 得到 即可判断.
10．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
11．计算：当x=2时，二次根式 　 　．
【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，二次根式
故答案为：3.
【分析】把x的值代入化简即可.
12．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
13．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，数学兴趣小组研究哥德巴赫猜想时，在质数2，3，5中随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
∴概率为
故答案为：
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，然后利用概率公式计算解答即可.
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则弦BC的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
故答案为：
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理得到 再由勾股定理求解.
15．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交 PA于点E．当PE=3AE时，则PC的长为　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长DE角CB延长线于点F，
设CP=x，则CF=3-x，
即
整理得
解得 即
故答案为： 或
【分析】延长DE交CB延长线于点F，根据正方形的性质得到，即可得到PF=3，设CP=x，则CF=3-x，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可.
17． 计算：
【答案】解：原式=
=1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先运算零指数幂、绝对值、负整数指数幂，然后运算加减解答即可.
18． 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 时，小江同学的解法如图所示：
（1）你认为 是原方程的解吗 请检验(写出检验过程)：
（2）请选择合适的方法解原方程．
【答案】（1）解：不是原方程的解，
当x=1时，左边=1× (1-2) =-1；
右边=3
∵左边≠右边
∴x=1 不是原方程的解
（2）解：
x-1=2或x-1=-2
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；
(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.
19．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
20．某科技公司为评估自研AI机器人的交互响应时延(响应时延越短越优)，对内部研发的A、B两种型号机器人进行了多轮响应测试，以下是响应时延的部分检测数据信息，每个型号均测试10次，每次测试的响应时延(单位：毫秒)记录如下：
A型号： 120， 135， 125， 130， 130，132， 130， 133， 138， 140； B型号： 118， 132， 124， 126， 124，132， 132， 142， 132， 145．
型号 平均数 中位数 众数
A 132 a 130
B 132 132 b
（1）请直接写出a，b的值：
（2）结合响应时延的平均数、中位数、众数等数据，比较哪种型号的 A1机器人响应时延更优，并阐述理由；
（3）在一次对 AI机器人性能的抽检中，发现抽检的200台AI机器人中有5台存在严重的响应延迟问题。若该公司现生产有10000台AI机器人，请你估算该公司存在严重响应延迟问题的 AI机器人数量。
【答案】（1）a=131；b=132；
（2）解：A型号与B型号的平均数相等，但从众数和中位数看，A型号优于B型号；
（3）解：，
答：其中响应时延过长的机器人大约有250架.

【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)A型号的数据从小到大排列，第5个和第6个数据是130， 132，
所以
B型号中132出现的次数最多，
所以b=132；
故答案为：131，132；
【分析】(1)利用众数、中位数的定义求出a，b的值即可；
(2)根据求得的中位数，众数及平均数进行比较判断即可；
(3)用10000乘以严重响应延迟问题的 AI机器人的占比解答即可 .
21．某款电饭煲有两种工作模式：煮饭模式和保温模式．在煮饭模式下将水和米加热至105℃后自动进入保温模式．现有一锅20℃的常温食材，经过35分钟加热至105℃后进入保温模式．数学研究小组对电饭煲工作原理进行调查，调查结果如下，并绘制出温度y(℃)与时间x(分)的关系如图所示．
（1） 填空： m的值为　 　；
（2）求线段AB的表达式(不需要写x的取值范围)；
（3）切断主加热电路后开始降温，当x=50时，y=90，求第一次开始加热的时间n的值．
【答案】（1）100
（2）解：设y= kx+b，
将(30， 100)和(35， 105)代入表达式，得
解得
∴函数表达式为y=x+70(30≤x≤35)．
（3）解：设BC表达式为y= kx+b，
将(35， 105)和(50， 90)代入表达式，得
解得
∴函数表达式为y=-x+140
当y=60时， - x+140=60
解得x=80.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由电饭煲的工作原理，结合函数图象可知经过30分钟后，水温达到100℃，
∴m=100，
故答案为：100；
【分析】（1）根据函数图象可知经过30分钟水沸腾，即可得到m的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB 的解析式即可；
（3）先求出直线BC的解析式，令y=60，求出x的值解答即可.
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
24．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
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