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四川省绵阳市梓潼县2026年九年级中考一模数学试卷
1．《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”.在下列实数中，属于“面”的是(　　)
A． B． C．0 D．0
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
3．依据《某某省推动低空经济高质量发展行动方案(2024-2026年)》，预计2026年低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4． 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
6．如图， Rt△ACB 的斜边与半圆的直径 AB 重合放置， ∠ACB=90°，点 M 为 AB上任意一点，连接CM 并延长交半圆于点 N，连接 BN，若∠ABC=40°，则∠BNC 的度数为(　　)
A．60° B．55° C．50° D．30°
7．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．下列关于二次函数 及其图象描述错误的是(　　)
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与x轴交点坐标为(-3， 0)， (1， 0)
C．当x=-1时， y取最大值4
D．当x>-1时， y随x的增大而增大
9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（　　）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
10．一个正方形的面积为 15，估计这个正方形的边长在(　　)
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
11．如图， 在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4， 以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC， 点 P 为菱形内一点， 连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．8π D．
12．如图， 在矩形ABCD中， AB=3， AD=5， 点E在DC上， 将矩形ABCD沿AE折叠，点D 恰好落在 BC 边上的点 F处，那么 sin∠EFC的值为 (　　)
A． B． C． D．
13．因式分解：4a2 (3x-2y) +16 (2y-3x) = 　 　.
14．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
15．在100 张奖券中，有4张为中奖奖券，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是 　 　.
16．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为65m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°.沿水平方向由点O飞行36m到达点 F，此时测得点 E 处俯角为 60°，其中点 A， B， C， D， E，F，O 均在同一竖直平面内，则楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长约为　 　.(结果精确到1m.参考数据：
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形 ABCO 是菱形， 且点 A 落在函数 的图象上，则四边形 ABCO 的周长是　 　.
18．如图，在四边形 ABCD 中， BC=CD，点 E 为对角线 AC 上一点，连接 BE， DE，若∠BAC=∠CBE， AB=6， BE=3， AD=5， 则 BDE= 　 　.
19．计算：
（1）
（2）先化简，再求值： 其中 x，y满足等式
20．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位： h)如表：
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值.
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 在第二象限的图象交于点 A (-1，n)，与x轴交于点 B(2， 0)， 连结AO 并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点 C .
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）求△ABC 的面积.
22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
23．在△ABC中， AB=AC， O为AB上一点， ⊙O与BC相交于点D .
（1）如图①， AB 为⊙O 的直径，若∠BAC=50°， ⊙O 与AC 相交于点E，求∠EBD 和∠BED 的大小；
（2）如图②， ⊙O经过点B，与AB相交于点E，与AC相切于点 F，过点E作弦EG∥AC，连接BG， OD， BG与OD 相交于点 H，若EG=4，求OH的长.
24．如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C .对称轴为直线 的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为 m，过点 P 作x轴的平行线交抛物线于另一点 M，过点 P 作x轴的垂线 PN，垂足为点 N，直线 MN 交y轴于点 D .
（1）求抛物线的解析式.
（2）若 设直线 MN 交直线 BC 于点 E，是否存在这样的m值，使MN=2ME 若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
25．如图1，将 绕点A逆时针旋转得到 AEFG，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心.
（1）连接NE、ME， 当NE=ME时：
①求证： AE平分∠MAN；
②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E (要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（2）如图3， 当 绕点A 逆时针旋转一定角度后，连接BF、GE，且两直线BF、GE互相垂直.若 求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，是无理数；
C．是循环小数，是有理数；
D.0是整数，是有理数．
故选：B．
【分析】“面”是指无限不循环小数，即无理数，逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3000亿．
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、无对称轴，A错误.
B、无对称轴，B错误.
C、沿某条直线折叠，两旁部分可重合，C正确.
D、无对称轴，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 ），逐一判断.
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，的斜边与半圆的直径重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径可得点O再AB上，点在圆上，根据直角三角形的两锐角互余可得，再根据圆周角定理的推论解答即可．
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方，根据同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则逐项解答判断即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，原说法正确，不符合题意；
B、当时，，解得或，
∴抛物线与轴交点坐标为，，原说法正确，不符合题意；
C、∵，且抛物线的开口向下，
∴当时，取最大值4，原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据a<0得到开口方向判断A选项；令，求出x的值判断B选项；把一般式化为顶点式判断C选项；根据二次函数的增减性判断D选项解答即可．
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A种玩具x件，B种玩具y件，根据题意得
x+3y=12
解之：x=12-3y，
∵ 每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，
∴
解之：
∴不等式组的解集为：1≤y≤3
∵y为整数，
∴y=1，2，3，
∴x=9，6，3，
∴一共有3种方案.
故答案为：D.
【分析】设A种玩具x件，B种玩具y件，可得到关于x，y的方程，解方程表示出x，再根据 每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，可得到关于y的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到不等式组的正整数解，即可得到小华的购买方案.
10．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方形的面积是15
∴该正方形的边长为
∵9＜15＜16
∴3＜＜4
故选：B．
【分析】先求出正方形的边长，然后根据无理数的估算解答即可.
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故选：B．
【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质可得是等边三角形，然后根据SSS得到△APB≌△APC，即可得到∠PAB=∠PAC，进而得到哦啊△BPC是等腰直角三角形，求出长，利用解答即可．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
，
在中，，
则，
设，则，
在中，，
解得：，
，
，
故选：C．
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得到，在中，根据勾股定理求出BF长，在中运用勾股定理求出CE长，再根据正弦的定义即可求解．
13．【答案】4(3x-2y)(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
14．【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
15．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为在100张奖券中有4张中奖，某人从中抽取1张，有可能出现100种结果，中奖的结果为4种，所以他中奖的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
16．【答案】78m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长与分别交直线交于G、H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
故答案为：.
【分析】延长与分别交直线交于G、H，在Rt△OGA中根据切线的性质求出OG长，再在Rt△EFH中利用余弦的定义求出FH的值，再根据线段的和差解答即可．
17．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，
设点坐标为，
，
∴，整理得，
解得或（舍去），
，
，
∴四边形的周长为，
故答案为： 20 ．
【分析】作轴，垂足为，设点坐标为，根据正切的定义求出的值，然后利用勾股定理求出长，即可求出菱形的面积即可．
18．【答案】2.5
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
即
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据两角对应相等得到，即可得到，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
∴x=3，y=2，
当x=3，y=2时，原式
【知识点】二次根式有无意义的条件；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的化简，分母有理化，绝对值和乘方，然后加减解答即可；
（2）先把括号内分式通分合并，把除法化为乘法约分化简，然后根据二次根式的被开方数为非负数求出x，y的值，再代入化简后的分式计算即可．
20．【答案】（1）解：甲组的平均数是11+12+13+14+15) =13 (h)，
则甲的方差，
即甲款保温杯保温时效的方差为2；
（2）解：∵乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，
解得x=4， x的值为4.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）求出甲组数据的平均数，然后根据方差的公式计算即可；
（2）根据平均数公式列方程解答即可．
21．【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥x轴，由条件可知BH=3，
∴Rt△ABH中，
∴A (-1， 3)，
将A (-1，3)代入反比例函数
得 解得： k=-3
∴反比例函数关系式为
由条件可得
解得：
∴一次函数关系式为y=-x+2；
（2）解：由题意得点A 与C 关于原点对称， A (-1， 3)，
∴OA=OC，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作轴，利用勾股定理求出，即可得到，再把点坐标代入求出解析式，根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据对称性可得点A、 C关于原点对称，即可得到，即可得到，利用三角形面积公式解答即可．
22．【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
23．【答案】（1）解：∴AB=AC， ∠BAC=50°，
∵AB为⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=25°，
∵四边形ABDE 是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∴∠AED=115°，
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵GE∥AC，
∴OD∥EG，
∵OB=OE，
∴BH=GH，
∴OH 是△BEG 的中位线，
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据等边对角和三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差求出的度数，再根据圆内接四边形性质和邻补角的定义求出的度数解答即可；
（2）根据等边对等角可得∠ABC=∠C=∠ODB，即可得到OD∥AC，进而得到OD∥EG，再根据三角形的中位线性质解答即可．
24．【答案】（1）解：在y=-x+4中，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴点B (4，0)，点C (0，4)，
设抛物线的表达式为
把点B (4，0)，点C (0，4)的坐标分别代入，
得 解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在.
∵抛物线的对称轴为直线 点P的坐标为，
∴点M的横坐标为
∴N(m，0)，M(3-m，-m2+3m+4)，
①如图，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在直线
∵点E在直线y=-x+4上，
可得
解得 或 (舍去)，
故此时m的值为
②如图，
设点E的坐标为(n，-n+4)，则 N (m，0)，
∵MN=2ME，
3-m-m=2 (n-3+m) ②，
联立①②，
解得 (舍去)或
综上，m的值为 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）设点P的坐标为，则点N(m，0)，M(3-m，-m2+3m+4)，分在MN内部与外部两种情况讨论，根据列方程解答即可．
25．【答案】（1）①证明：由旋转可知， AM=AN，在△ANE和△AME中，
∴△ANE≌△AME (SSS)，
∴∠NAE=∠MAE，
∴AE平分∠MAN；
②解：如图，点E即为所求；

（2）解：记 BF 与 GE 交点为I，
∵GE⊥FB，
∴∠GIF=90°，
∵∠EGF=45°，
∴GI=FI=4，
过A作AH⊥BF，垂足为 H，
则
∵∠NFI=∠AFH，∠FIN=∠AHF，
∴△FNI∽△FAH，
∴AH=2NI=3，FH=2FI=8，
由勾股定理得
第一种情况：如图1所示，
第二种情况：如图2所示，
综上，△ABF的面积为 或 ．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①根据得到，即可得到，证明结论即可；
②以A为圆心，AB长为半径做弧，然后连接AC和BD交于点M，以M为圆心，MB为半径作弧，两弧交于点E，则点E即为所作；
（2）记 BF 与 GE 交点为I，根据垂直可得△IFG是等腰直角三角形，过A作AH⊥BF，垂足为 H，即可得到△FNI∽△FAH，利用对应边成比例求出AH=2NI=3，FH=2FI=8，然后根据勾股定理求出BH的长，然后分为两种情况求出BF长，根据三角形的面积公式计算即可.
1 / 1四川省绵阳市梓潼县2026年九年级中考一模数学试卷
1．《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”.在下列实数中，属于“面”的是(　　)
A． B． C．0 D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，是无理数；
C．是循环小数，是有理数；
D.0是整数，是有理数．
故选：B．
【分析】“面”是指无限不循环小数，即无理数，逐项判断解答即可．
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．依据《某某省推动低空经济高质量发展行动方案(2024-2026年)》，预计2026年低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3000亿．
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4． 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、无对称轴，A错误.
B、无对称轴，B错误.
C、沿某条直线折叠，两旁部分可重合，C正确.
D、无对称轴，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 ），逐一判断.
5．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
6．如图， Rt△ACB 的斜边与半圆的直径 AB 重合放置， ∠ACB=90°，点 M 为 AB上任意一点，连接CM 并延长交半圆于点 N，连接 BN，若∠ABC=40°，则∠BNC 的度数为(　　)
A．60° B．55° C．50° D．30°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，的斜边与半圆的直径重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径可得点O再AB上，点在圆上，根据直角三角形的两锐角互余可得，再根据圆周角定理的推论解答即可．
7．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方，根据同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则逐项解答判断即可．
8．下列关于二次函数 及其图象描述错误的是(　　)
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与x轴交点坐标为(-3， 0)， (1， 0)
C．当x=-1时， y取最大值4
D．当x>-1时， y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，原说法正确，不符合题意；
B、当时，，解得或，
∴抛物线与轴交点坐标为，，原说法正确，不符合题意；
C、∵，且抛物线的开口向下，
∴当时，取最大值4，原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据a<0得到开口方向判断A选项；令，求出x的值判断B选项；把一般式化为顶点式判断C选项；根据二次函数的增减性判断D选项解答即可．
9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（　　）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A种玩具x件，B种玩具y件，根据题意得
x+3y=12
解之：x=12-3y，
∵ 每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，
∴
解之：
∴不等式组的解集为：1≤y≤3
∵y为整数，
∴y=1，2，3，
∴x=9，6，3，
∴一共有3种方案.
故答案为：D.
【分析】设A种玩具x件，B种玩具y件，可得到关于x，y的方程，解方程表示出x，再根据 每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，可得到关于y的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到不等式组的正整数解，即可得到小华的购买方案.
10．一个正方形的面积为 15，估计这个正方形的边长在(　　)
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方形的面积是15
∴该正方形的边长为
∵9＜15＜16
∴3＜＜4
故选：B．
【分析】先求出正方形的边长，然后根据无理数的估算解答即可.
11．如图， 在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4， 以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC， 点 P 为菱形内一点， 连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．8π D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故选：B．
【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质可得是等边三角形，然后根据SSS得到△APB≌△APC，即可得到∠PAB=∠PAC，进而得到哦啊△BPC是等腰直角三角形，求出长，利用解答即可．
12．如图， 在矩形ABCD中， AB=3， AD=5， 点E在DC上， 将矩形ABCD沿AE折叠，点D 恰好落在 BC 边上的点 F处，那么 sin∠EFC的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
，
在中，，
则，
设，则，
在中，，
解得：，
，
，
故选：C．
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得到，在中，根据勾股定理求出BF长，在中运用勾股定理求出CE长，再根据正弦的定义即可求解．
13．因式分解：4a2 (3x-2y) +16 (2y-3x) = 　 　.
【答案】4(3x-2y)(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
14．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
15．在100 张奖券中，有4张为中奖奖券，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是 　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为在100张奖券中有4张中奖，某人从中抽取1张，有可能出现100种结果，中奖的结果为4种，所以他中奖的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
16．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为65m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°.沿水平方向由点O飞行36m到达点 F，此时测得点 E 处俯角为 60°，其中点 A， B， C， D， E，F，O 均在同一竖直平面内，则楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长约为　 　.(结果精确到1m.参考数据：
【答案】78m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长与分别交直线交于G、H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
故答案为：.
【分析】延长与分别交直线交于G、H，在Rt△OGA中根据切线的性质求出OG长，再在Rt△EFH中利用余弦的定义求出FH的值，再根据线段的和差解答即可．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形 ABCO 是菱形， 且点 A 落在函数 的图象上，则四边形 ABCO 的周长是　 　.
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，
设点坐标为，
，
∴，整理得，
解得或（舍去），
，
，
∴四边形的周长为，
故答案为： 20 ．
【分析】作轴，垂足为，设点坐标为，根据正切的定义求出的值，然后利用勾股定理求出长，即可求出菱形的面积即可．
18．如图，在四边形 ABCD 中， BC=CD，点 E 为对角线 AC 上一点，连接 BE， DE，若∠BAC=∠CBE， AB=6， BE=3， AD=5， 则 BDE= 　 　.
【答案】2.5
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
即
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据两角对应相等得到，即可得到，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
19．计算：
（1）
（2）先化简，再求值： 其中 x，y满足等式
【答案】（1）解：
（2）解：
∴x=3，y=2，
当x=3，y=2时，原式
【知识点】二次根式有无意义的条件；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的化简，分母有理化，绝对值和乘方，然后加减解答即可；
（2）先把括号内分式通分合并，把除法化为乘法约分化简，然后根据二次根式的被开方数为非负数求出x，y的值，再代入化简后的分式计算即可．
20．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位： h)如表：
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值.
【答案】（1）解：甲组的平均数是11+12+13+14+15) =13 (h)，
则甲的方差，
即甲款保温杯保温时效的方差为2；
（2）解：∵乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，
解得x=4， x的值为4.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）求出甲组数据的平均数，然后根据方差的公式计算即可；
（2）根据平均数公式列方程解答即可．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 在第二象限的图象交于点 A (-1，n)，与x轴交于点 B(2， 0)， 连结AO 并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点 C .
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）求△ABC 的面积.
【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥x轴，由条件可知BH=3，
∴Rt△ABH中，
∴A (-1， 3)，
将A (-1，3)代入反比例函数
得 解得： k=-3
∴反比例函数关系式为
由条件可得
解得：
∴一次函数关系式为y=-x+2；
（2）解：由题意得点A 与C 关于原点对称， A (-1， 3)，
∴OA=OC，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作轴，利用勾股定理求出，即可得到，再把点坐标代入求出解析式，根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据对称性可得点A、 C关于原点对称，即可得到，即可得到，利用三角形面积公式解答即可．
22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
23．在△ABC中， AB=AC， O为AB上一点， ⊙O与BC相交于点D .
（1）如图①， AB 为⊙O 的直径，若∠BAC=50°， ⊙O 与AC 相交于点E，求∠EBD 和∠BED 的大小；
（2）如图②， ⊙O经过点B，与AB相交于点E，与AC相切于点 F，过点E作弦EG∥AC，连接BG， OD， BG与OD 相交于点 H，若EG=4，求OH的长.
【答案】（1）解：∴AB=AC， ∠BAC=50°，
∵AB为⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=25°，
∵四边形ABDE 是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∴∠AED=115°，
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵GE∥AC，
∴OD∥EG，
∵OB=OE，
∴BH=GH，
∴OH 是△BEG 的中位线，
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据等边对角和三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差求出的度数，再根据圆内接四边形性质和邻补角的定义求出的度数解答即可；
（2）根据等边对等角可得∠ABC=∠C=∠ODB，即可得到OD∥AC，进而得到OD∥EG，再根据三角形的中位线性质解答即可．
24．如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C .对称轴为直线 的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为 m，过点 P 作x轴的平行线交抛物线于另一点 M，过点 P 作x轴的垂线 PN，垂足为点 N，直线 MN 交y轴于点 D .
（1）求抛物线的解析式.
（2）若 设直线 MN 交直线 BC 于点 E，是否存在这样的m值，使MN=2ME 若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：在y=-x+4中，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴点B (4，0)，点C (0，4)，
设抛物线的表达式为
把点B (4，0)，点C (0，4)的坐标分别代入，
得 解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在.
∵抛物线的对称轴为直线 点P的坐标为，
∴点M的横坐标为
∴N(m，0)，M(3-m，-m2+3m+4)，
①如图，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在直线
∵点E在直线y=-x+4上，
可得
解得 或 (舍去)，
故此时m的值为
②如图，
设点E的坐标为(n，-n+4)，则 N (m，0)，
∵MN=2ME，
3-m-m=2 (n-3+m) ②，
联立①②，
解得 (舍去)或
综上，m的值为 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）设点P的坐标为，则点N(m，0)，M(3-m，-m2+3m+4)，分在MN内部与外部两种情况讨论，根据列方程解答即可．
25．如图1，将 绕点A逆时针旋转得到 AEFG，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心.
（1）连接NE、ME， 当NE=ME时：
①求证： AE平分∠MAN；
②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E (要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（2）如图3， 当 绕点A 逆时针旋转一定角度后，连接BF、GE，且两直线BF、GE互相垂直.若 求 的面积.
【答案】（1）①证明：由旋转可知， AM=AN，在△ANE和△AME中，
∴△ANE≌△AME (SSS)，
∴∠NAE=∠MAE，
∴AE平分∠MAN；
②解：如图，点E即为所求；

（2）解：记 BF 与 GE 交点为I，
∵GE⊥FB，
∴∠GIF=90°，
∵∠EGF=45°，
∴GI=FI=4，
过A作AH⊥BF，垂足为 H，
则
∵∠NFI=∠AFH，∠FIN=∠AHF，
∴△FNI∽△FAH，
∴AH=2NI=3，FH=2FI=8，
由勾股定理得
第一种情况：如图1所示，
第二种情况：如图2所示，
综上，△ABF的面积为 或 ．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①根据得到，即可得到，证明结论即可；
②以A为圆心，AB长为半径做弧，然后连接AC和BD交于点M，以M为圆心，MB为半径作弧，两弧交于点E，则点E即为所作；
（2）记 BF 与 GE 交点为I，根据垂直可得△IFG是等腰直角三角形，过A作AH⊥BF，垂足为 H，即可得到△FNI∽△FAH，利用对应边成比例求出AH=2NI=3，FH=2FI=8，然后根据勾股定理求出BH的长，然后分为两种情况求出BF长，根据三角形的面积公式计算即可.
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