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河北唐山市2026届高三第一次模拟演练数学试题
1．样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（　　）
A．8 B．6 C． D．3
2．表示复数z的共轭复数，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（　　）
A． B．
C． D．
4．记为等差数列的前n项和，若，，则（　　）
A．11 B．9 C．8 D．5
5．某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（　　）
A．6种 B．12种 C．14种 D．28种
6．若x为锐角，且.则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（　　）
A．M的最小值为 B．M的最大值为1
C．N的最小值为0 D．N的最大值为
9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（　　）
A．是等比数列 B．
C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列
10．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（　　）
A．与有相同的零点
B．为偶函数
C．与有相同的极值点
D．对任意的，都有
11．O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（　　）
A．N的横坐标是4
B．
C．直线斜率的最大为
D．当直线与C相切时，
12．已知，若，则　 　.
13．已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为　 　.
14．若一个棱长为的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为　 　.
15．如图，在三棱锥中，，，D是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.
（1）求C的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.
17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
（1）证明：；
（2）若，求A.
18．函数，.
（1）若在上单调递减，求a的取值范围；
（2）若曲线与在处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ⅱ）若，证明：.
19．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
（1）若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
（2）若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当时，，，，.）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为.
故答案为：C.
【分析】直接求数据的中位数即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的模以及共轭复数的定义，以及复数代数形式的减法运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：如图：.
故答案为：C.
【分析】利用图求解即可.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，得，即，解得，
因为，所以公差，则.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列的前n项和、等差数列的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法，则不同的分配方案有（种）.
故答案为：C.
【分析】利用分组、分配求解即可.
6．【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得或，
因为x为锐角，所以，
即或，
解第一个不等式组得，则，
解第二个不等式组得，无解；
综上，x的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】不等式转化为或，结合三角函数的性质求解即可.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
因为双曲线C为等轴双曲线，所以，，
则双曲线C：，圆O：，
联立，解得，
则四边形的面积为，圆O的面积为，
故.
故答案为：B.
【分析】由双曲线C为等轴双曲线，求得，确定双曲线C：，圆O：，联立圆与双曲线方程，求得，表示四边形面积，，再求比即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，可得，
若，即，则，显然不成立；
则，，
令，则，，可得，解得；
，在内单调递减，在内单调递增，
则，且，可知在内有最小值0，最大值为，
即M有最小值0，最大值为，故AB错误；
，在内单调递增，
则，且，可知在内有最大值，最小值为，
即N有最大值，最小值为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由，可得，分析可知，整理可得，利用换元法，令，可得，用t表示，，利用函数的单调性，求最值判断即可.
9．【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，则是等比数列，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，是递减数列，故C正确；
D、假定中存在连续三项成等差数列，分别为，
则，即，整理得，矛盾，
因此中不存在连续三项成等差数列，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由，得，结合等比数列的定义即可判断A；利用等比数列的求和公式求解即可判断B；易知，判断数列的单调性即可判断C；假定中存在连续三项成等差数列，分别为，利用等差数列的性质求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数型复合函数的性质及应用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，
A、由，得，由，得，则与有相同的零点，故A正确；
B、，则，
即为偶函数，故B正确；
C、函数，，当时，，当，，
函数有唯一极值点，由，求导得，当时，，
当，，函数有唯一极值点，故C错误；
D、令，函数都是上的增函数，
则是上的增函数，当时，，则，
由为偶函数，得当时，，因此，都有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数的对称性求，分别求函数与的零点即可判断A；利用函数的奇偶性定义判断奇偶性即可判断B；求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可判断C；根据函数的单调性及偶函数性质推理即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，点，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，，
，，
由，得直线不过原点，且，，解得，
直线与x轴交于点，故A正确；
由对称性不妨令，直线，由消去，
得，当直线与C相切时，
，解得，
此时直线，，
点，，
因此，故B错误，D正确；
当直线与C相切时，直线，由，解得，
即点，直线的斜率，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】易知抛物线的焦点，点，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示求出点坐标即可判断A；求出直线为切线时，直线的方程及点坐标求解即可判断BCD.
12．【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
当时，可得，即，解得或（舍去）；
当时，可得，即，方程无解；
综上所述：.
故答案为：3.
【分析】由题意，分和两种去绝对值，解方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数诱导公式二~六；相等向量
【解析】【解答】解：由，可得，
设与轴正向夹角为，则，
即，解得，
由题意得：，
设，则，可得，，则.
故答案为：.
【分析】易知向量的坐标和模，设与轴正向夹角为，由题意可得，求得，代入求得的坐标，设，利用向量相等求解点坐标即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四面体棱长为，
该正四面体绕其中心在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，
则正四面体的外接球在该封闭的圆锥形容器内，要该圆锥体积最小，
必有球为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球的截面大圆，
延长交平面于，则是正的中心，平面，
，，设球半径为，
则，解得，令圆锥底面圆半径为，母线为，高为，
于是，由，得，
圆锥的体积，
，当且仅当时取等号，
所以此圆锥体积的最小值为.
故答案为：.
【分析】要使正四面体的外接球在该封闭的圆锥形容器内，圆锥体积最小，必有球为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球的截面大圆，延长交平面于，求出正四面体外接球半径，再求出球为圆锥内切球时圆锥体积表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
15．【答案】（1）证明：由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）知平面，利用锥体体积求出，得，直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量法求线面角即可.
（1）由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，则，，
又因为的面积，即，，所以椭圆C的方程为；
（2）解：由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为可得，结合的面积求得的值，即可得椭圆方程；
（2）由（1）可知：，，假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可.
（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，
则，，
又因为的面积，即，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
17．【答案】（1）证明：由，可得，
整理可得，由正弦定理可得；
（2）解：由（1），可得，
则，
因为，所以，可得，
即，可得，
即，可得，
且，则，可得，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合正弦定理化简证明即可；
（2）由（1）可得，利用余弦定理结合可得，代入整理可得，根据正弦型函数的性质求解即可.
（1）因为，可得，
整理可得，
由正弦定理可得.
（2）因为，即，
则，
又因为，则，可得，
即，可得，
即，可得，
且，则，
可得，解得.
18．【答案】（1）解：函数在上单调递减，则，，
即，，因为，当且仅当时取等号，所以，
则a的取值范围是；
（2）解：（i）由，求导得，
由曲线与在处有相同的切线，得，即，解得，
此时曲线与在处的切线都为，符合题意，
则；
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，而，不符合题意；
当时，，则，，因此，符合题意；
当，的取值集合为，而在的取值集合为，
在的取值集合为，因此能成立，
当时，；
当时，，，
令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，而，则，
又因为函数在上单调递增，所以，即，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由题意可得恒成立，分离参数可得，利用基本不等式求解即可；
（2）（i）求函数的导函数，根据函数与在处的导数值相求的值即可；
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，求导，利用导数判断函数的单调性，再按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理求证即可.
（1）函数在上单调递减，则，，
即，，而，当且仅当时取等号，因此，
所以a的取值范围是.
（2）（i）由，求导得，
由曲线与在处有相同的切线，得，即，
解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意，
所以.
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，而，不符合题意；
当时，，则，，因此，符合题意；
当，的取值集合为，而在的取值集合为，
在的取值集合为，因此能成立，
当时，；
当时，，，
令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，而，则，又函数在上单调递增，
于是，即，
所以.
19．【答案】（1）解：设抽到的第张奖券的金额为，
设甲获得最大金额奖励，，
则；
（2）解：（i）设：甲获得最大金额奖励，
若，则，故只需考虑的情况，
设：抽到的第张奖券金额为，
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则，
只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则，
则，
若，当时，；
（ii）由估值参考得，则，
令，则，
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因此，当时，取得最大值，
此时，不是整数，
又因为，所以的最大值约为0.3679，此时．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，将代入求解即可；
（ii）根据估值参考公式得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案.
（1）设抽到的第张奖券的金额为．
设甲获得最大金额奖励．
注意到．
则．
（2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励，
若，则，故只需考虑的情况．
设：抽到的第张奖券金额为．
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则．
只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则．
则．
若，当时，．
（ii）由估值参考得，则．
令，则．
当时，．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因此，当时，取得最大值．
此时，不是整数，
又，
所以的最大值约为0.3679，此时．
1 / 1河北唐山市2026届高三第一次模拟演练数学试题
1．样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（　　）
A．8 B．6 C． D．3
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为.
故答案为：C.
【分析】直接求数据的中位数即可.
2．表示复数z的共轭复数，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的模以及共轭复数的定义，以及复数代数形式的减法运算求解即可.
3．已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：如图：.
故答案为：C.
【分析】利用图求解即可.
4．记为等差数列的前n项和，若，，则（　　）
A．11 B．9 C．8 D．5
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，得，即，解得，
因为，所以公差，则.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列的前n项和、等差数列的性质求解即可.
5．某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（　　）
A．6种 B．12种 C．14种 D．28种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法，则不同的分配方案有（种）.
故答案为：C.
【分析】利用分组、分配求解即可.
6．若x为锐角，且.则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得或，
因为x为锐角，所以，
即或，
解第一个不等式组得，则，
解第二个不等式组得，无解；
综上，x的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】不等式转化为或，结合三角函数的性质求解即可.
7．等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
因为双曲线C为等轴双曲线，所以，，
则双曲线C：，圆O：，
联立，解得，
则四边形的面积为，圆O的面积为，
故.
故答案为：B.
【分析】由双曲线C为等轴双曲线，求得，确定双曲线C：，圆O：，联立圆与双曲线方程，求得，表示四边形面积，，再求比即可.
8．已知，，，则（　　）
A．M的最小值为 B．M的最大值为1
C．N的最小值为0 D．N的最大值为
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，可得，
若，即，则，显然不成立；
则，，
令，则，，可得，解得；
，在内单调递减，在内单调递增，
则，且，可知在内有最小值0，最大值为，
即M有最小值0，最大值为，故AB错误；
，在内单调递增，
则，且，可知在内有最大值，最小值为，
即N有最大值，最小值为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由，可得，分析可知，整理可得，利用换元法，令，可得，用t表示，，利用函数的单调性，求最值判断即可.
9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（　　）
A．是等比数列 B．
C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列
【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，则是等比数列，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，是递减数列，故C正确；
D、假定中存在连续三项成等差数列，分别为，
则，即，整理得，矛盾，
因此中不存在连续三项成等差数列，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由，得，结合等比数列的定义即可判断A；利用等比数列的求和公式求解即可判断B；易知，判断数列的单调性即可判断C；假定中存在连续三项成等差数列，分别为，利用等差数列的性质求解即可判断D.
10．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（　　）
A．与有相同的零点
B．为偶函数
C．与有相同的极值点
D．对任意的，都有
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数型复合函数的性质及应用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，
A、由，得，由，得，则与有相同的零点，故A正确；
B、，则，
即为偶函数，故B正确；
C、函数，，当时，，当，，
函数有唯一极值点，由，求导得，当时，，
当，，函数有唯一极值点，故C错误；
D、令，函数都是上的增函数，
则是上的增函数，当时，，则，
由为偶函数，得当时，，因此，都有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数的对称性求，分别求函数与的零点即可判断A；利用函数的奇偶性定义判断奇偶性即可判断B；求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可判断C；根据函数的单调性及偶函数性质推理即可判断D.
11．O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（　　）
A．N的横坐标是4
B．
C．直线斜率的最大为
D．当直线与C相切时，
【答案】A,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，点，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，，
，，
由，得直线不过原点，且，，解得，
直线与x轴交于点，故A正确；
由对称性不妨令，直线，由消去，
得，当直线与C相切时，
，解得，
此时直线，，
点，，
因此，故B错误，D正确；
当直线与C相切时，直线，由，解得，
即点，直线的斜率，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】易知抛物线的焦点，点，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示求出点坐标即可判断A；求出直线为切线时，直线的方程及点坐标求解即可判断BCD.
12．已知，若，则　 　.
【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
当时，可得，即，解得或（舍去）；
当时，可得，即，方程无解；
综上所述：.
故答案为：3.
【分析】由题意，分和两种去绝对值，解方程求解即可.
13．已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数诱导公式二~六；相等向量
【解析】【解答】解：由，可得，
设与轴正向夹角为，则，
即，解得，
由题意得：，
设，则，可得，，则.
故答案为：.
【分析】易知向量的坐标和模，设与轴正向夹角为，由题意可得，求得，代入求得的坐标，设，利用向量相等求解点坐标即可.
14．若一个棱长为的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四面体棱长为，
该正四面体绕其中心在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，
则正四面体的外接球在该封闭的圆锥形容器内，要该圆锥体积最小，
必有球为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球的截面大圆，
延长交平面于，则是正的中心，平面，
，，设球半径为，
则，解得，令圆锥底面圆半径为，母线为，高为，
于是，由，得，
圆锥的体积，
，当且仅当时取等号，
所以此圆锥体积的最小值为.
故答案为：.
【分析】要使正四面体的外接球在该封闭的圆锥形容器内，圆锥体积最小，必有球为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球的截面大圆，延长交平面于，求出正四面体外接球半径，再求出球为圆锥内切球时圆锥体积表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
15．如图，在三棱锥中，，，D是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）知平面，利用锥体体积求出，得，直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量法求线面角即可.
（1）由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.
（1）求C的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，则，，
又因为的面积，即，，所以椭圆C的方程为；
（2）解：由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为可得，结合的面积求得的值，即可得椭圆方程；
（2）由（1）可知：，，假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可.
（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，
则，，
又因为的面积，即，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
（1）证明：；
（2）若，求A.
【答案】（1）证明：由，可得，
整理可得，由正弦定理可得；
（2）解：由（1），可得，
则，
因为，所以，可得，
即，可得，
即，可得，
且，则，可得，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合正弦定理化简证明即可；
（2）由（1）可得，利用余弦定理结合可得，代入整理可得，根据正弦型函数的性质求解即可.
（1）因为，可得，
整理可得，
由正弦定理可得.
（2）因为，即，
则，
又因为，则，可得，
即，可得，
即，可得，
且，则，
可得，解得.
18．函数，.
（1）若在上单调递减，求a的取值范围；
（2）若曲线与在处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ⅱ）若，证明：.
【答案】（1）解：函数在上单调递减，则，，
即，，因为，当且仅当时取等号，所以，
则a的取值范围是；
（2）解：（i）由，求导得，
由曲线与在处有相同的切线，得，即，解得，
此时曲线与在处的切线都为，符合题意，
则；
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，而，不符合题意；
当时，，则，，因此，符合题意；
当，的取值集合为，而在的取值集合为，
在的取值集合为，因此能成立，
当时，；
当时，，，
令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，而，则，
又因为函数在上单调递增，所以，即，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由题意可得恒成立，分离参数可得，利用基本不等式求解即可；
（2）（i）求函数的导函数，根据函数与在处的导数值相求的值即可；
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，求导，利用导数判断函数的单调性，再按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理求证即可.
（1）函数在上单调递减，则，，
即，，而，当且仅当时取等号，因此，
所以a的取值范围是.
（2）（i）由，求导得，
由曲线与在处有相同的切线，得，即，
解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意，
所以.
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，而，不符合题意；
当时，，则，，因此，符合题意；
当，的取值集合为，而在的取值集合为，
在的取值集合为，因此能成立，
当时，；
当时，，，
令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，而，则，又函数在上单调递增，
于是，即，
所以.
19．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
（1）若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
（2）若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当时，，，，.）
【答案】（1）解：设抽到的第张奖券的金额为，
设甲获得最大金额奖励，，
则；
（2）解：（i）设：甲获得最大金额奖励，
若，则，故只需考虑的情况，
设：抽到的第张奖券金额为，
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则，
只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则，
则，
若，当时，；
（ii）由估值参考得，则，
令，则，
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因此，当时，取得最大值，
此时，不是整数，
又因为，所以的最大值约为0.3679，此时．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，将代入求解即可；
（ii）根据估值参考公式得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案.
（1）设抽到的第张奖券的金额为．
设甲获得最大金额奖励．
注意到．
则．
（2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励，
若，则，故只需考虑的情况．
设：抽到的第张奖券金额为．
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则．
只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则．
则．
若，当时，．
（ii）由估值参考得，则．
令，则．
当时，．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因此，当时，取得最大值．
此时，不是整数，
又，
所以的最大值约为0.3679，此时．
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