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内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．在中，，，若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若与垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
5．已知向量，，，若，则（ ）
A． B．24 C． D．12
6．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．下列关于向量的命题，错误的是（ ）
A．
B．在边长为1的等边中，
C．若，则
D．若，则向量的夹角是钝角
10．已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
11．已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
三、填空题
12．已知，则与同向的单位向量的坐标为______.
13．如图，在平行四边形ABCD中，，，，则______.

14．如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是__________.
四、解答题
15．已知向量，满足，向量的夹角为．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．已知的内角的对边分别为，，且的面积为．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的值．
17．如图，在中，为的中点，且．
(1)求；
(2)若，求．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，．
(1)若，，求向量夹角的余弦值；
(2)若向量共线．
①求证：角为直角；
②求的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值.
参考答案
1．B
2．D
3．B
4．B
5．A
6．C
7．C
8．B
9．ABD
10．BD
11．BCD
12．
13．
14．/
15．（1）由题意可得，，
则；
（2）由已知，，
，
则向量与的夹角的余弦值为.
16（1）由余弦定理得，
因为，所以.
由三角形面积公式得，
又因为，所以，
所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，得，
而，得，又，
得为等边三角形，得，
故.
17．（1）因为为的中点，所以，
则，
即，
因为，所以，
所以，即．
（2）不妨令，则，设，则．
在中，由余弦定理得，
即．①
在中，由余弦定理得，即．②
①②联立，解得，
所以．
18．（1）若，，则，，
则，所以向量夹角的余弦值为 .
（2）①若向量共线，则，即，
可得，则，
因为，则，可知，，
可得，即，可得，
又，则，可得，则．
②由①可知：
，．
令，因为，则，，
可得，且，
则，
令，在区间内单调递增，且，，
可得，即的取值范围为．
19．（1）因为，
所以由正弦定理有，
所以，又因为、，
所以，故，故.
（2）由（1），所以的三个内角均小于120°，
所以由费马点定义有，
设，若
则由得，
即，
整理得，
所以
.
（3）由题意P为费马点，，
设，
则，故，
在、和中由余弦定理分别得
，
，
，
又，所以，
所以，即，
因为，
所以，结合可得当且仅当等号成立，
又，所以，
整理得，解得或，
又，所以，
综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为.

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