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专题 相似旋转
一．填空题（共1小题）
1．如图，Rt△ABC中，，点P到点B、点C的距离分别为12和6，则PA的最大值为 　 　 ．
二．解答题（共5小题）
2．如图1，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，
（1）如图1，求证：△ABD∽△ACE；
（2）如图2，当AD⊥BC时，判断四边形ADCE的形状，并证明．
（3）当点D从点B运动到点C时，设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，求CP的最小值．
3．[问题背景]
（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
[尝试应用]
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求①　 　 ．②的值．
[拓展延伸]
（3）如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长 　 　 ．
4．综合与实践：
【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　 　 ；
（2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
（4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度．
5．【初步探索】如图1，已知点B在直线CE上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线AE，BD交于点F，如图2所示．
（1）当△ACE的面积达到最大时，α的度数为 　 　 ；
（2）根据图2，求证：△ACE∽△BCD；
（3）根据图2，求∠BFE的度数；
【类比应用】如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝DE，DG＝3，连接AG，BF，请直接写出的值．
6．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长．
（3）当旋转角α＝　 　 时，△ABD的面积最大．
专题 相似旋转
一．填空题（共1小题）
1．如图，Rt△ABC中，，点P到点B、点C的距离分别为12和6，则PA的最大值为 　28　 ．
【答案】28．
【分析】根据边的关系作PQ⊥PC，且令PQ＝8构建△ABC∽△QPC，由相似三角形的性质得到∠ACB＝∠QCP，代换出∠ACQ＝∠BCP，再结合边的关系得到△BPC∽△AQC从而求出AQ长度，由三角形三边关系可知AP≤AQ+PQ，所以当Q在AP上时，AP有最大值，最大值为AQ+PQ．
【解答】解：如图所示，作PQ⊥PC，且令PQ＝8，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC＝90°，
∵，设AB＝4k，BC＝3k，
则，
∵BP＝12，PC＝6，
∴在△ABC和△QPC中，
，∠ABC＝∠QPC，
∴△ABC∽△QPC，
∠ACB＝∠QCP，
∴∠ACB﹣∠QCB＝∠QCP﹣∠QCB，即∠ACQ＝∠BCP，
∵在Rt△QCP中，，
∴在△BPC和△AQC中，
，∠ACQ＝∠BCP，
∴△BPC∽△AQC，
∴，
又∵PB＝12，
∴AQ＝20，
由图可知AP≤AQ+PQ，
∴当Q在AP上时，AP有最大值，最大值为AQ+PQ＝20+8＝28，
故答案为：28．
二．解答题（共5小题）
2．如图1，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，
（1）如图1，求证：△ABD∽△ACE；
（2）如图2，当AD⊥BC时，判断四边形ADCE的形状，并证明．
（3）当点D从点B运动到点C时，设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，求CP的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝90°，根据相似判断出∠AEC＝90°，即可得出结论；
（3）先判断出CP最小时，AD最小，再根据直角三角形的面积的计算方法求出AD的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（3）如图1，
连接CP，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根据勾股定理得，BC＝10，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴DEADAD，
由（1）知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝90°，
∴CPDE，
∵DEAD，
∴CPADAD，
要CP最小，则AD最小，
即：当AD⊥BC时，AD最小，
∵S△ABCAB ACBC AD最小，
∴AD最小，
即：CP最小AD最小4，
即CP的最小值为4．
3．[问题背景]
（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
[尝试应用]
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求①　　 ．②的值．
[拓展延伸]
（3）如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长 　　 ．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①；
②3；
（3）．
【分析】（1）由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
（2）①由cot30°直接得出结论即可；
②连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出，则可求出答案；
（3）过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出，证明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴cot30°；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，
∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，，
∴．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴，
故答案为：3；
（3）解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝26，
在Rt△ABM中，AM2，
∴AD．
4．综合与实践：
【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　　 ；
（2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
（4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）；
（4）△CEF面积的最大值为，BD的长度为．
【分析】（1）由定义可知△ABC∽△ADE，所以，再代入数值求解即可；
（2）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形即可得解；
（3）由题易得AD＝4，作BM⊥AC，DN⊥AE，垂足分别为M、N，根据等面积得，易证△ABM∽△AND，等比转化可得，从而得到△ABD∽△AEC，利用相似比求解即可；
（4）易证∠BCE＝90°，BDCEx，过F作FM⊥CE，AN⊥CE，分别交直线CE于点M、N，易得CN＝AC cos30°，所以EN＝CN﹣CEx，再证△AEN∽△EFM，得到FMENx，从而表示出△CEF的面积，最后利用二次函数最值求解即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝4，∠B＝30°，
∴AC＝BC sin30°＝2，AB＝BC cos30°＝2，
∵D是BC中点，
∴BC＝2，
由△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”可知，△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即，
∴CE；
故答案为：；
（2）证明：如图，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
∵，即，
∴△ABD∽△ACE；
（3）解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC中点，
∴，即∠ADB＝90°，
∴，
作BM⊥AC，DN⊥AE，垂足分别为M、N，
则∠AMB＝∠AND＝90°，
∵S△ABC＝S△ADE，
∴，
∴，
∵∠AMB＝∠AND，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABM∽△AND，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△AEC，
∴，即，
∴；
（4）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴BC＝2AC＝2，AB，
∵△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B＝90°，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠B＝30°，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴点E就在垂直BC的直线上运动，
设CE＝x，则BDx，
如图，过F作FM⊥CE，AN⊥CE，分别交直线CE于点M、N，
在Rt△ACN中，AC＝1，∠ACN＝30°，
∴CN＝AC cos30°，
∴EN＝CN﹣CEx，
∵四边形ADFE为矩形，
∴AD＝EF，∠EAD＝90°，
∴∠AEN＝∠EFM＝90°﹣∠MEF，
∵∠N＝∠M＝90°，
∴△AEN∽△EFM，
∴tan30°，
∴FMENx，
∴S△CEF
x （x）
x2x
（x）2，
∵0，
∴当x时，S△CEF，此时BDx，
∴△CEF面积的最大值为，BD的长度为．
5．【初步探索】如图1，已知点B在直线CE上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线AE，BD交于点F，如图2所示．
（1）当△ACE的面积达到最大时，α的度数为 　25°　 ；
（2）根据图2，求证：△ACE∽△BCD；
（3）根据图2，求∠BFE的度数；
【类比应用】如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝DE，DG＝3，连接AG，BF，请直接写出的值．
【答案】【初步探索】证明见解析；【问题解决】（1）25°；（2）证明见解析；（3）115°；【类比应用】．
【分析】【初步探索】利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ABC∽△EDC，再利用相似三角形的性质解答即可得出结论；
【问题解决】（1）利用三角形的底一定时，高最大，则三角形的面积最大解答即可；
（2）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可；
（3）利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理及其推论解答即可；
【类比应用】连接BD，DF，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】【初步探索】证明：∵AB＝AC，DE＝CE，
∴．
∵∠BAC＝∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴；
【问题解决】（1）解：∵EC一定，S△ACEEC AC，
∴当AC最大时，△ACE的面积达到最大，
由题意得：当AC⊥CE时，CE取得最大值，此时△ACE的面积达到最大．
∴∠ACE＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ACB65°，
∴旋转角α＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°；
（2）证明：∵AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE65°，
∴∠BCD＝∠ACE．
由【初步探索】知：，
∴△ACE∽△BCD；
（3）解：∵△ACE∽△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC．
∵∠BFE＝∠FDC+∠FED
∴∠BFE＝∠BDC+∠CDE+∠FED＝∠AEC+∠CDE+∠FED＝∠CDE+∠CED＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°；
【类比应用】解：，理由：
连接BD，DF，如图，
∵矩形ABCD和矩形DEFG，AB＝1，AD＝DE，DG＝3，
∴∠BAC＝∠E＝∠EDG＝90°，DG＝EF＝3．
∴BD2，DF2，
∴．
∵，
∴．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB，
∴∠ADB＝30°．
在Rt△DEF中，
∵tan∠EDF，
∴∠EDF＝60°．
∴∠BDF＝∠ADB+∠ADE+∠EDF＝90°+∠ADE．
∵∠ADG＝∠ADE+∠EDG＝90°+∠ADE，
∴∠BDF＝∠ADG，
∴△BDF∽△ADG，
∴．
6．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长．
（3）当旋转角α＝　90°或270°　 时，△ABD的面积最大．
【答案】（1）见解析；
（2）5；
（3）90°或270°．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，求得∠BAD＝∠CAE即可证明；
（2）过点A作AH⊥BE于H，由△ABD≌△ACE可得BD＝CE，由等腰三角形三线合一的性质可得AH＝DH＝EHDE，由BC求得AB，再由勾股定理求得BH即可解答；
（3）根据D点轨迹可得当AD⊥AB时，△ABD面积最大，由旋转的性质求得α即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
∴AH＝DH＝EHDE，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝13，
∴AB＝BCcos∠ABC，
在Rt△ABH中，BH，
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD，
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当α＝90°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
②如图3﹣2，当α＝270°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
∴当α为90°或270°时，△ABD面积最大；
故答案为：90°或270°．

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