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翻折专题 勾股方程求长度
一．选择题（共1小题）
1．如图，在长方形ABCD中，DC＝6，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为24，则CE的长度为（　　）
A．3.5 B． C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
2．如图，在长方形ABCD中，，BC＝12，AG＝13，E为BC上一点，沿AE所在直线翻折△ABE，使AB与AF重合，点F在AG上，则CE的长是　 　 ．
3．如图，菱形纸片ABCD的边长为，点E在边AB上，将纸片滑CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若∠B＝60°，则BE的长是 　 　 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O（0，0），点A（4，0），点B（4，3），点C（0，3），点P是AB上的点，将△POA沿OP所在的直线折叠，若点A的对应点A′刚好落在OB上，则点P的坐标为　 　 ．
5．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　 　 ．
6．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　 　 ．
翻折专题 勾股方程求长度
一．选择题（共1小题）
1．如图，在长方形ABCD中，DC＝6，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为24，则CE的长度为（　　）
A．3.5 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝6，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，求出BF＝8，再由勾股定理结合折叠的性质可得AD＝AF＝BC＝10，DE＝EF，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，再由勾股定理计算即可得解．
【解答】解：在长方形ABCD中，DC＝6，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，
∵△ABF的面积为24，
∴，
∴BF＝8，
∴AF10，
由折叠的性质可得AD＝AF＝BC＝10，DE＝EF，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，
由勾股定理可得：CF2+CE2＝EF2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得：，
∴，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
2．如图，在长方形ABCD中，，BC＝12，AG＝13，E为BC上一点，沿AE所在直线翻折△ABE，使AB与AF重合，点F在AG上，则CE的长是　　 ．
【答案】．
【分析】连接EG．证明EF垂直平分AG得AE＝GE．在Rt△ADG中，由勾股定理求出DG＝5，然后根据AB2+BE2＝CE2+CG2求解即可．
【解答】解：在长方形ABCD中，，BC＝12，AG＝13，如图，连接EG．
∴，
根据题意，∠AFE＝∠B＝90°，，
∴，
∴AF＝FG，
∴EF垂直平分AG，
∴AE＝GE．
∵AD＝BC＝12，AG＝13，∠D＝90°，
在直角三角形ADG中，由勾股定理得：，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：GE2＝CE2+CG2．
∵AE＝GE，
∴AB2+BE2＝CE2+CG2，
∴，
解得．
故答案为：．
3．如图，菱形纸片ABCD的边长为，点E在边AB上，将纸片滑CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若∠B＝60°，则BE的长是 　2　 ．
【答案】2．
【分析】作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，求出∠ECB＝45°，得到EH＝CH，在Rt△EBH中，求出BH和EH的关系，再根据BC＝BH+CH，即可求出BH的长，从而求得BE的长．
【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，由折叠得∠BCE＝∠B'CE，
∵B′C⊥AD，
∴B′C⊥BC，
∴∠ECB＝45°，
∴EH＝CH，
∵∠B＝60°，
∴EHBH，
∴BC＝BH+CH＝（1）BH1，
∴BH＝1，
∴EH，BE＝2．
故答案为：2．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O（0，0），点A（4，0），点B（4，3），点C（0，3），点P是AB上的点，将△POA沿OP所在的直线折叠，若点A的对应点A′刚好落在OB上，则点P的坐标为　　 ．
【答案】．
【分析】利用翻折的性质，结合勾股定理进行解答即可．
【解答】解：因为A（4，0），B（4，3），
所以OA＝4，AB＝3，
在Rt△OAB中，，
因为A′点恰好落在OB上，所以OA′＝OA＝4，
所以A′B＝OB﹣OA′＝5﹣4＝1，
设PA′＝PA＝x，则PB＝AB﹣AP＝3﹣x，
在Rt△PA′B中，PB2＝A′P2+A′B2，
所以（3﹣x）2＝x2+12，
9+x2﹣6x＝ x2+1，
解得，
所以点P的坐标为．
故答案为：．
5．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°，可解得AC，从而可得答案．
【解答】解：设CA'交AB于O，如图：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA，
∴tan30°，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案为：2．
6．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　　 ．
【答案】．
【分析】解法一：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，由平行四边形的性质可得DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，由平角的定义∠CDF＝60°，利用含30度角的直角三角形性质得DFDC＝3，CF，由平行线的性质得∠A＝60°，∠DEC＝∠A′CB，由折叠可知AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，于是可通过AAS证明△A′BC≌△DCE，得到BC＝CE＝8，再利用勾股定理求得EF，则DE＝EF﹣DF．
解法二：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，由题意易得∠A＝60°，在Rt△ABF中，AF＝AB cosA＝3，BF＝AB sinA，由折叠可知∠AEB＝∠A′EB，由平行线的性质可得∠AEB＝∠CBE，进而得到∠CBE＝∠A′EB，于是△CBE为直角三角形，BC＝CE＝8，EG＝BG，易证△BEF∽△CEG，由相似三角形的性质得到BE2＝2EF CE，设EF＝x（0＜x＜8），则BE2＝2x 8＝16x，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：解法一：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝90°，∠DCF＝90°﹣∠CDF＝30°，
∴DFDC＝3，CF，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，∠DEC＝∠A′CB，
根据折叠的性质可得，AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，
∴A′B＝DC＝6，∠BA′C＝180°﹣∠BA′E＝120°＝∠CDE，
在△A′BC和△DCE中，
，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴BC＝CE＝8，
在Rt△CEF中，EF，
∴DE＝EF﹣DF．
解法二：当点A′恰好落在EC上时，如图，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝8，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABF中，AF＝AB cosA＝63，BF＝AB sinA＝6，
根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠A′EB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠A′EB，即∠CBE＝∠CEB，
∴△CBE为等腰三角形，BC＝CE＝8，
∵CG⊥BE，
∴EG＝BG，
∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△BEF∽△CEG，
∴，即，
∴BE2＝2EF CE，
设EF＝x（0＜x＜8），
∴BE2＝2x 8＝16x，
在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2，
∴，
整理得：x2﹣16x+27＝0，
解得：（舍去），，
∴EF，
∴DE＝AD﹣AF﹣EF＝8﹣3）．
故答案为：．

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