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专题 过分点做平行线构造A字8字相似
一．选择题（共1小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
2．如图，在△ABC中，F为AC的中点，过点F作EF⊥AB于点E，交BC的延长线于点D，若EF＝3，AB＝14，，则BC的长为 　 　 ．
3．如图，△ABC的面积为18，点D，E分别在BC，AC上，BD＝2CD，CE＝3AE，AD、BE交于点O，则四边形CDOE的面积为 　 　 ．
4．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．则的值是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
5．如图，正方形ABCD的边长为2，P是BA的延长线上一点，连结PC交AD于点F，AP＝FD．求的值．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝DC，AE：AC＝1：3，求的值．
专题 过分点做平行线构造A字8字相似
一．选择题（共1小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作FH∥BC交CD于H，则，根据E为CD边中点，得，再根据FH∥AD，得，根据勾股定理得AE＝2，所以FE．
【解答】解：如图，作FH∥BC交CD于H，
则，
∵E为CD边中点，
∴，
∵FH∥AD，
∴，
∵AE2，
∴FE．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
2．如图，在△ABC中，F为AC的中点，过点F作EF⊥AB于点E，交BC的延长线于点D，若EF＝3，AB＝14，，则BC的长为 　6　 ．
【答案】6．
【分析】在AB上取点M，使AE＝ME，连接CM，证明△BCM∽△BDE，由相似三角形的性质得出，得出DE，求出BE的长，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：在AB上取点M，使AE＝ME，连接CM，
∵F为AC的中点，
∴EF∥CM，CM＝2EF＝6，
∴△BCM∽△BDE，
∴，
∴DE，
设BM＝3x，则ME＝2x，AE＝2x，
∴3x+2x+2x＝14，
∴x＝2，
∴BE＝10，
∴BD10，
∴BC6．
故答案为：6．
3．如图，△ABC的面积为18，点D，E分别在BC，AC上，BD＝2CD，CE＝3AE，AD、BE交于点O，则四边形CDOE的面积为 　5.5　 ．
【答案】5.5．
【分析】过D作DF∥AC交BE于点F，则△BDF∽△BCE，△AOE∽△DOF，根据相似三角形的性质可求解△ADC的面积，四边形CDFE的面积，设△AOE的面积为x，四边形CDOE的面积为y，则△DOF的面积为4x，列方程组求解即可．
【解答】解：过D作DF∥AC交BE于点F，
∴△BDF∽△BCE，△AOE∽△DOF，
∴，，，
∵BD＝2CD，
∴，
∵△ABC的面积为18，
∴，△ADC的面积为6，
∵CE＝3AE，
∴，△BCE的面积为13.5，
∴，△BDF的面积为6，
∴四边形CDFE的面积为13.5﹣6＝7.5，
设△AOE的面积为x，四边形CDOE的面积为y，则△DOF的面积为4x，
∴，
解得，
即四边形CDOE的面积为5.5．
故答案为5.5．
4．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．则的值是 　　 ．
【答案】
【分析】作EH⊥AF，令AB＝3，BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，由正方形的性质和已知条件可求得MN，BM的值，即可解题．
【解答】解：作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，
AF，
∵S△ABFAF BNAB BF，
∴BN，NFBN，
∴AN＝AF﹣NF，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH，NH，BN∥EH，
∴AH，，
解得：MN，
∴BM＝BN﹣MN，MG＝BG﹣BM，
∴；
方法二：过G作AB的垂线，记为H，交AE于P，利用△GPM∽△BEM，△APH∽△AEB解决问题．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
5．如图，正方形ABCD的边长为2，P是BA的延长线上一点，连结PC交AD于点F，AP＝FD．求的值．
【答案】．
【分析】设AP＝x，则FD＝x，AF＝2﹣x．在正方形ABCD中，AB∥CD，得出△PAF∽△CDF，推出 ，则x2＝4﹣2x，解得 ，，根据x＞0，，则．
【解答】解：设AP＝x，则FD＝x，AF＝2﹣x．
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△PAF∽△CDF，
∴ ，
∴x2＝4﹣2x，
解得 ，，
∵x＞0，，
∴．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝DC，AE：AC＝1：3，求的值．
【答案】1．
【分析】过D作DM∥BE交AC于M，根据BD＝CD和DM∥BE求出CM＝EM，求出AE＝EM＝CM，再根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于M，
∵BD＝DC，DM∥BE，
∴CM＝EM，
∵AE：AC＝1：3，
∴CE＝2AE，
∴AE＝EM＝CM，
∵DM∥BE，
∴1．

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