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分课时教学设计
第十一课时《21.3.2 菱形（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是特殊平行四边形学习的重要组成部分，承接矩形的学习，是从“角特殊”到“边特殊”的平行四边形延伸，也是后续学习正方形的基础．本节课通过定义菱形，探究并证明菱形的特殊性质，既是对平行四边形性质的深化，也是对勾股定理、全等三角形等知识的综合运用，为解决菱形相关的计算与证明问题提供理论依据．通过本节课的学习，学生能进一步完善特殊平行四边形的知识体系，掌握“从一般到特殊”的几何探究方法，体会类比、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何计算能力，在初中几何教学中起到承上启下、巩固提升的关键作用，同时培养学生的直观想象与数学建模核心素养．
学习者分析 学生已熟练掌握平行四边形的定义与性质、矩形的相关知识，具备一定的几何推理、逻辑证明与计算能力，对菱形有生活中的直观认知．但学生对菱形的“边特殊”带来的对角线、对称性等特殊性质缺乏系统探究，易混淆菱形与平行四边形、矩形的性质差异，在运用菱形性质进行对角线、面积计算时，难以快速提炼直角三角形模型，部分学生对菱形面积公式的推导理解不透彻，需要教师通过对比辨析、引导探究，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．理解菱形的定义； 2．掌握菱形的特殊性质； 3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．
教学重点 理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质——四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，并能运用性质进行相关计算．
教学难点 理解菱形对角线互相垂直的性质证明，灵活运用菱形性质与勾股定理解决对角线、面积的综合计算问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解菱形的定义； 2．掌握菱形的特殊性质； 3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是平行四边形？什么是矩形？ 答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 2．说一说平行四边形具有那些性质？ 答案：（1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 3．说一说矩形具有那些性质？ 答案：（1）角：矩形的四个角都是直角． （2）边：对边平行且相等． （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 导言：前面研究了角满足特殊条件的平行四边形———矩形，再来看边满足特殊条件的平行四边形．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平行四边形和矩形的定义和性质，为学习菱形的定义和性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 观看动图，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形． 归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 指出：菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形． 如图，记作菱形ABCD． 问题：菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图所示）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？ 指出：类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定． 思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 预设：（1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 猜想：菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 追问：你能自己完成证明吗？ （1）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 求证：AB＝BC＝CD＝AD． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC，四边形 ABCD 是平行四边形． ∴AB＝CD，AD＝BC． ∴AB＝BC＝CD＝AD． 即：菱形的四条边都相等． （2）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 求证：AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD． ∵AB＝AD，OB＝OD，OA＝OA， ∴△ABO≌△ADO， ∴∠AOB＝∠AOD． ∵∠AOB＋∠AOD＝180°， ∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即 AC⊥BD． ∵在△ABD 和△CBD 中，AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD， ∴△ABD≌△CBD． ∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB． ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△BAC≌△DAC， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA． 即：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 想一想：菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ 预设： 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 归纳：菱形特有的性质 （1）边：菱形的四条边都相等． （2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 观察并思考：如图所示，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，你有什么发现？ 预设：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形． 思考：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ 已知：菱形ABCD两条对角线BD，AC的长分别是 6cm 和 8cm．求菱形ABCD的面积． 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD． ∴S菱形ABCD＝S△ABO＋S△CBO＋S△CDO＋S△DAO ＝ ＝（cm2）． 归纳：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，即：． 由于菱形属于平行四边形，所以可以借助平行四边形的面积公式求菱形的面积，即 S菱形ABCD＝底×高＝DC·AE． 例：如图所示，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 解：设AC，BD相交于点O． ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°． 在Rt△ABO中， AO＝AB＝×20＝10， ． ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m）,BD＝2BO＝20≈34.64（m）． 花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△ABO＝4×AO·BO＝200≈346.4（m2）．学生活动3： 学生认真观察、思考，小组合作探究后班内交流，然后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 先引导学生从平行四边形出发，探究菱形的定义与特殊性质，体会从一般到特殊的类比思想，完善特殊平行四边形的知识体系；然后通过例题并结合实际情境，强化菱形性质的应用，训练学生利用对角线与勾股定理解决边长、角度及面积计算问题的能力，落实核心素养．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.2菱形（第1课时）一、菱形的定义 二、菱形特有的性质 三、菱形的面积教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 答案：C 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 答案： 3．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 证明：（1）∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 选做题： 4．如图，菱形中，，，则菱形的面积是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积． 证明：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，即． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积为：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在菱形中，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的边长是__________． 答案：2.5 3．已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 解：∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 答案：() 【综合拓展类作业】 5．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 解：（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，作交的延长线于点，连接， ， 则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．
教学反思 本节课通过实例引入、性质探究与例题应用，多数学生能掌握菱形的定义与基本性质．但部分学生对菱形与矩形的性质差异理解不透彻，对菱形对角线互相垂直的性质证明思路掌握不足，运用性质解决对角线、面积的综合计算时容易出错．后续需加强性质对比辨析，强化直角三角形模型的引导，增加变式计算练习，规范解题步骤，提升学生的几何计算与逻辑推理能力．
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同步探究学案
课题 21.3.2 菱形（第1课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解菱形的定义； 2．掌握菱形的特殊性质； 3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．
重点 理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质——四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，并能运用性质进行相关计算．
难点 理解菱形对角线互相垂直的性质证明，灵活运用菱形性质与勾股定理解决对角线、面积的综合计算问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是平行四边形？什么是矩形？ 2．说一说平行四边形具有那些性质？ 3．说一说矩形具有那些性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平行四边形的定义和性质，研究矩形的定义和性质。 观看动图，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形． 归纳：有一组邻边________的平行四边形叫作菱形． 指出：菱形是特殊的___________，但平行四边形不一定是菱形． 如图，记作菱形ABCD． 问题：菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图所示）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？ 类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定． 思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 具有平行四边形的所有性质： （1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 猜想：菱形的四条边都________； 菱形的两条对角线_____________，并且每一条对角线平分__________． 请你能自己完成证明！ （1）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 求证：AB＝BC＝CD＝AD． （2）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形． 求证：AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC． 想一想：菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ 菱形是________图形，有____条对称轴，________________________就是它的对称轴． 归纳：菱形特有的性质 （1）边：菱形的四条边都_______． （2）对角线：菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分_________． （3）对称性：菱形是___________，每条对角线所在的________就是它的对称轴． 观察并思考：如图所示，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，你有什么发现？ 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的________，而平行四边形一般只被分成两对______________． 思考：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ 已知：菱形ABCD两条对角线BD，AC的长分别是 6cm 和 8cm．求菱形ABCD的面积． 归纳：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半， 即：． 由于菱形属于平行四边形，所以可以借助平行四边形的面积公式求菱形的面积，即 S菱形ABCD＝底×高＝DC·______． 例：如图所示，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 3．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 选做题： 4．如图，菱形中，，，则菱形的面积是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在菱形中，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的边长是__________． 3．已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【综合拓展类作业】 5．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：．
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第二十一章 四边形
21.3.2 菱形（第1课时）
1．理解菱形的定义；
2．掌握菱形的特殊性质；
3．能运用性质计算菱形的边长、角度、对角线及面积．
1．什么是平行四边形？什么是矩形？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．
2．说一说平行四边形具有那些性质？
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
3．说一说矩形具有那些性质？
（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）边：对边平行且相等．
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
前面研究了角满足特殊条件的平行四边形———矩形，再来看边满足特殊条件的平行四边形．
　　观看动图，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
菱形是特殊的平行四边形，
但平行四边形不一定是菱形．
　　如图，记作菱形ABCD．
A
B
C
D
菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图所示）等都有菱形的形象．
类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定．
你还能举出一些例子吗？
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
猜想：菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
你能自己完成证明吗？
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
猜想：菱形的四条边都相等．
已知：如图，四边形 ABCD 是菱形．
求证：AB＝BC＝CD＝AD．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC，四边形 ABCD 是平行四边形．
∴AB＝CD，AD＝BC．
∴AB＝BC＝CD＝AD．
即：菱形的四条边都相等．
猜想：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角．
已知：如图，四边形 ABCD 是菱形．
求证：AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD．
∵AB＝AD，OB＝OD，OA＝OA，
∴△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD．
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即 AC⊥BD．
∵在△ABD 和△CBD 中，AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，
∴△ABD≌△CBD．
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB．
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．
即：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
想一想：菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
菱形特有的性质
（1）边：菱形的四条边都相等．
（2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（3）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
观察并思考：如图所示，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，你有什么发现？
菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形．
思考：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
已知：菱形ABCD两条对角线BD，AC的长分别是 6cm 和 8cm．
求菱形ABCD的面积．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD．
∴S菱形ABCD＝S△ABO＋S△CBO＋S△CDO＋S△DAO
＝
＝
（cm2）．
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，
即：．
　　由于菱形属于平行四边形，所以可以借助平行四边形的面积公式求菱形的面积，即 S菱形ABCD＝底×高＝DC·AE．
解：设AC，BD相交于点O．
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°．
在Rt△ABO中，
AO＝AB＝×20＝10，
．
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m）,BD＝2BO＝20≈34.64（m）．
花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△ABO＝4×AO·BO＝200≈346.4（m2）．
例：如图所示，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
菱形
面积公式
定义
性质
角和对角线
对称性
边
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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