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21.3.2 菱形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ）
A．26° B．52° C．128° D．154°
2．如图，在菱形中，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是菱形，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题
6．已知在菱形中，，则的大小是______°．
7．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度
8．如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________．
9．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______．
10．如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的边长为________．
三、解答题
11．如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，，相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，且，求的长．
答案与解析
21.3.2 菱形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【解析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ．
由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ．
解：在菱形中，因为，
所以，
即，
又因为在菱形中，，
所以，
可得，
所以的度数为 ．
故选：C ．
2．如图，在菱形中，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了菱形的性质，关键是熟练应用性质解题；根据菱形的四条边都相等即可得到结论 ．
解： ∵菱形中，若，
∴，
故选：B ．
3．如图，四边形是菱形，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长．
解：设与交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
，
，
．
4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，即可得出答案．
解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
5．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小．
解：在菱形中，，
，
为等边三角形，，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
点为的中点，
，，
，
要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，
当时，为等边三角形，
，
，
则，
即线段长度的最小值为．
二、填空题
6．已知在菱形中，，则的大小是______°．
【答案】20
【解析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角相等，即可求解．
解：∵菱形中，，
∴，
故答案为：20．
7．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度
【答案】60
【解析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解．
解：由题意知，菱形的边长为，
又∵较短的对角线也为，
如图，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：60．
8．如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________．
【答案】
【解析】先由三角形中位线的性质得到菱形边长，再由菱形性质求周长即可．
解：在中，，分别是，的中点，则是的中位线，
，
菱形的周长为．
9．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______．
【答案】4
解：∵四边形是菱形，，
∴，
在中，，
∴，
∴ ．
10．如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的边长为________．
【答案】
解：如图，连接，与交于点M，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，…，
故按此规律所作的第n个菱形的边长为，
∴第2027个菱形的边长为．
三、解答题
11．如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可．
解：∵四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
，
．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，，相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（）先由证得；再利用平行四边形对角线平分、为中点，证是的中位线，得，即，从而证四边形是平行四边形；最后结合，判定该平行四边形为矩形；
（）先根据菱形的性质，得到对角线垂直、四边相等，确定为的中位线，算出的长度；再结合求出的长；最后在中，用勾股定理计算出的长度．
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线互相平分，
∴是的中点，且，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，即
四边形中，两组对边分别平行，
∴是平行四边形；
又∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）∵四边形是菱形，
∴菱形对角线互相垂直，四边相等，即：，，
∴，
∵是中点，是中点，是的中位线，
∴，
由，代入得：，
解得，
在中，由勾股定理，
得：．
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