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贵州省黔西南州册亨县2025年九年级数学第二次模拟试卷
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1．下列各数中，与的和是正数的是（　　）
A． B．0 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
【分析】根据有理数的加法法则逐个计算，即可求解．
2．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、存在竖直和水平两条对称轴，沿对称轴折叠后图形两侧完全重合，A是轴对称图形；B、图形内部线条呈螺旋状，无法找到一条直线使两侧完全重合，B不是轴对称图形；
C、图案为动态旋转样式，不存在能使两侧重合的直线，C不是轴对称图形；
D、图形为 “S” 形变形，不存在对称轴，D不是轴对称图形；
故答案为：A。
【分析】如果一个平面图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
3．不等式的最大整数解为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式 ，移项得：
化简得 。
在小于 的整数中，最大的整数是 ，因此该不等式的最大整数解为 。
故答案为：C。
【分析】先通过移项解出不等式的解集，再在解集中找出满足条件的最大整数解。
4．下列计算结果不为的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：本题核心是幂的运算规则与同类项合并：
同类项合并：只有同类项才能合并，属于同类项，合并后为，与形式不同。
同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，。
同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，。
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，。
A、=2，
B、=，
C、=，
D、=
故答案为：A。
【分析】根据同底数幂的运算法则和合并同类项规则，逐一计算各选项结果，对比判断是否等于a2m。
5．贵州文化溯本追源，主要由四大部分组成，分别是傩（nuó）文化、竹文化、牂牁文化和汉文化．若从上述四种文化中随机选一种文化开展学习，则选中“牂牁文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4种文化，
∴随机选一种文化开展学习，选中“牂牁文化”的概率是．
故答案为：A．
【分析】
根据概率公式：，计算求解即可．
6．在平面直角坐标系中，点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】根据有理数的平方的性质可得，再根据各个象限内的点的坐标的符号特征求解.
∵
∴点一定在第二象限
故选B.
【点评】平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.
7．若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、添加后，为菱形，故A不符合题意；
B、由可得，又，可得到，所以为矩形；故B符合题意；
C、添加后无法证明矩形，故C不符合题意；
D、添加对角线互相垂直后，为菱形，故D不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】
根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角，解答即可．
8．分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ：
方程两边同乘去分母，得：
去括号、移项化简：
检验：将代入最简公分母，得，故是原分式方程的解。
故答案为：B。
【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分式方程分母不为零，确定有效解。
9．小红根据妈妈记录的2025年1月和2月家庭支出情况，绘制出如图所示的两幅扇形统计图．下列结论正确的是（　　）
A．1月家庭衣食支出的占比为
B．2月家庭其他支出的圆心角度数为
C．1月和2月家庭娱乐支出各占比为
D．2月家庭教育支出的占比大于1月家庭教育支出的占比
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：从1月统计图中得到衣食占比25%、教育占比40%、娱乐占比15%、其他占比20%；从2月统计图中得到衣食占比30%、教育占比45%、娱乐占比15%、其他占比10%。
A、1月衣食支出占比为25%，并非30%，A错误；
B、2月其他支出占比10%，对应圆心角度数为，并非72°，B错误；
C、1月和2月娱乐支出占比均为15%，并非30%，C错误；
D、2月家庭教育支出占比45%，1月为40%，45% > 40%，D正确；
故答案为：D。
【分析】先从两幅扇形统计图中提取1月、2月各支出项目的占比数据，再逐一验证每个选项的正确性。
10．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（　　）
A．第一步错误 B．第二步错误
C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：第一步：给 3a-4b = a-4b 两边都加 4b，得到 3a = a，这一步是对的。
第二步：把式子化简成 3a = a，这一步也是对的。
第三步：从 3a = a 直接两边除以 a，得到 3 = 1，这里错了，因为 a 是 0，不能做除数，不能直接约掉 a。
原等式在 a=0 时是成立的，不是原等式错了。
所以错误出在第三步，
故答案为：C。
【分析】根据等式的基本性质，一步步分析变形过程，找出得到错误结论的那一步。
11．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征
【解析】【解答】解：我们先看图形里的大小圆关系：大圆半径是小圆的 2 倍。要让扇形和小圆配成圆锥，扇形的弧长必须等于小圆的周长。只有当扇形是半圆（圆心角 180°）时，弧长才刚好和小圆周长对上，能围成圆锥。选项里只有 B 的扇形是半圆，圆心角 180°，
故答案为：B。
【分析】利用圆锥侧面扇形的弧长和底面小圆周长相等的关系，结合图形里大圆与小圆的半径倍数，算出需要的扇形圆心角，再对照选项判断。
12．如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（　　）
A．方程的两根为，
B．8
C．
D．若，是抛物线上的两点，且，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】A、抛物线对称轴为 x=-1，点 A (-3，0) 关于对称轴对称的点是 (1，0)，所以方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=-3，x2=1，A正确；
B、由对称轴得 b=2a，代入 x=1 时的函数值 a+b+c=0，得 3a+c=0，即 c=-3a，所以 8a+c=5a，因为抛物线开口向下 a<0，所以 5a<0，即 8a+c<0，B错误；
C、抛物线开口向下 a<0，与 y 轴交于正半轴 c>0，所以 ac<0，C正确；
D、抛物线开口向下，在对称轴左侧（x<-1），y 随 x 的增大而增大，所以当 x1<-1 时，y1
故答案为：B。
【分析】 先根据抛物线对称轴和已知交点求出另一交点，再结合抛物线开口方向、与坐标轴交点等信息，逐一分析每个选项的正确性，找出错误结论。
二、填空题．（每题4分，共16分）
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方运算化简，再合并同类项，即可求解．
14．正六边形的一个内角的度数为　 　°．
【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
所以每一个内角的度数为．
故答案为：120．
【分析】根据多边形的内角和公式“(n-2)×180°”先求出正六边形的内角和，再根据正多边形每一个内角都相等得出每个内角的度数．
15．“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？若设军官有名，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设军官有名，则士兵有名，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设军官有x名，则士兵有(1000 x)名，根据 “军官分布总长度+士兵分布总长度 = 1000 尺” 的等量关系列方程。
16．如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴
∴
∵为的中点，为的中点
∴，
∴
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，取的中点，连接，利用邻边相等的矩形是平行四边形可证明四边形是正方形，进而利用HL证明，得出，可利用线段的和差计算得，根据中位线的性质可得，然后用勾股定理计算，即可解答．
三、解答题．（本大题9个小题，共98分）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1) 分别计算三角函数、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算得出结果。
(2) 先对分式通分、因式分解，将除法转化为乘法约分得到最简式，再代入x y=5求值。
18．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）解：由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设，将，代入求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可．
19．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
20．如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，再根据边之间的关系可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，
解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据题意，列出方程求解即可；
（2）根据（1）可得树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，根据题意，列出不等式，求解即可．
22．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；余弦的概念
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出，进而根据余弦定义即可得出
（2）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得出，DP=BG=8cos12°，即可得出。
（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
23．某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为．
（1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．
【答案】（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）解：设销售利润为，根据题意得出∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）代入到函数关系式中求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解；
（2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可解答．
（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）设销售利润为，根据题意得出
∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
24．如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
（2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长．
【答案】解：（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接．
∵在中，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴，
在中，，
∴在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到．利用平行线得性质可得，结合， 得到，从而通过平行线的判定得到，即可证明四边形是平行四边形，解答即可；（2）连接．根据特殊的三角函数，得到，，由切线性质得到，．利用同角的余角相等得到，即可知．利用得30直角的性质到，再解直角三角形和运用勾股定理即可求解．
25．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或；
故答案为：或.
【分析】
（1）根据有两边相等且夹角为60的三角形是等边三角形得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答；
（2）由 ， 可判定得为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， 当时，可得，当重合时，最小即最小；解直角三角形即可解答；
（3）分类讨论： 当在上方时，连接，延长交于点，则， 根据30直角三角形的性质可设，则；再结合条件证明 四边形为矩形， 利用矩形的性质在直角三角形中利用勾股定理得到EM，再计算AD，即可求得m的值； 当点落在下方时，过点作交于点， 同理可求解得到m的值；解答即可.
（1）解：，，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
1 / 1贵州省黔西南州册亨县2025年九年级数学第二次模拟试卷
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1．下列各数中，与的和是正数的是（　　）
A． B．0 C．4 D．6
2．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．不等式的最大整数解为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下列计算结果不为的是(　　)
A． B． C． D．
5．贵州文化溯本追源，主要由四大部分组成，分别是傩（nuó）文化、竹文化、牂牁文化和汉文化．若从上述四种文化中随机选一种文化开展学习，则选中“牂牁文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．对角线互相垂直
8．分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
9．小红根据妈妈记录的2025年1月和2月家庭支出情况，绘制出如图所示的两幅扇形统计图．下列结论正确的是（　　）
A．1月家庭衣食支出的占比为
B．2月家庭其他支出的圆心角度数为
C．1月和2月家庭娱乐支出各占比为
D．2月家庭教育支出的占比大于1月家庭教育支出的占比
10．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（　　）
A．第一步错误 B．第二步错误
C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误
11．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（　　）
A．方程的两根为，
B．8
C．
D．若，是抛物线上的两点，且，则
二、填空题．（每题4分，共16分）
13．计算：　 　．
14．正六边形的一个内角的度数为　 　°．
15．“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？若设军官有名，则可列方程为　 　．
16．如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为　 　．
三、解答题．（本大题9个小题，共98分）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
19．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
20．如图，点E是矩形的边上的一点，且．
（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
21．今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
22．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
23．某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为．
（1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；
（2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．
24．如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
（2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长．
25．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
【分析】根据有理数的加法法则逐个计算，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、存在竖直和水平两条对称轴，沿对称轴折叠后图形两侧完全重合，A是轴对称图形；B、图形内部线条呈螺旋状，无法找到一条直线使两侧完全重合，B不是轴对称图形；
C、图案为动态旋转样式，不存在能使两侧重合的直线，C不是轴对称图形；
D、图形为 “S” 形变形，不存在对称轴，D不是轴对称图形；
故答案为：A。
【分析】如果一个平面图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
3．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式 ，移项得：
化简得 。
在小于 的整数中，最大的整数是 ，因此该不等式的最大整数解为 。
故答案为：C。
【分析】先通过移项解出不等式的解集，再在解集中找出满足条件的最大整数解。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：本题核心是幂的运算规则与同类项合并：
同类项合并：只有同类项才能合并，属于同类项，合并后为，与形式不同。
同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，。
同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，。
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，。
A、=2，
B、=，
C、=，
D、=
故答案为：A。
【分析】根据同底数幂的运算法则和合并同类项规则，逐一计算各选项结果，对比判断是否等于a2m。
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4种文化，
∴随机选一种文化开展学习，选中“牂牁文化”的概率是．
故答案为：A．
【分析】
根据概率公式：，计算求解即可．
6．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】根据有理数的平方的性质可得，再根据各个象限内的点的坐标的符号特征求解.
∵
∴点一定在第二象限
故选B.
【点评】平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、添加后，为菱形，故A不符合题意；
B、由可得，又，可得到，所以为矩形；故B符合题意；
C、添加后无法证明矩形，故C不符合题意；
D、添加对角线互相垂直后，为菱形，故D不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】
根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角，解答即可．
8．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ：
方程两边同乘去分母，得：
去括号、移项化简：
检验：将代入最简公分母，得，故是原分式方程的解。
故答案为：B。
【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分式方程分母不为零，确定有效解。
9．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：从1月统计图中得到衣食占比25%、教育占比40%、娱乐占比15%、其他占比20%；从2月统计图中得到衣食占比30%、教育占比45%、娱乐占比15%、其他占比10%。
A、1月衣食支出占比为25%，并非30%，A错误；
B、2月其他支出占比10%，对应圆心角度数为，并非72°，B错误；
C、1月和2月娱乐支出占比均为15%，并非30%，C错误；
D、2月家庭教育支出占比45%，1月为40%，45% > 40%，D正确；
故答案为：D。
【分析】先从两幅扇形统计图中提取1月、2月各支出项目的占比数据，再逐一验证每个选项的正确性。
10．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：第一步：给 3a-4b = a-4b 两边都加 4b，得到 3a = a，这一步是对的。
第二步：把式子化简成 3a = a，这一步也是对的。
第三步：从 3a = a 直接两边除以 a，得到 3 = 1，这里错了，因为 a 是 0，不能做除数，不能直接约掉 a。
原等式在 a=0 时是成立的，不是原等式错了。
所以错误出在第三步，
故答案为：C。
【分析】根据等式的基本性质，一步步分析变形过程，找出得到错误结论的那一步。
11．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征
【解析】【解答】解：我们先看图形里的大小圆关系：大圆半径是小圆的 2 倍。要让扇形和小圆配成圆锥，扇形的弧长必须等于小圆的周长。只有当扇形是半圆（圆心角 180°）时，弧长才刚好和小圆周长对上，能围成圆锥。选项里只有 B 的扇形是半圆，圆心角 180°，
故答案为：B。
【分析】利用圆锥侧面扇形的弧长和底面小圆周长相等的关系，结合图形里大圆与小圆的半径倍数，算出需要的扇形圆心角，再对照选项判断。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】A、抛物线对称轴为 x=-1，点 A (-3，0) 关于对称轴对称的点是 (1，0)，所以方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=-3，x2=1，A正确；
B、由对称轴得 b=2a，代入 x=1 时的函数值 a+b+c=0，得 3a+c=0，即 c=-3a，所以 8a+c=5a，因为抛物线开口向下 a<0，所以 5a<0，即 8a+c<0，B错误；
C、抛物线开口向下 a<0，与 y 轴交于正半轴 c>0，所以 ac<0，C正确；
D、抛物线开口向下，在对称轴左侧（x<-1），y 随 x 的增大而增大，所以当 x1<-1 时，y1
故答案为：B。
【分析】 先根据抛物线对称轴和已知交点求出另一交点，再结合抛物线开口方向、与坐标轴交点等信息，逐一分析每个选项的正确性，找出错误结论。
13．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方运算化简，再合并同类项，即可求解．
14．【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
所以每一个内角的度数为．
故答案为：120．
【分析】根据多边形的内角和公式“(n-2)×180°”先求出正六边形的内角和，再根据正多边形每一个内角都相等得出每个内角的度数．
15．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设军官有名，则士兵有名，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设军官有x名，则士兵有(1000 x)名，根据 “军官分布总长度+士兵分布总长度 = 1000 尺” 的等量关系列方程。
16．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴
∴
∵为的中点，为的中点
∴，
∴
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，取的中点，连接，利用邻边相等的矩形是平行四边形可证明四边形是正方形，进而利用HL证明，得出，可利用线段的和差计算得，根据中位线的性质可得，然后用勾股定理计算，即可解答．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1) 分别计算三角函数、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算得出结果。
(2) 先对分式通分、因式分解，将除法转化为乘法约分得到最简式，再代入x y=5求值。
18．【答案】（1）解：由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设，将，代入求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可．
19．【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，再根据边之间的关系可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，
解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据题意，列出方程求解即可；
（2）根据（1）可得树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，根据题意，列出不等式，求解即可．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；余弦的概念
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出，进而根据余弦定义即可得出
（2）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得出，DP=BG=8cos12°，即可得出。
（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
23．【答案】（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）解：设销售利润为，根据题意得出∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）代入到函数关系式中求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解；
（2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可解答．
（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）设销售利润为，根据题意得出
∵，
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
24．【答案】解：（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接．
∵在中，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴，
在中，，
∴在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到．利用平行线得性质可得，结合， 得到，从而通过平行线的判定得到，即可证明四边形是平行四边形，解答即可；（2）连接．根据特殊的三角函数，得到，，由切线性质得到，．利用同角的余角相等得到，即可知．利用得30直角的性质到，再解直角三角形和运用勾股定理即可求解．
25．【答案】（1）
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或；
故答案为：或.
【分析】
（1）根据有两边相等且夹角为60的三角形是等边三角形得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答；
（2）由 ， 可判定得为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， 当时，可得，当重合时，最小即最小；解直角三角形即可解答；
（3）分类讨论： 当在上方时，连接，延长交于点，则， 根据30直角三角形的性质可设，则；再结合条件证明 四边形为矩形， 利用矩形的性质在直角三角形中利用勾股定理得到EM，再计算AD，即可求得m的值； 当点落在下方时，过点作交于点， 同理可求解得到m的值；解答即可.
（1）解：，，
为等边三角形，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
为等腰直角三角形，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当时，最小，即；
（3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
；
如图，当点落在下方时，过点作交于点，
同理可得四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．
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