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广东省珠海市凤凰中学教育集团2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的算术平方根是（　　）
A． B．3 C． D．81
2．150亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．抛物线的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
5．一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
6．若，是方程的两个根，则的值为（　　）
A．6 B． C．4 D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
9．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值如表所示，点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（4，y3）在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
A．y1＝y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
11．分解因式： 　 　．
12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于　 　．
13．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是　 　．
14．如图，在矩形中，，，、分别是、的中点，连接、，则图中阴影部分的面积是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求　 　．
16．计算：．
17．如图，在中，
（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹
（2）在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值．
18．山海有情，天辽地宁，年月日是第个“中国旅游日”．我市某中学举行了以“我爱辽宁”为主题的旅游知识竞赛活动．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：____________，____________，____________．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____________组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
19．研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．
（1）若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
（2）若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
20．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）
21．综合与实践：
探索求圆半径的方法
背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．
任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____．
任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径．
任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．
22．如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．
（1）如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；
（2）如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：；
（3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围．
23．在，中，，，，连接、，取的中点
（1）【观察猜想】
如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究证明】
若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3．
故选B．
【分析】根据算术平方根的定义，9的算术平方根是3．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿=15000000000．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数。本题先将150亿写成15000000000，然后确定a=1.5，n=10，从而用科学记数法表示即可。
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示：
∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，
∴整个几何体的俯视图如图2所示：
故选：A
【分析】根据俯视图的定义及画法，作出俯视图，结合选项即可求解．
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【分析】根据抛物线的解析式，直接求出对称轴即可，的对称轴为直线，据此求解．
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得总共有10个球，
∵事件发生的概率为，
∴该颜色的小球有3个，
∴该小球为红色小球，
故答案为：B
【分析】根据简单事件概率的计算结合题意分析，进而即可求解.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程中，a=1，b=1，c=-6，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：=-1，=-6，然后将转化为，最后直接将和的值代入即可得解．
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式对选项逐个判断，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，，
∵，
∴，
即能量E的值在5和6之间．
故答案为：B
【分析】本题结合条件“ ”，将，代入计算求出，然后根据，计算即可得出。
9．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故答案为：C．
【分析】
设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程，解答即可．
10．【答案】B
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-6=c；
当x=-1时，y=-3=a-b+c；
当x=1时，y=-11=a+b+c；
综上得出，，解得，
∴该二次函数为y＝-7x2-10x-6，
当x=-4时，y1=-7×16-10×（-4）-6=-78，
当x=-2时，y1=-7×4-10×（-2）-6=-14，
当x=4时，y1=-7×16-10×4-6=-158，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：B．
【分析】结合表中的信息，可以利用待定系数法求出该二次函数为y＝-7x2-10x-6，然后分别将A、B、C三个点的横坐标代入，求出各自的纵坐标，最后比较大小即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解.
12．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：原方程可化为，
由题意知
解得
故答案为：．
【分析】将方程化简为一般式，再根据方程有两个相等的实数根可以得到，求解即可．
13．【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC＝∠ABC，
由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【分析】由菱形的性质可得，∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理可以得到∠ADC＝∠AOC，再根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可．
14．【答案】32
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，，如图
四边形是矩形，
，，，
的面积矩形的面积，
∵、分别是、的中点，即为的中位线，
，且，
，
，
∴2GE=DG，即DE=DG+GE=，
∴DG=DE，
设B点到DE的距离为h，则S△BDE=，S△BDG=，
∴S△BDG==S△BDE，
而S△BDE=S△BCD=S△ABD=12cm2，
∴S△BDG=S△BDE=×12=8cm2，
阴影部分的面积的面积的面积，
故答案为：32．
【分析】本题做辅助线后，结合矩形的性质以及三角形和矩形的面积计算公式，可以先求出的面积矩形的面积=24cm2，然后结合三角形中位线性质以及相似三角形的判定和性质，推出DG=DE，接着利用三角形中线性质计算出S△BDG=8cm2，最后观察图形得出阴影部分的面积的面积的面积，代入求和即可。
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，则，再根据直角三角两锐角互余即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别计算零指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值以及计算负整数指数幂，然后根据实数的运算法则求解即可．
17．【答案】（1）解： 点D即为所求．
（2）解：过点E作于点M，于点
平分，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作的角平分线，即先以A点为圆心、任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点长为半径画弧，交于一点，最后连接A点和这一点并延长，交BC于E点；然后作BC的垂直平分线，即分别以B点和C点为圆心、大于BC长度为半径画弧，分别交BC两侧于两点，最后连接这两点并向两侧延伸，与的角平分线的交点即为D点；
作辅助线后，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出，然后利用三角形的面积公式列式并计算即可得出答案。
（1）解：如图，
则点D即为所求．
（2）解：过点E作于点M，于点
平分，
，
．
18．【答案】（1）；；；
（2）乙；
（3）解：小祺的观点比较片面，理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）
∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
【分析】（）根据中位数，众数和优秀率的求解方法，直接求解即可；
（）根据中位数的意义，求解即可；
（）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可；
（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
（3）小祺的观点比较片面，
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．【答案】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
则列式为，解得，
即应选用A种食品2包，B种食品4包。
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
则列式，解得，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
即应选用6包A种食品，2包B种食品．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列二元一次方程；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）分别结合A和B的营养成分表以及“ 从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质 ”，分别得出700x+900y=5000，10x+15y=80，此时联立方程组，求解x和y即可；
（2）根据条件“ 要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g ”，因此列式，此时可以求解出，然后列式简化得出总热量，此时观察发现w随m的增大而减小，因此m=6，再结合“ 选用这两种食品共8包 ”，即可求出B种食品的数量。
（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品2包，B种食品4包；
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
根据题意得：，
解得：，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
此时，
答：应选用6包A种食品，2包B种食品．
20．【答案】（1）解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（）设法线为，可以得到，得到，根据正切的定义可以得到，即可求解；
（）根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出，再根据折射率的定义即可求解；
（1）解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
21．【答案】任务一：；
任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，，
则四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：圆的半径为；
；任务三：；任务四：．
【知识点】垂径定理的实际应用；图形的旋转；圆柱的体积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：任务一：∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径．
∵，，
∴，
∴该圆的半径为．
故答案为：；
任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积；
绕旋转得到的圆柱体积，
∴
任务四：解：绕旋转得到的圆柱体积；
绕旋转得到的圆柱体积，
∵，
∴
∴，
故绕旋转得到的圆柱体积更大
【分析】任务一：直接根据勾股定理求解即可；
任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径；
任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论；
任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论．
22．【答案】（1）解：如图1，四边形是拒形，
轴，轴，
，是的中点，
，
双曲线经过点 ，
，
，
当时，，
点的坐标为．
（2）证明：如图2，
点、点都在双曲线上，
、，，
∴，，，
∵轴，轴
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图，连接、交于点，交于点，
，
随的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，
垂直平分，，
，
，且
，
解得：，
则点，
则．
若点与点重合，则，
的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据B点坐标可以得到点C的坐标，再根据是的中点，得到，求得反比例函数解析式，即可求解；
（2）由点、点都在双曲线上，设、，，进而得到，即可求解；
（3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解．
（1）解：如图1，
四边形是拒形，
轴，轴，
，是的中点，
，
双曲线经过点 ，
，
，
当时，，
点的坐标为．
（2）证明：如图2，
点、点都在双曲线上，
、，，
∴，，，
∵轴，轴
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图，连接、交于点，交于点，
，
随的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，
垂直平分，，
，
，且
，
解得：，
则点，
则．
若点与点重合，则，
的取值范围是．
23．【答案】（1），；
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2中，延长到，使得，设交于，交于，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
，
∴．
综上，（1）的结论，仍然成立．
（3）或．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
．
（3）解：①如图，当，作于，连接，
，，，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
，
；
②如图，过点作的延长线于，连接，
同①可知，，，
∵，
∴，
∴，
．
综上所述，的面积为或．
故答案为：（1），；（3）或．
【分析】（1）结合条件，利用证明，从而根据全等三角形的性质得到、，再结合三角形中线性质得出，等量代换得出，最后通过直角三角形锐角互余以及角的等量代换，得出，从而得出证明结果；
（2）做辅助线后，先由证出，从而得、，然后结合“内错角相等、两直线平行”得出，进而结合平行线性质推出，再由证，从而得出，，接着结合条件以及直角三角形锐角互余，进行角的替换变形即可得出答案；
（3）结合条件分两种情况，并分别作图，然后作于，分别利用直角三角形中角的性质、勾股定理、三角形面积、三角函数等知识，即可计算的面积．
（1）解：，，，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2中，延长到，使得，设交于，交于，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
，
∴．
综上，（1）的结论，仍然成立．
（3）解：①如图，当，作于，连接，
，，，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
，
；
②如图，过点作的延长线于，连接，
同①可知，，，
∵，
∴，
∴，
．
综上所述，的面积为或．
1 / 1广东省珠海市凤凰中学教育集团2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的算术平方根是（　　）
A． B．3 C． D．81
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3．
故选B．
【分析】根据算术平方根的定义，9的算术平方根是3．
2．150亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿=15000000000．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数。本题先将150亿写成15000000000，然后确定a=1.5，n=10，从而用科学记数法表示即可。
3．如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示：
∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，
∴整个几何体的俯视图如图2所示：
故选：A
【分析】根据俯视图的定义及画法，作出俯视图，结合选项即可求解．
4．抛物线的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【分析】根据抛物线的解析式，直接求出对称轴即可，的对称轴为直线，据此求解．
5．一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得总共有10个球，
∵事件发生的概率为，
∴该颜色的小球有3个，
∴该小球为红色小球，
故答案为：B
【分析】根据简单事件概率的计算结合题意分析，进而即可求解.
6．若，是方程的两个根，则的值为（　　）
A．6 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程中，a=1，b=1，c=-6，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：=-1，=-6，然后将转化为，最后直接将和的值代入即可得解．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式对选项逐个判断，即可求解．
8．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，，
∵，
∴，
即能量E的值在5和6之间．
故答案为：B
【分析】本题结合条件“ ”，将，代入计算求出，然后根据，计算即可得出。
9．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故答案为：C．
【分析】
设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程，解答即可．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值如表所示，点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（4，y3）在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
A．y1＝y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-6=c；
当x=-1时，y=-3=a-b+c；
当x=1时，y=-11=a+b+c；
综上得出，，解得，
∴该二次函数为y＝-7x2-10x-6，
当x=-4时，y1=-7×16-10×（-4）-6=-78，
当x=-2时，y1=-7×4-10×（-2）-6=-14，
当x=4时，y1=-7×16-10×4-6=-158，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：B．
【分析】结合表中的信息，可以利用待定系数法求出该二次函数为y＝-7x2-10x-6，然后分别将A、B、C三个点的横坐标代入，求出各自的纵坐标，最后比较大小即可。
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
11．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解.
12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：原方程可化为，
由题意知
解得
故答案为：．
【分析】将方程化简为一般式，再根据方程有两个相等的实数根可以得到，求解即可．
13．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是　 　．
【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC＝∠ABC，
由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【分析】由菱形的性质可得，∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理可以得到∠ADC＝∠AOC，再根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可．
14．如图，在矩形中，，，、分别是、的中点，连接、，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】32
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，，如图
四边形是矩形，
，，，
的面积矩形的面积，
∵、分别是、的中点，即为的中位线，
，且，
，
，
∴2GE=DG，即DE=DG+GE=，
∴DG=DE，
设B点到DE的距离为h，则S△BDE=，S△BDG=，
∴S△BDG==S△BDE，
而S△BDE=S△BCD=S△ABD=12cm2，
∴S△BDG=S△BDE=×12=8cm2，
阴影部分的面积的面积的面积，
故答案为：32．
【分析】本题做辅助线后，结合矩形的性质以及三角形和矩形的面积计算公式，可以先求出的面积矩形的面积=24cm2，然后结合三角形中位线性质以及相似三角形的判定和性质，推出DG=DE，接着利用三角形中线性质计算出S△BDG=8cm2，最后观察图形得出阴影部分的面积的面积的面积，代入求和即可。
三、解答题：本题共9小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，则，再根据直角三角两锐角互余即可求出答案.
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别计算零指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值以及计算负整数指数幂，然后根据实数的运算法则求解即可．
17．如图，在中，
（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹
（2）在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值．
【答案】（1）解： 点D即为所求．
（2）解：过点E作于点M，于点
平分，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作的角平分线，即先以A点为圆心、任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点长为半径画弧，交于一点，最后连接A点和这一点并延长，交BC于E点；然后作BC的垂直平分线，即分别以B点和C点为圆心、大于BC长度为半径画弧，分别交BC两侧于两点，最后连接这两点并向两侧延伸，与的角平分线的交点即为D点；
作辅助线后，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出，然后利用三角形的面积公式列式并计算即可得出答案。
（1）解：如图，
则点D即为所求．
（2）解：过点E作于点M，于点
平分，
，
．
18．山海有情，天辽地宁，年月日是第个“中国旅游日”．我市某中学举行了以“我爱辽宁”为主题的旅游知识竞赛活动．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：____________，____________，____________．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____________组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）；；；
（2）乙；
（3）解：小祺的观点比较片面，理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）
∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
【分析】（）根据中位数，众数和优秀率的求解方法，直接求解即可；
（）根据中位数的意义，求解即可；
（）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可；
（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
（3）小祺的观点比较片面，
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．
（1）若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
（2）若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
【答案】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
则列式为，解得，
即应选用A种食品2包，B种食品4包。
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
则列式，解得，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
即应选用6包A种食品，2包B种食品．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列二元一次方程；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）分别结合A和B的营养成分表以及“ 从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质 ”，分别得出700x+900y=5000，10x+15y=80，此时联立方程组，求解x和y即可；
（2）根据条件“ 要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g ”，因此列式，此时可以求解出，然后列式简化得出总热量，此时观察发现w随m的增大而减小，因此m=6，再结合“ 选用这两种食品共8包 ”，即可求出B种食品的数量。
（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品2包，B种食品4包；
（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，
根据题意得：，
解得：，
设摄入的总热量为w KJ，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
此时，
答：应选用6包A种食品，2包B种食品．
20．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（）设法线为，可以得到，得到，根据正切的定义可以得到，即可求解；
（）根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出，再根据折射率的定义即可求解；
（1）解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
21．综合与实践：
探索求圆半径的方法
背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．
任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____．
任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径．
任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．
【答案】任务一：；
任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，，
则四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：圆的半径为；
；任务三：；任务四：．
【知识点】垂径定理的实际应用；图形的旋转；圆柱的体积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：任务一：∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径．
∵，，
∴，
∴该圆的半径为．
故答案为：；
任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积；
绕旋转得到的圆柱体积，
∴
任务四：解：绕旋转得到的圆柱体积；
绕旋转得到的圆柱体积，
∵，
∴
∴，
故绕旋转得到的圆柱体积更大
【分析】任务一：直接根据勾股定理求解即可；
任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径；
任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论；
任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论．
22．如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．
（1）如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；
（2）如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：；
（3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，四边形是拒形，
轴，轴，
，是的中点，
，
双曲线经过点 ，
，
，
当时，，
点的坐标为．
（2）证明：如图2，
点、点都在双曲线上，
、，，
∴，，，
∵轴，轴
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图，连接、交于点，交于点，
，
随的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，
垂直平分，，
，
，且
，
解得：，
则点，
则．
若点与点重合，则，
的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据B点坐标可以得到点C的坐标，再根据是的中点，得到，求得反比例函数解析式，即可求解；
（2）由点、点都在双曲线上，设、，，进而得到，即可求解；
（3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解．
（1）解：如图1，
四边形是拒形，
轴，轴，
，是的中点，
，
双曲线经过点 ，
，
，
当时，，
点的坐标为．
（2）证明：如图2，
点、点都在双曲线上，
、，，
∴，，，
∵轴，轴
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图，连接、交于点，交于点，
，
随的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，
垂直平分，，
，
，且
，
解得：，
则点，
则．
若点与点重合，则，
的取值范围是．
23．在，中，，，，连接、，取的中点
（1）【观察猜想】
如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究证明】
若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2中，延长到，使得，设交于，交于，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
，
∴．
综上，（1）的结论，仍然成立．
（3）或．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
．
（3）解：①如图，当，作于，连接，
，，，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
，
；
②如图，过点作的延长线于，连接，
同①可知，，，
∵，
∴，
∴，
．
综上所述，的面积为或．
故答案为：（1），；（3）或．
【分析】（1）结合条件，利用证明，从而根据全等三角形的性质得到、，再结合三角形中线性质得出，等量代换得出，最后通过直角三角形锐角互余以及角的等量代换，得出，从而得出证明结果；
（2）做辅助线后，先由证出，从而得、，然后结合“内错角相等、两直线平行”得出，进而结合平行线性质推出，再由证，从而得出，，接着结合条件以及直角三角形锐角互余，进行角的替换变形即可得出答案；
（3）结合条件分两种情况，并分别作图，然后作于，分别利用直角三角形中角的性质、勾股定理、三角形面积、三角函数等知识，即可计算的面积．
（1）解：，，，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2中，延长到，使得，设交于，交于，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
，
，
，
，
∴．
综上，（1）的结论，仍然成立．
（3）解：①如图，当，作于，连接，
，，，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
，
；
②如图，过点作的延长线于，连接，
同①可知，，，
∵，
∴，
∴，
．
综上所述，的面积为或．
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