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广东省清远市阳山县2025年中考三模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．我国古代窗棂样式多种多样，已经在申遗的路上，这些图案呈现出我国劳动人民智慧与勤劳，下面结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某人沿着坡度为的山坡前进了，则这个人所在的位置升高了（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
4．截至2025年6月8日17时，全国冬小麦收割1.49亿亩，进度过四成，将149000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（　　）
A． B．3 C． D．
10．已知x＝5是分式方程 ＝ 的解，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
二、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么的值　 　．
12．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为 　 　．
13．两个相似六边形的相似比为，它们周长的差是，那么周长较大的六边形周长为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在直线上，点的坐标为．将菱形沿直线平移，当点，同时落在反比例函数的图象上时，菱形沿直线平移的距离为　 　．
15．如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则的长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算．
17．如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：在线段上作一点F，使得（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
18．如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？
20．某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据______，______．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
21．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求的最大值及此时点P的坐标；
（3）当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，立即逆流匀速航行返回到A码头，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，水流速度不变．两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度）
（1）水流速度为______千米/时；a值为______；
（2）求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；
（3）当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．
23．李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M．
（1）当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上；
（2）当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长；
（3）连接，当扇形转动一周时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项对应的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，A、B选项对应的图形只是轴对称图形，C选项对应的图形只是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。本题根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个选项进行分析即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，．
∵坡度为，即，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】本题依据“坡角比值=坡面垂直直高度：水平宽度”，从而画图并结合三角函数计算出，然后再依据正弦值即可计算出答案。
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴点到的距离为4，
故选：B．
【分析】本题考查尺规作角平分线的作法和角平分线的性质定理的应用，首先根据、计算出的长度，再由尺规作图的步骤可知是的角平分线，结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过点F作的垂线段，该垂线段的长度与相等，此长度即为点F到的距离。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：149000000=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数。本题先确定a=1.49，然后计算出n=8，从而即可用科学记数法表示。
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到，再由即可求解．
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，≠a5，错误；
B选项，≠a6，错误；
C选项，，正确；
D选项，≠2，错误．
故答案为：C．
【分析】本题利用幂的乘方法则计算判断A；同底数幂相乘法则计算判断B；利用同底数幂相除法计算判断C；利用合并同类项计算法则计算并验证D．
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；角平分线的性质；正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，
过点M做于G，如图所示，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：A．
【分析】设正方形的边长为，则，过点M做于G，根据角平分线的性质可得，然后根据，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可知：，，，
∴，
∴，故①不正确；
将点，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为，，
∵，
∴，，，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
把，代入方程，
得
∴，，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
【分析】根据二次函数图象可得，，，从而得到，故①不正确；将点，代入，得出：，从而得出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
由，
设，
，即，
在中，，即，
在中，，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质“矩形的对边相等”可设，，由题意，根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得，在中，根据勾股定理得出，最后在中，用勾股定理可求解．
10．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵x＝5是分式方程 ＝ 的解，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】现将x=5代入分式方程，再根据解分式方程的步骤解出a即可．
11．【答案】1
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
“z”与“3”是相对面，
∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴，
∴
故答案为：1．
【分析】根据正方体的平面展开图，可以得到，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“z”与“3”是相对面，从而得到x、y、z的值，再代入计算即可．
12．【答案】24πcm2
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故答案为：24πcm2．
【分析】根据三视图可得，这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，根据圆锥的侧面展开图为扇形以及扇形面积公式即可求解．
13．【答案】60
【知识点】相似多边形；相似比
【解析】【解答】解：设周长较大的六边形周长为，则周长较小的六边形周长为，
由题意得：＝，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴周长较大的六边形周长为，
故答案为：60．
【分析】设周长较大的六边形周长为，可以得到周长较小的六边形周长为，然后根据相似多边形的性质得到＝，求解即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：设菱形沿直线y＝x平移t个单位，B，D同时落在反比例函数的图象上，
则相当于菱形向右平移t个单位，再向上平移t个单位，
∴平移后B坐标为（2+t，1+t），
代入反比例函数得1+t＝ ，
解得t＝或t＝﹣4（舍去），即菱形沿直线y＝x平移个单位，B落在反比例函数的图象上，
由菱形和反比例函数的图象都关于直线y＝x对称可知，此时D也落在反比例函数的图象上，
故答案为：．
【分析】设菱形沿直线y＝x平移t个单位，可以得到平移后B坐标为（2+t，1+t），根据题意，代入反比例函数得t＝或t＝﹣4（舍去），即菱形沿直线y＝x平移个单位，B落在反比例函数的图象上，根据对称性可得，点D也落在反比例函数的图象上．
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过作于点，于点，过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴由角平分线性质得：，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，，，
∵，
∴，解得，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】过作于点，于点，过作于点，从而得到四边形是矩形，，，由题意可得，，从而得到，根据可以得到，，即，设，则，，，，再由，求出，，最后由勾股定理即可求解．
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题根据二次根式性质以及绝对值的性质，可以计算出，利用负整数指数幂计算出，零指数幂运算法则计算出，然后进一步计算即可．
17．【答案】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，
∴ ，
又∵，
∴，
∴

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，点F在线段AB的垂直平分线上，作出线段AB的垂直平分线即可求解；
（2）由菱形的性质得到，，则，由题意可得，根据角的和差关系即可求解．
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，
∴ ，
又∵，
∴，
∴
18．【答案】（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC。
（2）解：∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）做辅助线后，根据切线的性质以及、OF⊥BC，即可证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质得出；
（2）结合圆的性质得出，再依据“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质，可推导，最后列式并代入计算即可求出AD．
（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
（2）∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
19．【答案】解：设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩，由题意得：，解得：，
即该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩．
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意可以先设传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”种植谷子亩，然后根据“ 种植谷子亩 ”列出x+y=50；“ 共收获谷子千克 ”以及“ 平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克 ”，可以列式，然后联立方程组求解即可．
20．【答案】（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
【分析】（1）根据各得分人数和为20求出得分为3分的人数即可补全图形；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可.
（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
21．【答案】（1）解∶抛物线，
当时，，
当时，，
解得：，
∴；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
，
，
，
∵轴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点。
（3），，
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：存在，
由（2）得点E的横坐标为3，把代入，
，
设点，
∵，
∴，，
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：或（不合题意舍去），
此时点；
综上所述，点Q的坐标为，，．
故答案为：（3），，；
【分析】（1）结合图形，令即可求出C点坐标，即可求出A点和B点坐标，从而得出答案；
（2）用待定系数法将代入，即可求出直线的解析式，然后假设出点P点坐标和E点坐标，结合两点之间的距离公式即可得，再根据计算出，最后利用二次函数的性质求出最大值，从而得出答案；
（3）先求出E点的坐标，然后假设点，然后分、、三种情况讨论，结合勾股定理列式计算并分析，即可得出答案．
（1）解∶抛物线，
当时，，
当时，，
解得：，
∴；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
，
，
，
∵轴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点；
（3）解：存在，
由（2）得点E的横坐标为3，把代入，
，
设点，
∵，
∴，，
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：或（不合题意舍去），
此时点；
综上所述，点Q的坐标为，，．
22．【答案】（1）
（2）解：甲轮船逆流的速度为：，
设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，
由图象可知：点在函数图象上，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）解：当时，；
∴甲轮船距A码头的航程为千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可知：乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头用了小时，
∴乙轮船逆流的速度为，
∴水流速度为：；
∴甲轮船顺水速度为：，
∴甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头所用时间为：；
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先求出乙轮船的船速，进而求出水流速度，再计算出甲轮船顺水的速度，利用路程除以速度即可得到的值；
（2）求出甲轮船逆流的速度，设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）将代入解析式即可求出答案.
（1）解：由图象可知：乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头用了小时，
∴乙轮船逆流的速度为，
∴水流速度为：；
∴甲轮船顺水速度为：，
∴甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头所用时间为：；
∴，
故答案为：；
（2）解：甲轮船逆流的速度为：，
设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，
由图象可知：点在函数图象上，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）解：当时，；
∴甲轮船距A码头的航程为千米．
23．【答案】（1）解：点O在直线上，理由如下：
如图1，连接，
为等边三角形，
，
，
∴点O在直线上；
（2）解：当扇形的半径所在直线与扇形第一次相切时，
如图2，则，
；
∴点经过的路径的长为。
（3）解：根据题意可知旋转中心为点Q，为定值，
∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆．
如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B，
∴，的长分别为的最小值和最大值．
连接，如图4，
过点O作于点D，交于点E，
∴的取值范围为
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）做辅助线后，结合等边三角形的判断和性质，可以得，再结合，即可计算出，从而得出答案；
（2）由切线的性质得出，再根据弧长公式，将n=90°、r=36cm代入计算即可；
（3）由题意可知，当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆；然后做辅助线并结合图形发现，，的长分别为的最小值和最大值；分析扇形QOP，如图做辅助线后，利用扇形的性质以及三角函数，求出PD=cm，并求出PQ、OA、OB的长，此时即可确定OM的取值范围。
（1）解：点O在直线上，理由如下：
如图1，连接，
为等边三角形，
，
，
∴点O在直线上；
（2）当扇形的半径所在直线与扇形第一次相切时，如图2，则，
；
∴点经过的路径的长为；
（3）根据题意可知旋转中心为点Q，为定值，
∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆．
如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B，
∴，的长分别为的最小值和最大值．
连接，如图4，
过点O作于点D，交于点E，
∴的取值范围为
1 / 1广东省清远市阳山县2025年中考三模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．我国古代窗棂样式多种多样，已经在申遗的路上，这些图案呈现出我国劳动人民智慧与勤劳，下面结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项对应的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，A、B选项对应的图形只是轴对称图形，C选项对应的图形只是中心对称图形。
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。本题根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个选项进行分析即可得出答案。
2．某人沿着坡度为的山坡前进了，则这个人所在的位置升高了（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，．
∵坡度为，即，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】本题依据“坡角比值=坡面垂直直高度：水平宽度”，从而画图并结合三角函数计算出，然后再依据正弦值即可计算出答案。
3．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴点到的距离为4，
故选：B．
【分析】本题考查尺规作角平分线的作法和角平分线的性质定理的应用，首先根据、计算出的长度，再由尺规作图的步骤可知是的角平分线，结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过点F作的垂线段，该垂线段的长度与相等，此长度即为点F到的距离。
4．截至2025年6月8日17时，全国冬小麦收割1.49亿亩，进度过四成，将149000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：149000000=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数。本题先确定a=1.49，然后计算出n=8，从而即可用科学记数法表示。
5．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到，再由即可求解．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，≠a5，错误；
B选项，≠a6，错误；
C选项，，正确；
D选项，≠2，错误．
故答案为：C．
【分析】本题利用幂的乘方法则计算判断A；同底数幂相乘法则计算判断B；利用同底数幂相除法计算判断C；利用合并同类项计算法则计算并验证D．
7．如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；角平分线的性质；正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，
过点M做于G，如图所示，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：A．
【分析】设正方形的边长为，则，过点M做于G，根据角平分线的性质可得，然后根据，即可求解．
8．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可知：，，，
∴，
∴，故①不正确；
将点，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为，，
∵，
∴，，，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
把，代入方程，
得
∴，，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
【分析】根据二次函数图象可得，，，从而得到，故①不正确；将点，代入，得出：，从而得出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．
9．如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
由，
设，
，即，
在中，，即，
在中，，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质“矩形的对边相等”可设，，由题意，根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得，在中，根据勾股定理得出，最后在中，用勾股定理可求解．
10．已知x＝5是分式方程 ＝ 的解，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵x＝5是分式方程 ＝ 的解，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】现将x=5代入分式方程，再根据解分式方程的步骤解出a即可．
二、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么的值　 　．
【答案】1
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
“z”与“3”是相对面，
∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴，
∴
故答案为：1．
【分析】根据正方体的平面展开图，可以得到，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“z”与“3”是相对面，从而得到x、y、z的值，再代入计算即可．
12．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为 　 　．
【答案】24πcm2
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故答案为：24πcm2．
【分析】根据三视图可得，这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，根据圆锥的侧面展开图为扇形以及扇形面积公式即可求解．
13．两个相似六边形的相似比为，它们周长的差是，那么周长较大的六边形周长为 　 　．
【答案】60
【知识点】相似多边形；相似比
【解析】【解答】解：设周长较大的六边形周长为，则周长较小的六边形周长为，
由题意得：＝，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴周长较大的六边形周长为，
故答案为：60．
【分析】设周长较大的六边形周长为，可以得到周长较小的六边形周长为，然后根据相似多边形的性质得到＝，求解即可．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在直线上，点的坐标为．将菱形沿直线平移，当点，同时落在反比例函数的图象上时，菱形沿直线平移的距离为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：设菱形沿直线y＝x平移t个单位，B，D同时落在反比例函数的图象上，
则相当于菱形向右平移t个单位，再向上平移t个单位，
∴平移后B坐标为（2+t，1+t），
代入反比例函数得1+t＝ ，
解得t＝或t＝﹣4（舍去），即菱形沿直线y＝x平移个单位，B落在反比例函数的图象上，
由菱形和反比例函数的图象都关于直线y＝x对称可知，此时D也落在反比例函数的图象上，
故答案为：．
【分析】设菱形沿直线y＝x平移t个单位，可以得到平移后B坐标为（2+t，1+t），根据题意，代入反比例函数得t＝或t＝﹣4（舍去），即菱形沿直线y＝x平移个单位，B落在反比例函数的图象上，根据对称性可得，点D也落在反比例函数的图象上．
15．如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过作于点，于点，过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴由角平分线性质得：，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，，，
∵，
∴，解得，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】过作于点，于点，过作于点，从而得到四边形是矩形，，，由题意可得，，从而得到，根据可以得到，，即，设，则，，，，再由，求出，，最后由勾股定理即可求解．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】本题根据二次根式性质以及绝对值的性质，可以计算出，利用负整数指数幂计算出，零指数幂运算法则计算出，然后进一步计算即可．
17．如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：在线段上作一点F，使得（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，
∴ ，
又∵，
∴，
∴

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，点F在线段AB的垂直平分线上，作出线段AB的垂直平分线即可求解；
（2）由菱形的性质得到，，则，由题意可得，根据角的和差关系即可求解．
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，
∴ ，
又∵，
∴，
∴
18．如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC。
（2）解：∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）做辅助线后，根据切线的性质以及、OF⊥BC，即可证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质得出；
（2）结合圆的性质得出，再依据“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质，可推导，最后列式并代入计算即可求出AD．
（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
（2）∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？
【答案】解：设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩，由题意得：，解得：，
即该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩．
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意可以先设传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”种植谷子亩，然后根据“ 种植谷子亩 ”列出x+y=50；“ 共收获谷子千克 ”以及“ 平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克 ”，可以列式，然后联立方程组求解即可．
20．某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据______，______．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
【答案】（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
【分析】（1）根据各得分人数和为20求出得分为3分的人数即可补全图形；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可.
（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
21．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求的最大值及此时点P的坐标；
（3）当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解∶抛物线，
当时，，
当时，，
解得：，
∴；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
，
，
，
∵轴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点。
（3），，
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：存在，
由（2）得点E的横坐标为3，把代入，
，
设点，
∵，
∴，，
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：或（不合题意舍去），
此时点；
综上所述，点Q的坐标为，，．
故答案为：（3），，；
【分析】（1）结合图形，令即可求出C点坐标，即可求出A点和B点坐标，从而得出答案；
（2）用待定系数法将代入，即可求出直线的解析式，然后假设出点P点坐标和E点坐标，结合两点之间的距离公式即可得，再根据计算出，最后利用二次函数的性质求出最大值，从而得出答案；
（3）先求出E点的坐标，然后假设点，然后分、、三种情况讨论，结合勾股定理列式计算并分析，即可得出答案．
（1）解∶抛物线，
当时，，
当时，，
解得：，
∴；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
，
，
，
∵轴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点；
（3）解：存在，
由（2）得点E的横坐标为3，把代入，
，
设点，
∵，
∴，，
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：，
此时点；
当时，，
即，
解得：或（不合题意舍去），
此时点；
综上所述，点Q的坐标为，，．
22．A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，立即逆流匀速航行返回到A码头，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，水流速度不变．两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度）
（1）水流速度为______千米/时；a值为______；
（2）求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；
（3）当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．
【答案】（1）
（2）解：甲轮船逆流的速度为：，
设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，
由图象可知：点在函数图象上，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）解：当时，；
∴甲轮船距A码头的航程为千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可知：乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头用了小时，
∴乙轮船逆流的速度为，
∴水流速度为：；
∴甲轮船顺水速度为：，
∴甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头所用时间为：；
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先求出乙轮船的船速，进而求出水流速度，再计算出甲轮船顺水的速度，利用路程除以速度即可得到的值；
（2）求出甲轮船逆流的速度，设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）将代入解析式即可求出答案.
（1）解：由图象可知：乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头用了小时，
∴乙轮船逆流的速度为，
∴水流速度为：；
∴甲轮船顺水速度为：，
∴甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头所用时间为：；
∴，
故答案为：；
（2）解：甲轮船逆流的速度为：，
设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，
由图象可知：点在函数图象上，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）解：当时，；
∴甲轮船距A码头的航程为千米．
23．李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M．
（1）当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上；
（2）当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长；
（3）连接，当扇形转动一周时，求的取值范围．
【答案】（1）解：点O在直线上，理由如下：
如图1，连接，
为等边三角形，
，
，
∴点O在直线上；
（2）解：当扇形的半径所在直线与扇形第一次相切时，
如图2，则，
；
∴点经过的路径的长为。
（3）解：根据题意可知旋转中心为点Q，为定值，
∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆．
如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B，
∴，的长分别为的最小值和最大值．
连接，如图4，
过点O作于点D，交于点E，
∴的取值范围为
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）做辅助线后，结合等边三角形的判断和性质，可以得，再结合，即可计算出，从而得出答案；
（2）由切线的性质得出，再根据弧长公式，将n=90°、r=36cm代入计算即可；
（3）由题意可知，当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆；然后做辅助线并结合图形发现，，的长分别为的最小值和最大值；分析扇形QOP，如图做辅助线后，利用扇形的性质以及三角函数，求出PD=cm，并求出PQ、OA、OB的长，此时即可确定OM的取值范围。
（1）解：点O在直线上，理由如下：
如图1，连接，
为等边三角形，
，
，
∴点O在直线上；
（2）当扇形的半径所在直线与扇形第一次相切时，如图2，则，
；
∴点经过的路径的长为；
（3）根据题意可知旋转中心为点Q，为定值，
∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆．
如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B，
∴，的长分别为的最小值和最大值．
连接，如图4，
过点O作于点D，交于点E，
∴的取值范围为
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