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广东省湛江市雷州市八中教育集团2024--2025学年中考三模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若气温上升记作，则气温下降记作，
故选：C．
【分析】根据正负数的意义，把气温上升用正数表示，那么气温下降用负数表示，据此求解即可．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义，把一个图形绕某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对选项逐个判断即可．
3．2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长，高于全国个百分点，总量亿元．“亿”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定a与n即可求解．
4．2024广东3·15消费维权打假论坛在广州举行，本次论坛四大分会场“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”同时进行，若某记者随机选择一场分论坛进行报道，则选中“非遗文化分论坛”的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”四场论坛随机选择一个论坛有4种情况，选中“非遗文化分论坛”的只有一种情况，
选中“非遗文化分论坛”的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，≠-m5，错误；
B，≠6m9，错误；
C，，正确；
D，，不能合并，错误．
故答案为：C ．
【分析】本题利用幂的乘方运算法则，即（am）n=amn，可以计算并判断A；利用单项式乘以单项式计算法则，即把它们的系数、相同字母分别相乘，据此计算并判断B；利用单项式除以单项式计算可以判断C；利用合并同类项法则可以判断D．
6．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵直线，，
∴，
∵直线，
∴．
∴．
故选：A．
【分析】 利用平行线的性质及垂直求解 ，先根据平行线的性质可得，，再根据可以得到，即可求解．
7．分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：把代入，
∴分式方程的解为，
故选：B．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程的根，最后检验即可得到分式方程的解．
8．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【分析】连接，由垂直平分线的性质和勾股定理求出，然后得到，再根据勾股定理求出即可．
9．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
∵四边形是正方形，为对角线，，
∴点O是四边形的中心，
连接，
∴，
∴，为所在圆的直径，
∴所对圆心角的度数为，
∵，
∴，
∴所在圆的半径为；
设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积，
∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积．
故选：A．
【分析】先求得反比例函数的解析式为；根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为；设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴，
由题意可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，
∵，且A、B两点关于直线对称，
∴点在直线上，
设，
∵，
∴轴，
∴，
设且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴，即，
由∵，
∴
．
故选：C．
【分析】根据题意先求出抛物线的解析式为，如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，根据轴对称的性质、坐标系内点坐标的规律、两点间距离公式可得，；再结合勾股定理可得，整理后可得，然后说明，最后由并代入相关结论，即可求解．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】本题根据一元二次方程根无实数根的特点，结合根的判别式，将代入即可得出关于k的不等式，解不等式即可。
13．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆内接正多边形；多边形的内角和公式；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，，如图
∵五边形是的内接正五边形，
∴，，∠EOA=∠AOB=360÷5=72°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAE=∠OEA=（180°-72°）÷2=54°，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题根据圆的特点、多边形内角和以及圆内接正五边形的特点，可以计算求出、∠EOA=∠AOB=72°，并利用等腰三角形的性质以及三角形内角和计算出∠OAB=∠OBA=∠OAE=∠OEA=54°，然后结合“两直线平行、同位角相等”得出，最后再利用三角形内角和计算出。
14．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
15．把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴，
∴，
在中，∠，
∴∠，
∴，
∴，
∵∠
∴
在中，∠，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，，将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，即，则OB=5，即可求出答案.
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式混合运算进行计算化简，再代入已知值计算．
17．如图，在中 ，，平分交于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解；
（2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解．
（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
12
a
26
16
4
（1）　　， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
【答案】（1）80，22
（2）解：由频数分布表可知，样本中2≤t≤3的学生有16+4=20人，所占的百分比为=25%，
∴估计该校学生劳动时间在中=2≤t≤3的学生有640×25%=160人，
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）解：根据题意，列表如下：
　 女1 女2 男1 男2
女1 　 女2女1 男1女1 男2 女1
女2 女1女2 　 男1女2 男2女2
男1 女1男1 女2男1 　 男2男1
男2 女1男2 女2男2 男1男2 　
由此可知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好是二名女生的两种，
∴ 抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.P==.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：80；22；
【分析】（1）先用的频数除以百分比求得抽取的人数m，再用m减去其他人数求得a即可；
（2）先求出劳动时间在的频数和与样本容量的比值，再根据样本估计总体即可得出答案；
（3）根据题意列表得到所有的等可能的结果，再找出满足条件的结果，最后利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意，，，
故答案为：80，22；
（2）解：（人），
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）解：画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
∴抽取的2名学生恰好是二名女生的概率为．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个．
（1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？
【答案】（1）解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
每个种书架的价格为（元）；
即每个种书架1200元，每个种书架1000元。
（2）解：设购买种书架个，则购买B种书架个，且，
解得；
，其中，
当时，W取得最小值200×8+20000=21600；
此时；
即A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用18000元购买种书架的数量为个，用9000元购买种书架的数量为个，而“用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个”，因此列出分式方程，求解并检验，最后进一步计算求出A种书架的价格即可；
（2）先结合条件“种书架数量不少于种书架数量的 ”，列出不等式，求得a的范围；再根据费用列出W关于a的一次函数关系，观察可知W随a的增大而增大，因此当时，W可以取得最小值，然后计算即可。
（1）解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则每个种书架的价格为（元）；
答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元；
（2）解：由题意购买B种书架个，
则，
解得：；
而，其中，
当时，W随a的增大而增大，
当时，W取得最小值21600；
此时；
答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元．
20．【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）①；②；
（3）①；
解：②∵，
∴，即，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）画图分解如下
∵1=1×1，，-6=-2×3，
∴，
（2）①画图分解如下
∵2=2×1，-7=-7×1，2×1+1×（-7）=-5，
∴；
②画图分解如下
∵12=3×4，2=（-2）×（-1，），，
∴，
（3）①画图分解如下
∵2xy=2x×y，3=3×1，2x×1+y×3=2x+3y，
∴，
故答案为：（1）；（2）①；②；（3）①；
【分析】（1）将x2前面的系数1分解为1×1，-6分解为-2×3，结合x前面的系数1，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；
（2）①将2x2前面的系数2分解为2×1，-7分解为-7×1，结合x前面的系数-5，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；②将x2前面的系数12分解为3×4，y2前面的系数2分解为-2×（-1），结合xy前面的系数-11，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；
（3）①将xy分解为2x×y，3分解为3×1，结合3y+2x，利用“十字”画图，即可对多项式进行因式分解；
②将6ab分解为3a×2b，8b-15a看做整体，因此需要凑出来-20，即将-20分解为4×（-5），此时利用等式的性质并结合“十字”画图，即可对多项式进行因式分解为，然后分析并结合有理数的乘法运算分析求解即可．
21．项目式学习
项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务．
图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为．
任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数）
任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数）
参考数据 ，，，
【答案】解：（1）分别延长和交于点，过点作，交于点，
∴
∴四边形是矩形，
∴
阶梯的坡度，即，
∴设，则，
在中，，即，
解得（米），
答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为米．
（2）解：在中，，
∴（米）．
由题易得，四边形为矩形，
∴米，
∴（米）．
答：这座塔的高度约为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）延长和交于点，过点作交于点，根据坡度可以得到，设，则，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）在中，，可以得到，然后利用矩形的性质即可求解．
五、解答题（13+14分，共27分）
22．如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
（1）证明：是的切线；
（2）证明：；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵点A在上，
∴是的切线；
（2）证明：如图2，连接，，
∴
∴
∵是的切线，
∴即
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得即根据圆周角定理可得再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）设，，根据勾股定理可得，则，再根据正弦定义可得，再根据勾股定理即可 求出答案.
23．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线．
（1）当点的坐标为时，
①求二次函数的解析式；
②当最大时，求的值；
③在②的条件下，连接交于点，求的值．
（2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据y轴上点的坐标特征可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，再根据待定系数法将点F代入直线FM，可得直线，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
③由②可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，再根据两点间距离可得AQ，NQ，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，求出直线直线，再联立抛物线解析式，可得，根据求根公式即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
1 / 1广东省湛江市雷州市八中教育集团2024--2025学年中考三模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长，高于全国个百分点，总量亿元．“亿”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．2024广东3·15消费维权打假论坛在广州举行，本次论坛四大分会场“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”同时进行，若某记者随机选择一场分论坛进行报道，则选中“非遗文化分论坛”的概率是（　　）
A． B． C． D．1
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．因式分解：　 　．
12．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是　 　．
13．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为　 　．
14．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
15．把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．先化简，再求值：，其中.
17．如图，在中 ，，平分交于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
18．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
12
a
26
16
4
（1）　　， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个．
（1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？
20．【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
21．项目式学习
项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务．
图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为．
任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数）
任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数）
参考数据 ，，，
五、解答题（13+14分，共27分）
22．如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
（1）证明：是的切线；
（2）证明：；
（3）若，，求线段的长．
23．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线．
（1）当点的坐标为时，
①求二次函数的解析式；
②当最大时，求的值；
③在②的条件下，连接交于点，求的值．
（2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若气温上升记作，则气温下降记作，
故选：C．
【分析】根据正负数的意义，把气温上升用正数表示，那么气温下降用负数表示，据此求解即可．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义，把一个图形绕某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对选项逐个判断即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定a与n即可求解．
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”四场论坛随机选择一个论坛有4种情况，选中“非遗文化分论坛”的只有一种情况，
选中“非遗文化分论坛”的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，≠-m5，错误；
B，≠6m9，错误；
C，，正确；
D，，不能合并，错误．
故答案为：C ．
【分析】本题利用幂的乘方运算法则，即（am）n=amn，可以计算并判断A；利用单项式乘以单项式计算法则，即把它们的系数、相同字母分别相乘，据此计算并判断B；利用单项式除以单项式计算可以判断C；利用合并同类项法则可以判断D．
6．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵直线，，
∴，
∵直线，
∴．
∴．
故选：A．
【分析】 利用平行线的性质及垂直求解 ，先根据平行线的性质可得，，再根据可以得到，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：把代入，
∴分式方程的解为，
故选：B．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程的根，最后检验即可得到分式方程的解．
8．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【分析】连接，由垂直平分线的性质和勾股定理求出，然后得到，再根据勾股定理求出即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
∵四边形是正方形，为对角线，，
∴点O是四边形的中心，
连接，
∴，
∴，为所在圆的直径，
∴所对圆心角的度数为，
∵，
∴，
∴所在圆的半径为；
设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积，
∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积．
故选：A．
【分析】先求得反比例函数的解析式为；根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为；设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴，
由题意可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，
∵，且A、B两点关于直线对称，
∴点在直线上，
设，
∵，
∴轴，
∴，
设且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴，即，
由∵，
∴
．
故选：C．
【分析】根据题意先求出抛物线的解析式为，如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，根据轴对称的性质、坐标系内点坐标的规律、两点间距离公式可得，；再结合勾股定理可得，整理后可得，然后说明，最后由并代入相关结论，即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】本题根据一元二次方程根无实数根的特点，结合根的判别式，将代入即可得出关于k的不等式，解不等式即可。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆内接正多边形；多边形的内角和公式；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，，如图
∵五边形是的内接正五边形，
∴，，∠EOA=∠AOB=360÷5=72°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAE=∠OEA=（180°-72°）÷2=54°，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题根据圆的特点、多边形内角和以及圆内接正五边形的特点，可以计算求出、∠EOA=∠AOB=72°，并利用等腰三角形的性质以及三角形内角和计算出∠OAB=∠OBA=∠OAE=∠OEA=54°，然后结合“两直线平行、同位角相等”得出，最后再利用三角形内角和计算出。
14．【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴，
∴，
在中，∠，
∴∠，
∴，
∴，
∵∠
∴
在中，∠，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，，将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，即，则OB=5，即可求出答案.
16．【答案】解：原式
，
原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式混合运算进行计算化简，再代入已知值计算．
17．【答案】（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解；
（2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解．
（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】（1）80，22
（2）解：由频数分布表可知，样本中2≤t≤3的学生有16+4=20人，所占的百分比为=25%，
∴估计该校学生劳动时间在中=2≤t≤3的学生有640×25%=160人，
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）解：根据题意，列表如下：
　 女1 女2 男1 男2
女1 　 女2女1 男1女1 男2 女1
女2 女1女2 　 男1女2 男2女2
男1 女1男1 女2男1 　 男2男1
男2 女1男2 女2男2 男1男2 　
由此可知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好是二名女生的两种，
∴ 抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.P==.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：80；22；
【分析】（1）先用的频数除以百分比求得抽取的人数m，再用m减去其他人数求得a即可；
（2）先求出劳动时间在的频数和与样本容量的比值，再根据样本估计总体即可得出答案；
（3）根据题意列表得到所有的等可能的结果，再找出满足条件的结果，最后利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意，，，
故答案为：80，22；
（2）解：（人），
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）解：画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
∴抽取的2名学生恰好是二名女生的概率为．
19．【答案】（1）解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
每个种书架的价格为（元）；
即每个种书架1200元，每个种书架1000元。
（2）解：设购买种书架个，则购买B种书架个，且，
解得；
，其中，
当时，W取得最小值200×8+20000=21600；
此时；
即A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用18000元购买种书架的数量为个，用9000元购买种书架的数量为个，而“用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个”，因此列出分式方程，求解并检验，最后进一步计算求出A种书架的价格即可；
（2）先结合条件“种书架数量不少于种书架数量的 ”，列出不等式，求得a的范围；再根据费用列出W关于a的一次函数关系，观察可知W随a的增大而增大，因此当时，W可以取得最小值，然后计算即可。
（1）解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则每个种书架的价格为（元）；
答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元；
（2）解：由题意购买B种书架个，
则，
解得：；
而，其中，
当时，W随a的增大而增大，
当时，W取得最小值21600；
此时；
答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元．
20．【答案】（1）；
（2）①；②；
（3）①；
解：②∵，
∴，即，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）画图分解如下
∵1=1×1，，-6=-2×3，
∴，
（2）①画图分解如下
∵2=2×1，-7=-7×1，2×1+1×（-7）=-5，
∴；
②画图分解如下
∵12=3×4，2=（-2）×（-1，），，
∴，
（3）①画图分解如下
∵2xy=2x×y，3=3×1，2x×1+y×3=2x+3y，
∴，
故答案为：（1）；（2）①；②；（3）①；
【分析】（1）将x2前面的系数1分解为1×1，-6分解为-2×3，结合x前面的系数1，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；
（2）①将2x2前面的系数2分解为2×1，-7分解为-7×1，结合x前面的系数-5，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；②将x2前面的系数12分解为3×4，y2前面的系数2分解为-2×（-1），结合xy前面的系数-11，利用“十字”画图，即可对进行因式分解；
（3）①将xy分解为2x×y，3分解为3×1，结合3y+2x，利用“十字”画图，即可对多项式进行因式分解；
②将6ab分解为3a×2b，8b-15a看做整体，因此需要凑出来-20，即将-20分解为4×（-5），此时利用等式的性质并结合“十字”画图，即可对多项式进行因式分解为，然后分析并结合有理数的乘法运算分析求解即可．
21．【答案】解：（1）分别延长和交于点，过点作，交于点，
∴
∴四边形是矩形，
∴
阶梯的坡度，即，
∴设，则，
在中，，即，
解得（米），
答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为米．
（2）解：在中，，
∴（米）．
由题易得，四边形为矩形，
∴米，
∴（米）．
答：这座塔的高度约为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）延长和交于点，过点作交于点，根据坡度可以得到，设，则，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）在中，，可以得到，然后利用矩形的性质即可求解．
22．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵点A在上，
∴是的切线；
（2）证明：如图2，连接，，
∴
∴
∵是的切线，
∴即
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得即根据圆周角定理可得再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）设，，根据勾股定理可得，则，再根据正弦定义可得，再根据勾股定理即可 求出答案.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据y轴上点的坐标特征可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，再根据待定系数法将点F代入直线FM，可得直线，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
③由②可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，再根据两点间距离可得AQ，NQ，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线的解析式为，将x=1代入解析式可得，当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，求出直线直线，再联立抛物线解析式，可得，根据求根公式即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
点的坐标为时，
∴，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
②∵对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，，
∴，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
即
③由②可得
由直线，，得出直线的解析式为
由，的坐标为，得出直线的解析式为，
联立
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
当时，，则
对称轴为直线，
当时，，
解得：
∴，
又，设直线的解析式为，代入，得，
解得；，
∴直线的解析式为，
∵是与的交点，
∴当时，
∴
当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时，
点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，
由直线，代入得，
∴
∴直线
由抛物线解析式
联立消去得，
∴
∴
解得：或（舍去）
∵
∴
即是定值
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