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福建莆田市仙游县第四教研片区 2025-2026学年九年级下学期4月阶段检测
一、单选题
1．下列式子中，化简结果为5的是（ ）
A． B． C． D．
2．歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列实数中，比1大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一次函数的图象经过点，则该函数图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列方程有两个不相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
11．因式分解：________．
12．已知，则的值是___________．
13．若是方程的两个根，则的值为_______．
14．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______．
15．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________．

16．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿腰翻折至，与反比例函数的图象交于点C．若，C为的中点，则点的坐标为___________．
三、解答题
17．计算：．
18．解分式方程：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
21．学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元．
(1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若实数m，n满足，且，求的值．
23．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．
(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；
(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．
24．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
(1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由．
25．如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标．
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．C
5．A
6．C
7．A
8．A
9．A
10．D
11．
12．
13．2
14．
15．
16．
17．解：
．
18解：方程两边乘得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
19．解：
，
当时，原式．
20．（1）证明：∵，
∴
∵
∴为非负数．
（2）不可以，理由如下：
∵a，b，m，n为整数，n为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴a，b同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，
∴不可以为奇数．
21．（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元．
根据题意得：，
解得，
答：A的单价50元，B的单价35元；
（2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元．
根据题意得：
解得
∴
∵，
∴w随m的增大而增大
当时，w取最小值，最小值为2005元．
答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元．
22．（1）证明：在一元二次方程中， ，
∴，
∵，
∴，即，
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由，得
，
∵，
∴，
∴m和都满足方程，
对于一元二次方程，
有，
∵m和是方程的两个根，且，
∴，
∴．
23．（1）解：（1）是的完整平方根，
理由如下：
即．
∴是的完整平方根．
（2）∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是整数，
∴，．
（3）∵是完整根式，
∴不妨设，其中，都是整数．
由（2）得，，．
∴．
∵，都是整数，
∴为完全平方数．
∴一定是完全平方数．
24（1）解：根据题意得：，
∴车身总长与购物车辆数的表达式为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
解得：，（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车；
（3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，
由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车，
∴ ，
解得：，
∴为正整数，
∴，，，
∴共有种运输方案：
扶手电梯运次，直立电梯运次；
扶手电梯运次，直立电梯运次；
扶手电梯运次．
25．（1）解：∵对称轴为，
将代入得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于点，令，
∵，，
∴，，
直线的表达式为：，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
由等角的余角相等可得，
，
设点，则点 ，
而， 则 ，
即的最大值为，此时，点；
（3）解：
新抛物线的表达式为 ，
由点的坐标，可得，
作，
， ，则，
由可求点坐标为
由点的坐标易得，
则直线的表达式为：，
根据图象的对称性，直线的表达式为: ，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：(舍去) 或，
即点．

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