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辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查
数学试卷
一、单选题
1．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2．超市对销售的装大米进行抽检，如表记录了其中4种不同品牌被抽检大米的重量，则最符合标准重量的品牌编号是（ ）
品牌编号 ① ② ③ ④
超出标准的重量（千克）
A．① B．② C．③ D．④
3．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线l为函数的图象，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线，轴于，两点；以点为圆心，长为半径画弧，交轴于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与上一步所画的弧交于点，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算的结果为________．
12．某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试，若招聘成绩满分为，其中笔试占，面试占，其中一名应试者笔试与面试成绩（百分制）分别为、，则该名应试者的平均成绩为________．
13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________．
14．近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________．
15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．某学校为开展课外活动、计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？
18．跳绳是非常受欢迎的体育活动．某校在八年级按男女分组的方式组织1分钟跳绳对抗赛．竞赛结束后随机抽取男生、女生各10名学生的成绩（单位：个），并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
女生
男生
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的________（填“”“”或“”）；
(2)将表格中的数据补充完整；
(3)若跳绳个数在个及以上为“优秀”等级，请估计八年级名男生中达到“优秀”等级的人数．
19．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区规划一块矩形区域建设充电站，共有10个停车位．如图是充电站（矩形）的平面示意图，矩形、……，都是充电站的停车位，且所有停车位的长宽都相同，按图示并列划定．经测量，，，，最后一个停车位右侧边的延长线恰好经过顶点，求的长度．（参考数据：，，，结果精确到）
20．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元，市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月销售量减少5个．设每个双肩包涨价x元（x为正整数），每月的销售量为y个．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)物价部门规定该双肩包的售价不得超过成本价的，当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且．
(1)求证：为切线；
(2)若，，，求的半径长．
22．根据所学知识，解答以下问题
(1)如图1，在中，延长至点，使，点为边上一点，连接，使，延长至点，连接，使，求证：．
(2)如图2，在中，，，，分别为，，边上三点，且，，求证：．
(3)如图3，在中，，点为边上一点，连接，，延长至点，使得，连接，以为底边在其上方作，使，若，，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标；
(3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式；
(4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值．
参考答案及解析
1．A
解析：解：A、主视图是圆，故该选项正确；
B、主视图是长方形，故该选项错误；
C、主视图是三角形，故该选项错误；
D、主视图是正方形，故该选项错误，
故选：A．
2．B
解析：解：最符合标准重量，即与标准重量的偏差最小，对应偏差的绝对值最小，
，，，，
，
品牌②的偏差绝对值最小，最符合标准重量．
3．A
解析：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
4．C
解析：解：对选项A，合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，
，A计算错误．
对选项B，根据完全平方公式可得，
，B计算错误．
对选项C，，
C计算正确．
对选项D，幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，
，D计算错误．
5．C
解析：解：∵，，
∴，，
∵，
∴
6．D
解析：解：点平移后得到对应点，
平移规律为横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位，
点坐标为，点是点平移后的对应点，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为．
7．D
解析：解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果，
∴从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为．
故选：D．
8．A
解析：解：设木长尺，绳长尺．
∵用绳子量长木，绳子还剩余尺，
∴绳长减去木长等于，即 ，
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺，
∴对折后的绳长等于木长减去，即 ，
因此可得方程组．
9．B
解析：解：，，
，
平行四边形，
．
10．B
解析：解：根据作图可得
∴直线，
∵直线l为函数的图象，
∴设直线的解析式为
代入得，
解得：
∴直线的解析式为
11．
解析：解：原式．
12．
解析：解：由题意可得，应试者的平均成绩为（分），
故答案为：．
13．28
解析：解：将绕点顺时针旋转得到，
、，
，
，
旋转角为．
14．
解析：解：由已知设与的函数关系式为，
把代入，得，
解得，
，
当时，有，
即小鹏此时眼镜的度数为．
15．
解析：解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴在中，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
在中，，
∴．
16．(1)
(2)
解析：（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．(1)每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元．
(2)最多可购买副乒乓球拍．
解析：（1）解：设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副，
根据题意，可列方程：，
解得，
答：每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元．
（2）解：设购买乒乓球拍副，则羽毛球拍为副，
总费用满足：
解得，
为正整数，
最多可购买副乒乓球拍．
答：学校最多可以购买副乒乓球拍．
18．(1)
(2)
(3)估计名男学生中达到“优秀”等级的总人数为人
解析：（1）解：由统计图可知，女生的成绩波动程度小于男生的成绩波动，
∴
（2）解：将男生成绩从小到大排列：，，，，，，，，，
∴中位数为
（3）解：
答：估计名男学生中达到“优秀”等级的总人数为人
19．的长度约为
解析：解：由题意，四边形和四边形均为矩形，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
答：的长度约为．
20．(1)
(2)当售价定为108元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12480元．
解析：（1）解：由题意得，；
（2）解：设每月的利润为w元，
由题意得，
∵物价部门规定该双肩包的售价不得超过成本价的，
∴，
解得；
，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，最大为，
此时，
答：当售价定为108元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12480元．
21．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，为半径，
∴为切线．
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，．
在中，，
，
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：（1）证明： ，，
又，
，
，，
．
（2）证明：延长，交于点，
，，
又，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）连接，
，，
又，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
过作交于，
，，
，
在中，，
，
设，，
，，
，
，
23．(1)
(2)
(3)
(4)或
解析：（1）解：将，代入二次函数，
，
解得，
．
（2）设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
过点作轴交延长线于点，
过，两点分别作，分别交于，两点，
点坐标为，点坐标为，
，
，
解得，，
∵点在轴左侧，（舍），
．
（3）解：，，
，
∵点坐标为，
，，
，
，．
（4）解：依题意，点坐标为，，
，，
当时，矩形的周长，
当时，矩形的周长，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
①当时，解得，（舍）
②当时，解得（舍）
③当时，解得（舍）
④当时，解得，（舍）
综上所述：或．

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