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2024-2025学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. (3分)如图，为测量池塘边 、 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点 ，测得 、 的
中点分别是点 、 ，且 米，则 、 间的距离是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2. (3分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
3. (3分)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. (3分)如图，在 中， ， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. (3分)下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. (3分)菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. (3分)下列选项中，不能被边长为 的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A.长度为 的线段 B.边长为 的等边三角形
C.斜边为 的直角三角形 D.面积为 的菱形
8. (3分)如图， 的两个顶点 ， 均在数轴上，且 ， ，若点 表示的数是
，点 表示的数是 ，那么以点 为圆心， 的长为半径画弧交数轴于点 ，则点 表示的数是（ ）
A. B. C. D.
9. (3分)如图所示的网格是正方形网格，点 、 、 、 、 都是网格线交点，则 （ ）
A. B. C. D.
10. (3分)若 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分）
11. (3分)在代数式 中，使得式子成立时 的取值范围是 .
12. (3分)写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题 .
13. (3分)若菱形的两条对角线的长分别为 和 ，则此菱形的面积是 .
14. (3分)用 张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形.若正方形 的面积为
， ，则正方形 的面积为 .
15. (3分)如图，等边三角形 中， 于点 ，点 、 分别是 、 上的动点，沿 所在直线折叠
，使点 落在 上的点 处， ，当 是直角三角形时， 的值为 .
16. (3分)如图，在 中， ，点 为线段 上一动点，有下列四个结论：
①在 点运动过程中， 的面积始终是 面积的一半；
②在线段 上有且只有一点 ，使得 ；
③若点 恰好是 的角平分线与 的角平分线的交点，则点 是 的中点；
④若 ，则在 上有且只有一点 ，使得 是直角三角形.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (6分)计算：
；
.
18. (4分)已知：如图， 、 是平行四边形 对角线 上的两点，且 .求证： .
19. (4分)设 ， ，求 的值.
20. (6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为 ，点 ， ， ， 均在格点上.
判断 的形状，并说明理由；
求四边形 的面积.
21. (8分)如图，在平行四边形 中，点 是边 上一点，连接 .
(1)尺规作图：请作出 的角平分线，分别交 、 于点 、 ，交 的延长线于点
(2)若点 恰好是线段 的中点，求证： .
22. (10分)如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， 是 的中点 ∥
请你从以下条件① ；② ；③ 平分 ；④ 中，选择一个使得四边形
是菱形的条件______ ；
根据（1）中所选择的条件，求证：四边形 是菱形.
23. (10分)如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为 的大正方形纸片.
(1)小方形纸片的边长为______ ；
(2)在(1)的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值；
(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片 的长宽之比为 ，且面积为
？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.
24. (12分)阅读以下材料：如果两个正数 、 ，即 、 ，由完全平方式的非负数性质可得：
当 即 时，取等号），
当且仅当 时取等号）
结论：对任意两个正数 ， ，都有 ；上述不等式当且仅当 时等号成立.当这两个正数 ， 的
积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数 ， 的和的最小值.
例如：当 为正数时，两数 和 均为正数，且 常数），则有 当且仅当
即 时取等号
当 时， 有最小值，最小值为 .
利用以上结论完成下列问题：
(1)已知 为正数，即 ，则当 ______时， 取到最小值，最小值为______；
(2)当 、 均为正数，即 ， 时，求函数 的最小值；
(3)如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是 和 ，求四边形
面积的最小值.
25. (12分)在正方形 中， 是边 上的一个动点（不与点 ， 重合），连接
， 为点 关于直线 的对称点.
连接 ，作射线 交射线 于点 ，依题意补全图 .
①若 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明；
已知 ，连接 ，若 ∥ ， ， 是正方形 的对角线 上的两个动点，且 ，
连接 ， ，直接写出 的最小值.
2024-2025学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、【答案】C
【知识点】三角形中位线定理
2、【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
3、【答案】D
【知识点】最简二次根式
4、【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
5、【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
6、【答案】A
【知识点】坐标与图形性质,菱形的性质
7、【答案】D
【知识点】正方形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,菱形的性质
8、【答案】A
【知识点】平方根,实数与数轴,勾股定理
9、【答案】B
【知识点】勾股定理,勾股定理的逆定理
10、【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分）
11、【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
12、【答案】一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形
【知识点】原命题与逆命题
13、【答案】
【知识点】菱形的性质
14、【答案】
【知识点】全等三角形的性质,全等图形
15、【答案】 或
【知识点】等边三角形的性质,翻折变换（折叠问题）
16、【答案】①②③
【知识点】平行四边形的性质
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、【解答】解：（1）
；
.
【知识点】平方差公式,二次根式的混合运算
18、【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
∥
.
在 和 中，
，
≌
.
【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质
19、【解答】解： ， ，
，
，
.
【知识点】二次根式的化简求值
20、【解答】解： 为直角三角形，
理由：由题意得： ，
，
，
，
为直角三角形，
；
在 中， ， ，
；
在 中， ， ，
，
四边形 的面积为 .
【知识点】勾股定理,勾股定理的逆定理
21、【解答】(1)解：如图.
(2)证明： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
即 .
【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质
22、【解答】 解：使得四边形 是菱形的条件为①②③，
故答案为：①②③；
证明： ∥ ，
，
点 是 的中点，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
，
四边形 是平行四边形，
① 四边形 是平行四边形， ，
平行四边形 是菱形；
② 四边形 是平行四边形， ，
平行四边形 是菱形；
③ 四边形 是平行四边形，
∥ ，
，
平分 ，
，
，
，
平行四边形 是菱形.
【知识点】菱形的判定
23、【解答】解：(1) 小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为 .
故答案为： ；
(2)由题意 ， ，
；
(3)不能，理由如下：
长方形长宽之比为 ，
设长方形的长和宽分别为 ， ，
，
，
，
，
，
，
.
沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形.
【知识点】算术平方根,估算无理数的大小
24、【解答】解：(1)由题意， ，当且仅当 ，即 时取等号，
当 时， 有最小值，最小值为 .
故答案为： ； .
(2)由题意得， .
又 ，当且仅当 时，即 时取等号，
当 时， 有最小值，最小值为 .
此时 有最小值为 .
函数 有最小值为 .
(3)设 ，由 、 的面积分别是 和 ，
根据等高三角形可知： ： ： ，即 ，
整理得： ，
四边形 面积为 ，
当且仅当 ，即正数 时取等号，
则四边形 面积的最小值为 .
【知识点】轴对称-最短路线问题
25、【解答】解：（1）补全图形如下：
① 点 与点 关于直线 对称，
垂直平分 ， ，且 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
；
②过点作 于点 ，如图：则 ，
，
，
，
由①可知， ， ，
，
，
，
在 中，
，
，
即 ；
由对称性得 ， ， ，
∥ ，
，
，
，
，
，
则 ，
为 的中点，
，
，
过点 作 ∥ ，且 ，
则四边形 为平行四边形，
， ，
的最小值就等于 ，
当点 ， ， 三点共线时， 取最小值，
，
，
过点 作 交 于点 ，作 交 延长线于点 ，
则四边形 为矩形，
， ，
， ∥ ，
，
，
， ，
，
则 的最小值为 .
【知识点】平方根,四边形综合题

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