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山东省济南市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试培优卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．若，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，的度数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2xA． B． C． D．
8．如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（ ）
A． B． C． D．无法比较与的大小
9．如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．如图，点A，B，C在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：
①；②；③；④平分
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知点在第二象限，则的取值范围是___________．
12．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______．
13．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为_____．
14．如图，点是三边垂直平分线的交点，若，则________．
15．如图，，平分，于，，已知，则______．
16．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组：
18．（1）如图，已知线段绕点O旋转后的对应线段是，你能确定旋转中心点O的位置吗？
（2）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
①作出关于坐标原点成中心对称的；
②作出以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到的；
③点的坐标为________．
19．已知：如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．求证：．
20．已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且．
(1)求证：是等边三角形．
(2)延长交的延长线于点，求证：．
21．有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元．
(1)求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？
(2)采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元、请问A型号呼吸机最多购买几台？
22．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
23．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
24．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围．
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围．
25．平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点．
(1)求点A，B两点的坐标；
(2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：；
(3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标______．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D D A A B B D
二、填空题
11．
12．12
13．x＜1．
14．
15．2
16．9
三、解答题
17．【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②，有，
；
不等式组的解集是．
18．【详解】（1）解：点O即为所求作的点；
（2）①如图，即为所求作的三角形；
②如图，三角形即为所求作的三角形，
；
③解：由②可得，．
19．【详解】证明：∵为的垂直平分线，
∴，
又，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【详解】（1）证明：∵为的中点，，
∴，
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴是等边三角形
（2）证明：连接
∵是等边三角形，为的中点
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
由（）知
∴
∴，即
∴
21．【详解】（1）解：设种型号呼吸机每台万元，种型号呼吸机每台万元，
依题意得：，
解得：．
答：种型号呼吸机每台1.6万元，种型号呼吸机每台1.2万元．
（2）解：设购进型呼吸机台，则购进型呼吸机台，
依题意得：，
解得：．
为整数，
最大为9．
型号呼吸机最多购买9台．
22．【详解】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
23．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
24．【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即；
解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得．
所以不等式组的解集为．
解方程①，得．
解方程②，得．
解方程③，得．
根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内，
故答案是②．
（2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以 3得．
解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1 得 ．
据“思梅方程”的定义，所以2a< ，解得．
综上，的取值范围是．
（3）解：解方程 ，得．
解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以．
因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合 ，可得．
综上，的取值范围是．
25．【详解】（1）解：由，可得，
，，
，，
解得，，
，；
（2）证明：如图3，作，交x轴于点N，则，
，，
，
点A、C关于y轴对称，
点，y轴是线段的垂直平分线，
，
，
，
；
，，且，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图4，
，
，
，
为等腰直角三角形，
当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形，
，
过点D作轴于点L，则，
，，
，
，，
，
，，
如图5，若，，
过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q，
则，
，
，
∵，
，
，
由可得，，
解得，，
，，
，
，
；
如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，点F的坐标为或或．
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