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甘肃省兰州市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试练习卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中，可以看作由基本图案经过平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知、为任意实数，，则下列变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个八边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．两内角的平分线的交点处
B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处
D．两边垂直平分线的交点处
6．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
7．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
8．如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
9．众所周知，玉露香梨的果肉如羊脂般白嫩，肉质纯净似雪，轻咬一口，香甜滋味瞬间在味蕾绽放，深受人们的喜爱．某超市购进玉露香梨的价格为80元/箱，出售时的标价为120元/箱，后来应广大客户的要求，商店决定让利打折出售，但要保证每箱的利润率不低于，则至多可以打几折？若设打x折销售，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米
A．36 B．42 C．45 D．48
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是______．
12．如图，直线与直线交于点P，则不等式的解集为__________．
13．如图，已知的面积为6，．现将沿直线向右平移a个单位到的位置．当所扫过的面积为18时，那么a的值为______．
14．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则_____．
15．如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且，则的长为__________．
16．如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，三个顶点分别为，，．
\
(1)请画出绕点B逆时针旋转后的；
(2)请画出关于原点对称的图形．
20．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
21．某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球．
(1)求篮球和足球的单价各是多少元？
(2)由于近期篮球价格上涨（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少为246元，求涨价后篮球的单价至少为多少元？
22．如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，， 求的度数．
23．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
型销售数量（台） 型销售数量（台） 总利润（元）
5 10 2000
10 5 2500
（1）一台型空气净化器和型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中型空气净化器的进货量不少于型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
24．（1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①求的度数；
②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值．
25．对a，b定义一种新运算“T”，规定：T(a，b)=(2a+b)(ax+by)(其中x，y均为非零实数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1，1)=3x+3y．
(1)已知T(-1，1)=0，T(2，0)=8，求x，y的值；
(2)已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x + y 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A(x，y)在坐标轴上，将点A向上平移2个单位得点A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，求点B的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D B B D D D
二、填空题
11．2＜x＜5．
12．
13．4
14．4
15．
16．18
三、解答题
17．【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
所以此不等式组的解集为，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
18．【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴．
即．
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示．
．
20．【详解】（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
21．【详解】（1）解：设篮球单价为x元，足球单价为y元．
解，得：
答：篮球单价为54元，足球单价为36元．
（2）解：设篮球涨价后价格为n元．
答：涨价后篮球价格至少为58元．
22．【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【详解】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元．
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100-m≥2m，
解得：m≤．
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，且m为整数，
∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100-m=67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
24．【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）①同理可证，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②，理由为：
过点作，于点，，
∵，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
，
，即，
，
，
，
又，
，
，
．
25．【详解】（1）∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）依题意得：，
解得，
∴x+y=a +(2a-3)=3a-3，
∵a≥-2，
∴3a≥-6，
∴3a-3≥-9，
∴x+y≥-9，
故答案为：x+y≥-9．
（3）由（2）得，
∴A(a，2a-3)，
∵将点A向上平移2个单位得点A′，
∴A′(a，2a-1)，
∵点A(a，2a-3)在坐标轴上，且a≥-2，
∴2a-3=0或a=0，
∴a=或a=0，
①当a=时，A′(，2)，
若点B在y轴上，则，
∴OB=12，
∴B(0，12)或(0，-12)，
若点B在x轴上
，
∴OB=9，
∴B(9，0)或(-9，0)，
②当a=0时，A′(0，-1)，
∴点B在x轴上，
∴OB=18，
∴B(18，0)或(-18，0)，
综上所述，点B的坐标为(0，12)或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0)．
故答案为：(0，12）或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0)
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