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广东省深圳市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟培优卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．AC＝1，BC＝，AB＝2 B．AC：BC：AB＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，你觉得它可能是（　　）
A．三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
5．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）．
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
6．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法，正确的是（ ）
A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形
B．角的平分线上的点到角的两边距离相等
C．“若，则”此命题是真命题
D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于
9．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，D为的中点，，则______．
12．如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______．
13．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____．
14．直角三角形的一个内角是，它所对的边长是3，则直角三角形的斜边长是_______．
15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则的长为_______．
16．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组，并求出其所有整数解的和．
18．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
19．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的．
(1)请在图中找出旋转中心O；
(2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出；
(3)连接，求的长度．
20．如图，在中，，，平分．
(1)若，，则_________；
(2)计算：若，求的度数；
(3)猜想：、、的关系_________．
21．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，G为中点，求的长．
22．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元．
(1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用．
23．【问题与探究】已知和都是等腰直角三角形，．
【问题初探】（1）如图1：连接，，则线段与数量关系是__________；请证明这个结论．
【问题再探】（2）若将绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在边上时，如图2所示，求证：；
【灵活运用】（3）若（2）的条件不变，当，时，求线段的长．
24．在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．

(1)如图，当 时，求点坐标；
(2)证明：；
(3)如图，若，，，判断的形状并说明理由．
25．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C D C B A C
二、填空题
11．
12．
13．
14．6
15．
16．56
三、解答题
17．【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式组的所有整数解为：、、，
．
18．【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．
又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．
∴∠CAD=53°—37°=16°．
19．【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得．
20．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：猜想：．
∵，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
21．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：图：过点E作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为8．
22．【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价是x万元，B型汽车每辆的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型汽车每辆的进价是20万元，B型汽车每辆的进价是30万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为2，3，4，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车8辆，所需费用为（万元）；
方案2：购进A型汽车3辆，B型汽车7辆，所需费用为（万元）；
方案3：购进A型汽车4辆，B型汽车6辆，所需费用为（万元），
∵，
∴当购进A型汽车4辆，B型汽车6辆时，成本最低，最低成本为260万元．
23．【详解】（1），
证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴（舍负）．
24．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，

∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：为等边三角形，理由如下，
过作，交轴于点，则，

∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形．
25．【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
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