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“泉港一中、厦外石分、泉州一中”三校联考
2024-2025 学年下学期第一次月考
高二数学（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C D A B B D BCD BD ABC
12． 13．18 14． ， （第一空 2分，第二空 3分）
15．解：（1）由 ，得 ， 1分
因为在 处的切线方程为 ，所以 ， ，
所以 ，
因为函数 的图像过 ，
所以 ，所以解得 ， 5分
所以 ， 6分
（2）令 ，
则 ，
令 ，即 ，得 或 ， 8分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
因为 ， ， 11分
所以 的最小值为
要不等式 在区间 上恒成立，只要 在区间 上恒成立，
所以只要 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 13分
16．（1）∵ ∴ ，
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∴ ，
∴ 是公比为 2的等比数列； 3分
∵ ，故 的首项为 ，
∴ ，则 ， 5分
当 时， ，
则 ， 7分
也满足此式，
∴ ； 8分
（2）由（1）可得 ， 9分
则 ，
故 ，
两式相减得： ， 12分
故 . 15分
17．（1）因为材料利用率为 ，所以 ， 3分
即 ； 5分
因为长方形铁皮 长为 ，宽为 ，故 ，
综上， . 7分
（2）铁皮盒体积 ，其中 ， 9分
，令 ，得 ，列表如下：
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极大值
所以，函数 在 上为增函数，在 上为减函数， 13分
则当 时， 取最大值，且最大值为 . 15分
18．（1）当 时， ，
令 ，令 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 . 4分
（2） ， 5分
令 解得 或 ，
①当 时， ，则 在 单调递减，在 单调递增；
②当 时， ， 和 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
③当 时， 恒成立， 在 R上是增函数；
④当 时 ， 和 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减； 12分
综上，①当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
②当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时， 在 R上是增函数；
④当 时， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减； 13分
（3）当 时，即 ，也就是 ，
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由（2）可知， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 15分
化简可得 ，
故 恒成立. 17分
19．（1）函数 的定义域为 ，且 ， 1分
若函数 在 上为减函数，则 对任意的 恒成立，
即 ， 2分
即 ，可得 ，
因为 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 ，
因此，实数 的取值范围是 . 5分
（2）由 可得 ①，
由题意可知， 、 是方程①的两个不同的正根，
所以， ， 6分
解得 ，
所以，
， 8分
设函数 ， ，由对勾函数的单调性可知， 在 上单调递减，
∴ ，
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∴ . 10分
（3）由题意可知，当 时， ，
令 ，则 ， ，
因为 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 上， ，即函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，
所以， ， ，
以此类推可知，当 且 时， ，即当 时， ， 13分
由已知 ，
令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，
由于当 时， ，所以， 。 15分
又因为 ，∴ ，从而可得 ，
所以， ，即 ，故 . 17分
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2024-2025 学年下学期第一次月考试卷
高二数学
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的。
1．如图，从上端口往一高为 H的水缸匀速注入水，水注满所用时间
为 T.若当水深为 h时，水注入所用时间为 t，则函数 的图像
大致是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 在 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．已知 为等比数列， ，则 （ ）
A．1或 8 B． 或 8 C．1或 D． 或
4．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半
径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供 5种颜色给如图所
示的勒洛三角形中的 4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且
相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120 B．240 C．300 D．320
5．已知函数 在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
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6．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知函数 对任意实数 均有 ，若不等式
(其中 )的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，
它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3443，94249等，显然两位回
文数有 9个：11，22，33，…，99；三位回文数有 90个：101，111，121，…，191，202，…，
999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有 45个 B．四位回文数有 90个
C． （ ）位回文数有 个 D． （ ）位回文数有 个
11．已知数列 满足 ， ， ，其前 项和为 ，则下列选项
中正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列 B．满足 的 的最大值是
C． 除以 4的余数只能为 0或 1 D．
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知函数 ，则 ．
13．小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点
. 则 3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有 种.
14．对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐
点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐
点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，若函数 ，则它的对
称中心为 ；并计算 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步
骤。
15．（满分 13分）
已知函数 的图象过 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
16．（满分 15分）
设数列 的前 项和为 ，已知 ．
(1)证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
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17．（满分 15分）现有一张长为 ，宽为 的长方形铁皮 ，准备用它做成一只无
盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为 （剪切与焊接不可避免，不考虑剪切与
焊接处的损耗与增加）.如图，在长方形 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒
的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为
的正方形，高为 ，体积为 .
(1)写出 关于 的函数关系式，并写出 的范围；
(2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的 为多少？并求出 的最大值.
18．（满分 17分）已知函数
(1)当 时，求证 恒成立：
(2)讨论 的单调性：
(3)当 时，求证： 恒成立．
19．（满分 17分）已知 ．
(1)若函数 在定义域上是减函数，求 的取值范围；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 、 ，求证： ；
(3)当 时，正项数列 满足 ， ，求证：当 时，
．
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