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福建省仙游第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（ ）
A．点关于点的对称点为
B．点关于轴的对称点为
C．点关于轴的对称点为
D．点关于平面的对称点为
3．如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
5．下列关于空间向量的命题中正确的是（ ）
A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角
B．已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为
C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知，，则在上的投影向量坐标为
6．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
7．已知，若函数恰有1个零点，则（ ）
A．e B． C．1 D．3
8．若对任意，且，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若向量，，则，，三点共线
B．若非零向量和不共线，若和共线，则
C．与向量垂直的单位向量可以是
D．平面上三点的坐标分别为，，，若点与，，三点能构成平行四边形四个顶点．则的坐标可以是
10．已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．是平面ABC的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
11．已知函数，则（ ）
A．是函数的极小值点
B．对，方程恒有两个不同的实数解
C．
D．存在，使得直线与曲线相切
三、填空题
12．在平行六面体中，，则__________.
13．函数的单调递减区间为__________.
14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________．
四、解答题
15．如图，在正方体中，、分别是、的中点．
(1)求异面直线与所成的角；
(2)证明：平面．
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．

(1)证明：平面平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
(3)若，求点到平面的距离．
17．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
18．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
19．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；
(3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．D
5．D
6．B
7．B
8．A
9．ACD
10．BC
11．AB
12．
13．
14．
15．（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，，则，
所以，所以异面直线与所成的角为．
（2）由（1）知，，
因为，所以，所以，
且，平面，
所以平面．
16．（1）因为侧面是正三角形，是的中点．所以⊥，
而底面是边长为4的正方形，故⊥，
又侧面底面，交线为，平面，
故⊥平面，又平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
又平面，故平面⊥平面；
（2）取的中点，连接，则⊥，
因为侧面是正三角形，所以⊥，
因为侧面底面，交线为，平面，
所以⊥底面，又平面，所以⊥，
所以两两垂直，以为坐标原点，
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
则，

从图中可以看出，二面角大小为锐角，
故二面角的余弦值为；
（3）若，则，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
故点到平面的距离为.
17．（1）由题意可知，函数，的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；，；
综上，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
所以，
要证，需证．
即需证恒成立，
令，
则
所以函数在区间单调递增，
故，
所以，恒成立，
所以当时，．
18．（1）证明：取中点记为，连接EF，CF，
则，且；
，且；
所以平行且等于CD，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）记中点为，连接，，
则四边形为正方形，
且根据勾股定理得，
所以，
则，所以.
又因为，，平面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，
所以，且，平面，
所以平面.
（3）由（2）知，平面，且.
以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和
则
令，得.
令，得.
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
19．（1）当时，，
，且，
故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0，
（2），
，
由＝0可得，令，x>0，
则
令，在上单调递减，且，
则当时，，则，即在上单调递增，
时，，，即在上单调递减，
且又时，，时，，
由题得，有且只有一个变号根，故
（3）由 ，可得，
令，则，由得，由，得.
故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，
因，对于，有，，故，，
则由，又，故，
令，则，
因，则，故在上单调递增，
又，
则在上存在唯一解，∴
又，，
则有，故可得．

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