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湘教版2025-2026学年七年级数学下学期期中考试学科素养达标卷（范围第一章到第三章）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③的平方根是；④是36的一个平方根；⑤的相反数是，其中正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知a>b， 下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a＋3>b＋3 B．a 4>b 4 C．5a>5b D． 6a> 6b
6．若，则的值为（ ）
A． B．5 C．15 D．25
7．已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
9．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7 B．8 C．5.6 D．10
10．关于x的不等式组有三个整数解，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．、，则的值为___________．
12．比较大小： __________填“”“”或“”
13．一个整数的平方根是2a－3与1－a，则这个数的立方根是__________
14．不等式的正整数解是_______．
15．若，且是两个连续的整数，则的值为_________________．
16．已知整数，，满足不等式，则______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
19．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，
20．已知有理数满足，．求下列各式的值．
(1)；
(2)．
21．已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值．
(2)求的平方根．
22．总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
23．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是________．
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】________；【方法2】_________；；
(3)若，且，，求的值．
24．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”．
(1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）
①；②；③．
(2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围．
25．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式．
例如方案一：
大正方形面积可看成，也可看成，故
(1)根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故；
(2)若边长，之间的关系为，，求的值；
(3)两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B D A A A B A
二、填空题
11．
12．
13．1
14．
15．56
16．2
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：，
解①得x＞﹣；
解②得x＜4，
把不等式的解集表示在数轴上：
，
所以不等式组的解集为﹣＜x＜4．
19．【详解】（1）解：
，
将代入，得原式；
（2）解：
，
将，代入，得原式．
20．【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴得，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴
∴
∴．
21．【详解】（1）解：，即，
∴的整数部分为3，
的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
，
，
，
，
的平方根为：．
22．【详解】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
23．【详解】（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是；
故答案为：；
（2）解：方法1：利用正方形面积面积公式可得；
方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得；
故答案为：，；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
24．【详解】（1）解：，
解得：；
，
解得：，
，不符合题意；
，
该不等式无解，不符合题意；
，
解得：；
，
方程是的“浯溪水亦香方程”；
故答案为：
（2）解：解不等式组
得：．
解方程
得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（3）解：解方程，
得，
解方程
得，
∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”， ，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
25．【详解】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①，
又可以看成②，
故答案为：，，．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，即，
（负值已舍去）．
（3）解：根据题意设，
则，，
故，，
则
．
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