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第十八章勾股定理及其逆定理培优卷沪科版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3 B． C．7，24，25 D．
2．在中，，，的对边分别为，，，下列不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直角三角形的两条边长分别是和，则它的第三边长为（ ）
A． B． C． D．或
4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是（ ）
A．9 B．10 C．47 D．14
7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．直角三角形两直角边长为6和8，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为_____．
10．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺．
11．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________．
12．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，，平分交于点．
(1)尺规作图：过点作，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
14．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，．
(1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由：
(2)若，．求的长．
15．某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
(1)若过点作于点，则___________；
(2)求的距离；
(3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
16．如图，在等腰直角三角形中，，点在线段上，点在的延长线上，连接、，并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)如图，过点作，交于点，求证：；
(3)若为的中点，且，求的长．
17．如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
18．如图，在四边形中，，且．
(1)求四边形的面积（结果保留根号）．
(2)将沿翻折至，如图所示，连接，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．D
5．C
6．C
7．C
8．A
二、填空题
9．2
10．
11．2
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图，DE即为所求．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．【详解】（1）解：，
理由如下，，
，
，
又，，
在和中，，
，
，，
，
，
中，，
；
（2）解：中，，
，
，
，
．
15．【详解】（1）解：如图，在中，，
设，则，，
∴；
（2）解：在中，，
设海里，则海里，海里，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∵海里，
∴，
解得，
∴海里，
∴的距离为80海里；
（3）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险，
理由如下：∵，
∵，
∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险．
16．【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
17．【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
，
，
在中，，，
，
，
，
平分．
（2）解：平分，，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
设，则，
由勾股定理：，
解得，
．
18．【详解】（1）解： ，
．
又，
．
为直角三角形，．
，
；
（2）解： 过点D作，垂足为，
，
根据折叠可知，
．
．
设，在中，．
，
．
．
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