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第十八章勾股定理及其逆定理拔尖卷沪科版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．分别以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．4
3．如图，在中，，，，交于点，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C． D．
6．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
8．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一个等边三角形的边长是2，面积是__________．
10．青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元．
11．甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了公里，乙往北偏西方向走了公里，这时甲、乙两人相距_____公里．
12．如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题：
（1）满足的数量关系是 ________ ；
（2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，
(1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求线段的长．
14．如图，四边形，、、，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
15．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状
16．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得．
(1)求点之间的距离；
(2)求四边形的面积．
17．在中，，点为射线上一动点（不与点，重合），作，并交射线于点，连接．
(1)【操作发现】如图（1），当时，过点作，交于点．
①请补全图形；
②的数量关系为___________；
(2)【类比探究】如图（2），当，且点在线段上时，探究：线段，之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】当，过点作于点，若，请直接写出的长．
18．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t．
(1)求的长；
(2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？
(3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．C
4．A
5．C
6．B
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．7200
11．
12． 7
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：连接，
依题得，
中，，，，
，
设，则，
中，，
，
解得，
即．
14．【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
15．【详解】解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
16．【详解】（1）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，的距离为．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为：．
17．【详解】（1）解：①补全图形如下：
②，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
；
（2），理由如下：
如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（3）第一种情况：点在线段上时,由（2）可知，
，，
，
；
第二种情况：点在线段的延长线上时,
如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
18．【详解】（1）解：中，，，，
，
，
，
解得，；
（2）解：，
当时，
在中，，
如图1，，为边上的高，
，
则，
当时，，
当时，
如图2，作于，
则，，
由勾股定理得，，
则，
故当、9、时，为等腰三角形；
（3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图：
可知
∵
∴
∴
的最小值为
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