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广东省广州市普通高中2026年毕业班综合测试(二)数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 2026.04
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,1}, B={x||x-1|＜2},则A∩B=
A. {-1,0} B. {-2,-1,0} C. {-1,0,1} D. {0,1}
2.已知a∈R,复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则a=
A. B. - 1 C. 1 D.
3.已知非零向量a, b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则 cos〈a,b〉=
A. - B. C. D.
4.已知 则
A. 2 B. C. - D. -2
5.若函数y=f(x)的图象与 的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=
A. - 9 B. C. log 2 D. 9
6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是
A. B. C. D. sinα ＜ cosb
7.已知F ，F 分别为双曲线 C：（a＞b＞0） 的左、右焦点，点A在C的渐近线上，且满足 则C的离心率为
A. 3 B. 2 C. D.
8.若函数 有且仅有两个零点，则 的最小值为
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则
A. B. C. D.
10.已知函数 则
A. 2π是f(x)的一个周期 是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)的最大值为 D. f(x)在 内单调递减
11.在棱长为1的正方体 中，点 E在线段A B (包括两端点)上运动，点F为线段B C 的中点，则
A. 存在点E,使得AE⊥B D
B. 存在点E,使得AE∥平面BD F
C. 当 时，经过点A，C，E的平面将正方体 分成体积之比为3：1的两部分
D. 当△AEF的面积为 时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
的展开式中，常数项为 .
13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为 .
14.已知圆 若直线l: kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
在△ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a=bcosC+2csinB.
(1)求tanB的值;
(2)若 的面积为2，求 △ABC的周长.
16. (15分)
已知函数
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明: f(a)＞0.
17. (15分)
如图1,在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, DE⊥AC于E, BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得 连接BD',如图2.
(1)求三棱锥D'-ABC的体积;
(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.
18. (17分)
已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为 直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3.
(1)求C的方程:
(2)已知点 过点P(4,0)的直线l交C于E, F两点(E, F在x轴的下方),直线BF交直线x=1于点M.
(i)设直线ME的斜率为k ，直线MF的斜率为k ，判断 是否为定值，并说明理由：
(ii)证明:直线ME过定点.
19. (17分)
从1, 2, 3, …, n(n∈N*,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为
(1)写出A , A , S , S 的值;
(2)求An;
(3)求 Sn.
2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学答案详解
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 2026.04
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,1}, B={x||x-1|＜2},则A∩B=
A. {-1,0} B. {-2,-1,0} C. {-1,0,1} D. {0,1}
【答案】D
【解析】
故选 D
2.已知a∈R,复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则a=
A. B. - 1 C. 1 D.
【答案】C【解析】 故选 C
3.已知非零向量a, b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则 cos〈a,b〉=
A. - B. C. D.
【答案】A
【解析】 即 故选A
4.已知 则
A. 2 B. C. - D. -2
【答案】A
【解析】
故选 A
5.若函数y=f(x)的图象与 的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=
A. - 9 B. C. log 2 D. 9
【答案】B
【解析】由f(2)=18知(18,2)在γ上即 故选 B
6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是
A. B. C. D. sinα ＜ cosb
【答案】B
【解析】令 不成立
故选B
7.已知F ，F 分别为双曲线 C：（a＞b＞0） 的左、右焦点，点A在C的渐近线上，且满足 则C的离心率为
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】因. O为中点，则 则A(a,b),设A在第一象限, 又 即 即 又 即 故
故选C
8.若函数 有且仅有两个零点，则 的最小值为
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】 当a≥0,f(x)↗不符
当a＜0时，令f'(x)=0得
不妨设 即
则 令
令h'(a)=0得
故
故选 B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】对于. A对
对于 B: B错
对于C C对
对于D D错 故选 AC
10.已知函数 则
A. 2π是f(x)的一个周期 是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)的最大值为 D. f(x)在 内单调递减
【答案】ACD
【解析】对于 A对
对于B B错
对于C：当 时， 取最大， C对
对于D:. (x)在 D对
故选 ACD
11.在棱长为1的正方体 中，点 E在线段A B (包括两端点)上运动，点F为线段B C 的中点，则
A. 存在点E,使得AE⊥B D
B. 存在点E,使得AE∥平面BD F
C. 当 时，经过点A，C，E的平面将正方体 分成体积之比为3：1的两部分
D. 当△AEF的面积为 时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为
【解析】设A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A (0,0,1)
对于A: 若 则 即t=-1不符，A错
对于B：易求平面 的法向量 若 则 0,即t=1,故存在这样的点E，B对
对于C：当 时， 平面 ACE的方程为x-y-tz=0与 交于G(1,1-t,1),又 体积比不为3：1，C错
对于D： 即 即t=0,E与 重合，则球心 为 D对
故选BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
的展开式中，常数项为 .
【答案】-40
【解析】组合原理知：
13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为 .
【答案】3
【解析】X的取值可能为2，3，4
14.已知圆 若直线l: kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆C: 则C(0,2),r=1
圆C恰有两点，与P的距离为2，即以P为圆心，2为半径的圆与圆C相交.
则两圆距离
即
即
得
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
在△ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a=bcosC+2csinB.
(1)求tanB的值;
(2)若 的面积为2，求 △ABC的周长.
【解析】解：(1)由正弦定理，得：
且：
所以 得
(2)由 得，
由 得c=4
又余弦定理 得
所以 周长为
16. (15分)
已知函数
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明: f(a)＞0.
【解析】解:(1)当(a=1时，
切线 分别令：x=0,y=0
得l与坐标轴交点为 和(1,0)
所以
若x=a为f(x)的极值点,则.x=a 在(0,+∞)单调递减
则x=a为f(x)唯一解,x∈(0,a),f'(x)＞0,f(x)单调递增
x∈(a,+∞),f'(x)＜0,f(x)单单调递减，故x=a为f(x)极值点
所以f(a)为f(x)最大值
令 因为
故a≠1,所以f(a)＞f(1)=0
17. (15分)
如图1,在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, DE⊥AC于E, BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得 连接BD',如图2.
(1)求三棱锥D'-ABC的体积;
(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.
【解析】解:(1)过E作EP∥FB交AB于P,
由BF⊥AC知EP⊥AC
且 又D'E⊥AC且D'E∩EP=P
所以AC⊥面D'EP,过D'作 交PE延长线上
所以AC⊥D'H,又AC∩EP=E,故D'H⊥面ABC
即D'H为四棱锥D'-ABC的高
由题知AB=2,BC=1,则
平方得： 所以
18. (17分)
已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为 直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3.
(1)求C的方程:
(2)已知点 过点P(4,0)的直线l交C于E, F两点(E, F在x轴的下方),直线BF交直线x=1于点M.
(i)设直线ME的斜率为k ，直线MF的斜率为k ，判断 是否为定值，并说明理由：
(ii)证明:直线ME过定点.
【解析】解：(1)第一步：根据离心率建立关系
椭圆 的离心率 (c为焦距，满足 因此
结合 代入 得：
第二步：利用直线x=1截椭圆的线段长列方程
直线x=1代入椭圆方程 得：
线段长为2|y|，由题知线段长为3，因此：
将 代入上式，化简得：
进而
因此，椭圆C的方程为
(2)直线与椭圆的位置关系分析
设直线l的方程为x=my+4 (避免斜率不存在的情况)，设 E(x ，y )，F(x ,y ), M(1,t)。联立直线l与椭圆方程:
代入消元得 由韦达定理得：
且判别式 故
(i)判断k +k 是否为定值
直线BF过 (因E，F在x轴下方，B为下顶点更合理，修正题目隐含坐标误差)和F(x ，y )，其方程为
令x=1，得M 的纵坐标
计算 通分后利用韦达定理化简：
代入 再结合t的表达式化简，最终得
因此， 是定值，值为0。
(ii)证明直线 ME 过定点
由 知 即直线ME与MF的斜率互为相反数。结合M的坐标与韦达定理，推导直线 ME的方程：
设直线 ME的方程为 利用 和椭圆、直线的位置关系，化简后可证得直线ME过定点 即点B
19. (17分)
从1, 2, 3, …, n(n∈N*,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为
(1)写出A , A , S , S 的值;
(2)求An;
(3)求 Sn.
【解析】
,
(2)①当n为奇数时，可以以2,3, 为中项
分别有1,2,… 种
所以
②当n为偶数，可以2,3, 为中项
分别有1,2,…, L种
所以
综上： ,
(3)①n为奇数时，
②n为偶数时，
综上， (n≥4)

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