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广东省2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(二)数学试题
本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知i为虚数单位，复数z满足 zi=1+i，则z=
A. - 1-i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i
2.设全集U=Z,集合M={x|x=4k+1, k∈Z}, N={x|x=4k+3, k∈Z},则
A. {x|x=2k+1, k∈Z} B. {x|x=2k, k∈Z}
C. {x|x=4k+2, k∈Z} D. {x|x=4k, k∈Z}
3.双曲线 与双曲线 的
A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等
4. 直线l: y=k(x-1)与圆 相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若函数 是偶函数，则
A. 0 B. C. D. - 1
6.已知 Sn是等比数列{an}的前n项和，且 则
A. 30 B. 32 C. 62 D. 64
7. 已知一个盛有水的玻璃容器，该容器由圆柱和半球组合而成，圆柱底面半径与球的半径相等，且圆柱部分的体积是半球部分的体积的3倍.如图放置容器时，水面恰好经过圆柱的上底面，若将容器竖直倒置，则水的高度与容器高度的比值为
A. B.
C. D.
8. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为a, b, c,则满足|a-b|+|b-c|+|c-a|=4的有序数对(a, b, c)的个数为
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若存在m＜n，使得函数 在(-∞, m)和(n, +∞)上单调递减,则下列说法正确的是
A. a＞0 B. a＜0
C. f(x)在(- 1, 1)上单调递增 D. f(x)在(- 1, 1)上单调递减
10. 在正四棱柱ABCD -A B C D 中, 1A,=21B,点E, F分别为棱BB , A D 上的点(含端点)，则
A. 当E为BB 的中点时,存在点 F,使得 C F∥平面ACE
B. 当F为A D 的中点时,存在点E,使得平面C DF∥平面ACE
C. 对任意给定的点 E，存在点 F，使得D E⊥C F
D. 对任意给定的点 F，存在点 E，使得EF⊥CE
11. 已知椭圆 F为C的右焦点,点A,B在C上,且关于y轴对称,P,Q分别为线段AF，AB的中点，O为坐标原点，则
A. B. |PA|的最小值为
C. |PQ|+|PF|=2 D. 存在点A,使得∠QPF=90°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 设△ABC 的内角A, B, C所对边的长分别为a, b, C. 若b+c=2a, 2sinA=3sinB,则
cos C= .
13. 已知函数f(x)的定义域为R,且f ′(x)-f(x)＞0,若f(0)=1,则不等式f(x)-e ＞0的解集为 .(结果用区间表示)
14. 正 2026 边形 内接于单位圆 O，任取它的两个不同的顶点 的概率为 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分.第 15题 13分,第 16、17题15分,第 18、19题 17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. (本小题满分13分)
树人中学积极践行“健康第-”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲、乙、丙三人通过第一轮的概率分别为 在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为 假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求从甲、乙、丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中通过第二轮的人数为X，求X的分布列及期望.
16. (本小题满分15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，
(1)证明: AB=BC;
(2)若二面角P-AC-B的大小为 且 求平面 PAC与平面PBC 夹角的余弦值.
17. (本小题满分15分)
设数列{an}满足 且
(1)证明数列 是等差数列，并求其通项公式；
(2)若 ，求正整数m的值.
18. (本小题满分17分)
已知函数 其中a∈R, x∈(- ∞, 1], n∈N且n≥2.
(1)当n=2, a=1时,求函数f(x)图象在x=0处的切线方程;
(2)若对于给定的自然数n，函数f(x)有意义，求a的取值范围；
(3)对任意的a＞0,若f(x)≤a,求n的最大值.
19. (本小题满分17分)
已知抛物线M: 的焦点为 F，准线为l，直线 交准线l和抛物线M于P, Q 两点,且|FP|=|FQ|.
(1)求p的值;
(2)如图，若抛物线N: 上有三个点A，B，C，且直线AB，AC均与抛物线M相切.
(i)证明：直线 BC 与抛物线 M 相切.
(ii)探究点 F 与△ABC 外接圆的位置关系，并说明理由.
数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D C D A
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BC ACD BCD
三、填空题
13. (0, +∞) 14.
四、解答题
15.【详解】(1)记随机选择甲、乙、丙的事件分别为A ，A ，A 、进入第二轮的事件记为M，
1分
则 2分
由题意得 ……………………………………………… 3分
所以
P(A )P(M|A ) 4分
5分
6分
(2)记甲、乙、丙通过第 轮的事件分别为A，B，C，
则
7分
由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3， 8分
则
所以X的分布列为
x 0 1 2 3
P 2/5
所以X的数学期望为 13 分
16.【详解】(1)如图1, 取AC的中点O, 连接PO和BO, 1分
因为PA=PC,
所以PO⊥AC, 2分
又因为PB⊥AC,PO∩PB=P, 且PO,PB 平面POB,
所以AC⊥平面POB, 4分
因为BO 平面POB,
所以AC⊥BO, 5分
所以点 B 在AC的中垂线上，
所以AB=BC. 6分
(2)由(1)知, BO⊥AC, PO⊥AC, 平面PAC∩平面ABC=AC,
所以二面角P-AC-B的平面角为∠POB，即 7分
在平面POB内,过点O作OQ⊥OB,易知OB, OC,OQ.两两相互垂直,
如图2, 以OB, OC, OQ 分别为x,y,x轴建立空间直角坐标系, 8分
因为PA= , AB= , AC=2, 所以PO=2, BO=1, 则A(0, - 1,0),B(1,0,0),C(0, 1, 0),
因为 则P(-1,0, ), 9分
所以
设平面PAC 的法向量为
则 即 解得 取 得
11分
设平面 PBC 的法向量为
则 即 解得 取
得 13 分
所以
14分
所以平面PAC 与平面PBC夹角的余弦值为 15分
17. 【详解】(1)因为
所以 2 分
所以 4分
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列. 6分
所以 7 分
(2)由 9分
解得 10 分
因为 所以 11分
所以 12分
所以
13分
所以 即3m+1=100, 14分
解得m=33. 15分
18. 【详解】(1)当n=2, a=1时,函数 1分
求导得 2分
所以 3分
因为f(0)=0,所以切点为原点, 4分
所以函数f(x)图象过原点的切线方程为 5分
(2)由题意得，对于给定的自然数n， 在x∈(-∞, 1]上恒成立, 6分
因为
所以 恒成立， 7分
下求 在x∈(-∞, 1]上的最大值,
因为n≥2,
所以 在x∈(-∞, 1]上单调递减,
所以g(x)在x∈(-∞, 1]上单调递增, 8分
所以
9分
所以 10分
(3)因为n≥2,
所以 在x∈(-∞, 1]上单调递增,
又因为a＞0,
所以 在x∈(-∞, 1]上单调递增,
所以 在(-∞, 1]上单调递增, 12分
所以 13分
由f(x)≤a恒成立,得 14分
所以 15分
令
求导得 恒成立，
所以g(a)在a∈(0, +∞)上单调递增, 16分
所以g(a)＞g(0)=3,
所以n≤3，即n的最大值为3. 17分
19.【详解】(1)如图3,由抛物线定义得|QP|=|FQ|,
又因为|FP|=|FQ|,
所以△PQF 为等边三角形，
所以 1分
记准线l与x轴的交点为 R，
因为P的纵坐标为 所以 2分
由抛物线的定义知|FR|=p， 3分
所以 4分
所以p=2. 5分
(2)(i)设
因为任意与x轴垂直的直线与抛物线N只有一个交点，所以易知直线 4B，AC，BC斜率存在(即
设直线AB 的方程为 即 6分
代入 得
因为抛物线M没有与y轴垂直的切线，所以 又因为若A 是坐标原点，则过A只能画一条M的切线，所以
由题意得 即 7分
同理，由直线AC与抛物线M 相切得
所以x ，x 是方程 的两个根， 8分
由韦达定理得 9分
同理，联立直线 BC与抛物线M 的方程，得 因为 所以
所以 所以直线BC与抛物线M 相切. …………………………………………………10分
(ii)①当 时，
由(i)中方程 和 易判断
由(1)知F(1, 0),
所以
由(i)同理可得
所以
……………………………………………………………………………12分
同理，
…………………………..14分
所以
所以 15分
②当 时, C(-1, 1),
计算得
此时
所以∠AFB=∠ACB=90°, 满足∠AFB+∠ACB=180°. 16分
综上所述, ∠AFB+∠ACB=180°, 即A, B, C, F四点共圆,
所以点 F 在△ABC 的外接圆上. 17分

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