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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
基础巩固
能力提升
第三章 函 数
第六节 二次函数解析式的确定(含图象变化)
基础巩固
1.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为
( )
A
A. B.
C. D.
2.已知二次函数的自变量与函数 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 1 0 …
则此函数的解析式为( )
B
A. B.
C. D.
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且
经过点 ，则该二次函数的解析式为( )
B
A. B.
C. D.
4.有3个二次函数，甲：；乙： ；丙：
，则下列叙述中不正确的是( )
B
A.甲的图象关于 轴对称后，可以与乙的图象重合
B.甲的图象向下平移2个单位后，可以与丙的图象重合
C.乙的图象关于直线 对称后，可以与丙的图象重合
D.乙的图象关于 轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合
【解析】由题意知，甲和乙的图象关于 轴对称，乙和丙的图象关于直线
对称，A，C选项正确；甲的图象向上平移2个单位长度后，可以与
丙的图象重合，B选项错误；乙的图象关于 轴对称后，再向上平移2个单
位长度，可以与丙的图象重合，D选项正确.
5. (2025广东省卷)已知二次函数
的图象经过点 ，但不经过原点，则该二次函数的解析式可以是
____________________________.(写出一个即可)
(答案不唯一)
【解析】 二次函数的图象经过点 ，但不经过点
，，， ，
，，可以取1，当 时，该二次函
数解析式为 .(答案不唯一)
新考法
结论开放
6.(2025上海改编)抛物线 先向下平移2个单位长度，再向左平移5个
单位长度所得的抛物线解析式为___________________.
7.在平面直角坐标系中，把二次函数 的图象先向右平移3
个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为
，则 的值为____.
【解析】， 所得抛物线的顶点坐标是
， 移动前的抛物线的顶点坐标是，即 ，根据
顶点式抛物线解析式可得移动前的抛物线的解析式为
，，， .
8.(九下习题改编)如图，二次函数的图象与 轴负半轴、
轴负半轴分别交于，两点.已知，求此抛物线关于 轴对称
的抛物线顶点坐标和解析式.
解：二次函数与轴负半轴交于点 ，
， .
二次函数与轴负半轴交于点，且， ，
，
将点的坐标代入中，得 ，
原抛物线的解析式为 ，
此抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标为 ，
所求解析式为 .
能力提升
9.(2024浙江节选)已知二次函数，为常数 的图象经过
点，对称轴是直线 .
(1)求此二次函数的解析式；
解： 二次函数图象的对称轴为直线 ，
，解得 ，
二次函数的图象经过点 ，
， ，
二次函数的解析式为 ；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后
恰好落在的图象上，求 的值.
解：点向上平移2个单位长度，再向左平移 个单位长度后
的点坐标为 ，
平移后的点在二次函数的图象上，
，
解得， (不符合题意，舍去)，
的值为4.
第三章 函 数
第七节 二次函数的图象与性质
基础巩固
1.(九上习题改编)下列抛物线开口向上的是( )
A
A. B.
C. D.
2.二次函数 的顶点坐标为( )
C
A. B. C. D.
3.(九上练习改编)已知二次函数 ，则该二次函数图象的对
称轴为( )
B
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
4.(2025威海)已知点，， 都在二次函数
的图象上，则，， 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
5.关于的二次函数 的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
6.(九上例题改编)二次函数为常数的顶点 的
纵坐标的最大值为( )
A
A. B. C. D.
7.若关于的函数与轴只有一个交点，则 的值为
( )
C
A.0 B.1 C.0或1 D.0或
8.(2024陕西)已知一个二次函数的自变量 与函数
的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 0 …
则下列关于该二次函数的结论正确的是( )
D
A.图象的开口向上 B.当时，随 的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线
9. (2025黄石模拟)我们定义一种新函数：
形如 的函数叫做
“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数
的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和 ；
②图象具有对称性，对称轴是直线 ；
③当或时，随 的增大而增大；
④当或 时，函数的最小值是0；
⑤当 时，函数的最大值是4.
其中正确结论的个数是( )
A
A.4 B.3 C.2 D.1
新定义
新考法
10.(2025福建)已知点，在抛物线 上，
若 ，则下列判断正确的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 抛物线的函数解析式为， 抛物线的开口向
上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数
值越大.当时，， 抛物线过点 ，
，，， 点
到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于点 到对称轴的
距离， .
11.已知抛物线经过点和 ，则这
个抛物线的对称轴为直线______.
12.(2024辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴相交于点，，点的坐
标为 ，若点在抛物线上，则 的长为___.
4
【解析】 当时，，点在抛物线上， 抛物线的对称
轴为直线 点到对称轴的距离为2， 点 的坐标为
， .
13.(九上想一想改编)抛物线在 上的最大值为1，
则 的值为___.
4
【解析】由题可知抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当
时，随的增大而减小；当时，随 的增大而增大，即当
时，随的增大而增大，时， 取得最大值1，
，解得(舍去)，， 的值为4.
14.(2025山东省卷节选)已知二次函数
，其中， 为两个不相等的实数.
(1)当， 时，求此函数图象的对称轴；
解：二次函数
.
当，时， ，
函数图象的对称轴为直线 ；
(2)当时，若该函数在时，随 的增大而减小；在
时，随的增大而增大，求 的取值范围.
解：当时， ，
函数图象的对称轴为直线 ，
当时，随的增大而减小，；当时，随
的增大而增大， ，
.
能力提升
15.点，在二次函数，为常数 的图
象上，若 ，则下列说法正确的是( )
B
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
【解析】二次函数的对称轴为直线 ，
， 抛物线开口向上， 当时，随 的增大而减小，当
时，随的增大而增大.当时，无法得知与 的大小关
系，故无法判断，的大小，该选项错误，不合题意；B.当
时，，，该选项正确，符合题意；C.当
时，，，该选项错误，不合题意；D.当 时，
无法得知与的大小关系，故无法判断， 的大小，该选项错误，不
合题意.
16.(2025北京)在平面直角坐标系中，抛物线
经过点和点 .
(1)求的值，并用含的式子表示 ；
解：将代入，得 ，
该抛物线的解析式为 ，
将代入 ，
得，解得 ；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点 .
①若，，求 的长；
解图①
解：若，则该抛物线及直线解析式分别为，，
当 时，点的坐标为 .
如解图①，
轴，
.
将代入，得，即 .
将代入，得，即 ，
；
解图①
②已知在点从点运动到点的过程中，的长随 的长的增
大而增大，求 的取值范围.
解：在点从点运动到点 的过程中，
轴， ，
.
将代入，得 ，即
.
将代入，得 ，
即 ，
，
令，即 ，
解得或 .
对于或 需分类讨论.
若，则，即点在 轴右侧，如解图②，
当时， ，其图象开口向下，对称轴为直线
，
的长随 的长的增大而增大，
解图②
的长随 的增大而增大，
，解得 ， ；
当时，，其图象开口向上，对称轴为直线 ，不
符合题意；
解图③
若，则，即点在 轴左侧，如解图③，
当时， ，其图象开口向上，对称轴
为直线 ，
的长随 的长的增大而增大，
的长随 的增大而增大，
，解得 ，
.
综上所述，的取值范围为且 .
解图③
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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
第六节 二次函数解析式的确定(含图象变化)
基础巩固
1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
2．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 1 0 …
则此函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
4．有3个二次函数，甲：；乙：；丙：，则下列叙述中不正确的是( )
A. 甲的图象关于轴对称后，可以与乙的图象重合
B. 甲的图象向下平移2个单位后，可以与丙的图象重合
C. 乙的图象关于直线对称后，可以与丙的图象重合
D. 乙的图象关于轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合
5．新考法 结论开放(2025广东省卷) 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的解析式可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .(写出一个即可)
6．(2025上海改编)抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度所得的抛物线解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．在平面直角坐标系中，把二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为，则的值为_ _ _ _ _ _ .
8．(九下习题改编)如图，二次函数的图象与轴负半轴、轴负半轴分别交于，两点.已知，求此抛物线关于轴对称的抛物线顶点坐标和解析式.
能力提升
9．(2024浙江节选)已知二次函数，为常数的图象经过点，对称轴是直线.
(1) 求此二次函数的解析式；
(2) 若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后恰好落在的图象上，求的值.
第六节 二次函数解析式的确定(含图象变化)
参考答案
1.A　【解析】设二次函数的解析式为y =ax2＋bx＋c，由题图可知，当x=0时，y=6，∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋6，∵抛物线过点(－1，0)，(3，0)，∴，解得，∴二次函数的解析式为y=－2x2＋4x＋6.
2.B　【解析】由表格得该二次函数图象的顶点坐标为(－2，1) ，则可设这个二次函数的解析式为y=a(x＋2)2＋1(a≠0)，将(0，－3 )代入，得a(0＋2)2＋1=－3，解得a=－1，∴此二次函数的解析式为y=－(x＋2)2＋1，即y=－x2－4x－3.
3.B　【解析】设该二次函数解析式为y=a(x＋1)2＋1，将(0，－3)代入，得a=－4，∴该二次函数的解析式为y=－4(x＋1)2＋1.
4.B　【解析】由题意知，甲和乙的图象关于x轴对称，乙和丙的图象关于直线y=1对称，A，C选项正确；甲的图象向上平移2个单位长度后，可以与丙的图象重合，B选项错误；乙的图象关于x轴对称后，再向上平移2个单位长度，可以与丙的图象重合，D选项正确.
5.y=－x2＋1(答案不唯一)　【解析】∵二次函数 y=－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过点(0，0)，∴，∴－c＋b＋1=0，∴b=c－1，∴y=－x2＋(c－1)x＋c，∵c≠0，∴c可以取1，当c=1时，该二次函数解析式为y=－x2＋1.(答案不唯一)
6.y=3x2＋30x＋73　【解析】抛物线y=3x2先向下平移2个单位长度，得抛物线y=3x2－2，再向左平移5个单位长度，得抛物线y=3(x＋5)2－2=3x2＋30x＋73.
7.－4　【解析】∵y=x2－2x＋3=(x－1)2＋2，∴所得抛物线的顶点坐标是(1，2)，∴移动前的抛物线的顶点坐标是(1－3，2＋2)，即(－2，4)，根据顶点式抛物线解析式可得移动前的抛物线的解析式为y=(x＋2)2＋4=x2＋4x＋8，∴b=4，c=8，∴b－c=4－8=－4.
8.解：∵二次函数y=ax2＋ax－4与y轴负半轴交于点B，
∴B(0，－4) ，OB=4.
∵二次函数与x轴负半轴交于A点，且OB=2OA，∴OA=2，
∴A(－2，0)，
将点A的坐标代入y=ax2＋ax－4中，得a=2，
∴原抛物线的解析式为y=2x2＋2x－4=2(x＋)2－，
∴此抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(，－)，
∴所求解析式为y=2(x－)2－.
9.解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线x=－，
∴－=－，解得b=1，
∵二次函数的图象经过点A(－2，5)，
∴(－2)2＋1×(－2)＋c=5，
∴c=3，
∴二次函数的解析式为y=x2＋x＋3；
(2)点B(1，7)向上平移2个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度后的点坐标为(1－m，9)，
∵平移后的点在二次函数的图象上，
∴ (1－m)2＋(1－m)＋3=9，
解得m1=4，m2=－1(不符合题意，舍去)，
∴m的值为4.
第七节 二次函数的图象与性质
基础巩固
1．(九上习题改编)下列抛物线开口向上的是( )
A. B.
C. D.
2．二次函数的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
3．(九上练习改编)已知二次函数，则该二次函数图象的对称轴为( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
4．(2025威海)已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5．关于的二次函数的图象可能是( )
A B C D
6．(九上例题改编)二次函数为常数的顶点的纵坐标的最大值为( )
A. B. C. D.
7．若关于的函数与轴只有一个交点，则的值为( )
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或
8．(2024陕西)已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 0 …
则下列关于该二次函数的结论正确的是( )
A. 图象的开口向上
B. 当时，随的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线
9．(新考法 新定义)(2025黄石模拟) 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，随的增大而增大；
④当或时，函数的最小值是0；
⑤当时，函数的最大值是4.
其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10．(2025福建)已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知抛物线经过点和，则这个抛物线的对称轴为直线_ _ _ _ _ _ .
12．(2024辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为_ _ _ _ .
13．(九上想一想改编)抛物线在上的最大值为1，则的值为_ _ _ _ .
14．(2025山东省卷节选)已知二次函数，其中，为两个不相等的实数.
(1) 当，时，求此函数图象的对称轴；
(2) 当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围.
能力提升
15．点，在二次函数，为常数的图象上，若，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
16．(2025北京)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
(1) 求的值，并用含的式子表示；
(2) 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点.
① 若，，求的长；
② 已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围.
第七节 二次函数的图象与性质
参考答案
1.A
2.C
3.B　【解析】该二次函数图象的对称轴为直线x=－=－1.
4.C　【解析】∵抛物线y=－(x－2)2＋c，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，∴点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)与对称轴的距离分别为|－2－2|=4，|3－2|=1，|7－2|=5，∴1＜4＜5，∴y2＞y1＞y3.
5.C　【解析】当x=0时，y=m2－1，∵m＞1，∴y=m2－1＞0，∴函数图象与y轴交于正半轴，故选项D错误；y=x2－2mx＋m2－1=(x－m)2－1，函数图象的对称轴为直线x=m，∵m＞1，∴选项A错误；当x=m时，函数值取最小值为y=－1，∴选项B错误，选项C正确.
6.A
7.C　【解析】令y=0，则mx2＋2x＋1=0.∵关于x的函数y=mx2＋2x＋1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程mx2＋2x＋1=0只有一个根.①当m=0时，2x＋1=0，即x=－，∴原方程只有一个根，∴m=0符合题意；②当m≠0时，b2－4ac=4－4m=0，解得m=1.综上所述，m的值为0或1.
8.D　【解析】将(0，0)代入二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，得c=0，∴二次函数的解析式为y=ax2＋bx.将(－2，－8)，(3，－3)代入y=ax2＋bx中，得，
解得，∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x，∴该二次函数图象的开口向下，故A选项错误；该二次函数图象的对称轴为直线x=－=1，故D选项正确；当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项错误；该二次函数的图象经过第一、三、四象限，故C选项错误.
9.A　【解析】①∵坐标(－1，0)，(3，0)和(0，3)都满足函数y=|x2－2x－3|，∴①是正确的；②由图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当－1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是图象与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=－1或x=3，因此④也是正确的；⑤如解图，从图象上看，当x=1时，y=|x2－2x－3|=4，当x＜－1或x＞3时，存在函数值要大于4，因此⑤是不正确的.故选A.
第9题解图
10.A　【解析】∵抛物线的函数解析式为y=3x2＋bx＋1，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大.当x=0时，y=1，∴抛物线过点(0，1).∵3＜b＜4，∴－＜－＜－，∵=－＞－，=－1＜－，∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于点B(1，y2)到对称轴的距离，∴1＜y1＜y2.
11.x=1　【解析】∵该抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－2，n)和B(4，n)，∴抛物线的对称轴为直线x==1.
12.4　【解析】∵当x=0时，y=3，点C(2，3)在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x==1.∵点B到对称轴的距离为2，∴点A的坐标为(－1，0)，∴AB=4.
13.4　【解析】由题可知抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x 的增大而增大，即当3≤x≤m 时，y随x的增大而增大，∴x=m时，y取得最大值1，∴m2－4m＋1= 1，解得m1=0(舍去)，m2=4，∴m的值为4.
14.解：二次函数y=x(x－a)＋(x－a) (x－b)＋x(x－b)=3x2－2(a＋b)x＋ab.
(1)当a=0，b=3时，y=3x2－6x，
∴函数图象的对称轴为直线x=－=1；
(2)当b=2a时，y=3x2－6ax＋2a2，
∴函数图象的对称轴为直线x=－=a，
∵当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，∴a≥1；当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴a≤3，
∴1≤a≤3.
15.B　【解析】二次函数y=x2－2ax＋c的对称轴为直线x=－=a，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∴当x＜a时，y随x的增大而减小，当x＞a时，y随x的增大而增大.A.当x1＜a时，无法得知x2与a的大小关系，故无法判断y1，y2的大小，该选项错误，不合题意；B.当x1＞a时，x2＞x1＞a，∴y2＞y1，该选项正确，符合题意；C.当x2＜a时，x1＜x2＜a，∴y1＞y2，该选项错误，不合题意；D.当x2＞a时，无法得知x1与a的大小关系，故无法判断y1，y2的大小，该选项错误，不合题意.
16.解：(1)将O(0，0)代入y=ax2＋bx＋c，得c=0，
∴该抛物线的解析式为y=ax2＋bx，
将A(3，3a)代入y=ax2＋bx，
得3a=9a＋3b，解得b=－2a；
(2)①若a=1，则该抛物线及直线解析式分别为y=x2－2x，y=x，当t=4时，点P的坐标为(4，0).
如解图①，
∵PM⊥x轴，
∴xM=xN=4.
将x=4代入y=x2－2x，得y=42－2×4=8，即M(4，8).
将x=4代入y=x，得y=4，即N(4，4)，
∴MN=8－4=4；
第16题解图①
②在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴，P(t，0)，
∴xM=xN=t.
将x=t代入y=ax2－2ax，得y=at2－2at，即M(t，at2－2at).
将x=t代入y=ax，得y=at，
即N(t，at)，
∴MN==，
令MN=0，即at2－3at=0，
解得t=0或t=3.
对于a＞0或a＜0需分类讨论.
若a＞0，则2a＞0，即点B在y轴右侧，如解图②，
第16题解图②
当0＜t≤3时，MN=－at2＋3at，其图象开口向下，对称轴为直线t=，
∵MN的长随OP的长的增大而增大，
∴MN的长随t的增大而增大，
∴2a≤，解得a≤，
∴0＜a≤；
当t＞3时，MN=at2－3at，其图象开口向上，对称轴为直线t=，不符合题意；
若a＜0，则2a＜0，即点B在y轴左侧，如解图③，
第16题解图③
当t＜0时，MN=－at2＋3at，其图象开口向上，对称轴为直线t=，
∵MN的长随OP的长的增大而增大，
∴MN的长随t的增大而增大，
∴2a≤，解得a≤，
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为a≤且a≠0.
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