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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 抛物线与系数，，的关系
1．(2025安徽)已知二次函数的图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
2．(2025鄂州模拟)如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若抛物线与轴交于，两点，则
C.
D. 对任意实数，总有
3．(2025凉山州)二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 若且，则
D. 若，两点都在抛物线上，则
4．(2025孝感模拟)已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：；；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根. 其中正确的结论个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．(2025泸州)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6．(2025随州模拟)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为.下列结论：①当时，随的增大而增大；②抛物线一定过原点；③当时，；；⑤关于的方程有两个实数根，其中一个实数根为2，则关于的方程有两个整数根，这两个整数根为1和.其中错误结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．(2025恩施州模拟)已知抛物线，，是常数，且过和两点，且.下列四个结论：；；③若关于的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
微专题 抛物线与系数，，的关系
参考答案
1.C　【解析】由题意可知，抛物线开口向上，故a＞0，抛物线对称轴在x轴正半轴，故－＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，故c＜0，∴abc＞0，故A选项错误；由题图可得抛物线的对称轴在直线x=1左侧，∴－＜1，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故B选项错误；由图象可知，当x=2时，y=0，∴4a＋2b＋c=0，∴c=－4a－2b，∴2b－c=2b＋4a＋2b=4(a＋b)，由题图可知抛物线的对称轴在直线x=右侧，∴－＞，∴a＋b＜0，∴2b－c＜0，故C选项正确；由图象可知，当x=－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，故D选项错误.
2.B　【解析】由图知抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵图象关于直线x=1对称，∴－=1，∴b＞0，∴abc＜0，故A选项错误；若抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，∴=1，则x1＋x2=2，故B选项正确；∵－=1，∴b=－2a，由图知，当x=3时，y＜0，∴当x=－1时，y=a－b＋c=3a＋c＜0，∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＜3a＋c不成立，故C选项错误；当t=1时，有a＋b=a＋b，故D选项错误.故选B.
3.D　【解析】由图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为直线x=－=2，∴b=－4a＞0，∴bc＞0，4a＋b=0，故选项A，B正确，不符合题意；∵a＋bx1=a＋bx2且x1≠x2，∴a＋bx1＋c=a＋bx2＋c，∴x=x1和x=x2关于对称轴直线x=2对称，∴x1＋x2=4，故选项C正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y=ax2＋bx＋c上，∵|－1－2|＞|3－2|，∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意，故选D.
4.C　【解析】观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①正确；观察函数图象可知当x=1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，即a＋c＞－b，故②正确；∵该函数图象经过点(－1，0)，对称轴为直线x=2，∴由对称性知，该函数图象必过点(5，0)，∴函数解析式可化为交点式，即y=a(x＋1)(x－5)，即多项式ax2＋bx＋c可因式分解为a(x＋1)(x－5)，故③错误；由交点式可知此函数解析式为y=ax2－4ax－5a，从而可得顶点坐标为(2，－9a)，易知，当m＞－9a时，关于x的方程ax2＋bx＋c=m无实数根，故④正确.综上，正确结论的个数是3.
5.D　【解析】∵抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=1，∴－=1，∴b=－2a，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，∴当x=0时，y＜0，∵当x=－1时，y＞0，∴抛物线与x轴的一个交点横坐标在－1与0之间，∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标在2与3之间，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相同的实数根，∴b2－4ac＞0，故B选项错误，不符合题意；∵当x=0时，y＜0，且当x=－1时，y＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线与x轴的另一个交点横坐标在2和3之间，∴当x=－2时，y=4a－2b＋c＞0，∴4a＋2×2a＋c＞0，即8a＋c＞0，故D选项正确，符合题意；∵抛物线与x轴的左交点在－1和0之间，∴当x=－时不确定对应的y值的符号，即无法确定a－2b＋4c的符号，故C选项错误，不符合题意.故选D.
6.B　【解析】①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=－2，∴当－2＜x＜0时，y随x的增大而减小，故①错误，符合题意；②∵对称轴为直线x=－2，与x轴的一个交点坐标为(－4，0)，∴另一个交点坐标为(0，0)，即抛物线一定过原点，故②正确，不合题意；③由函数图象可知，当－4＜x＜0时，抛物线在x轴上方，即ax2＋bx＋c＞0，则③正确，不合题意；④由函数图象可知，当x=－1时，y=a－b＋c＞0，则④错误，符合题意；⑤由题意可知，抛物线与直线y=－m的一个交点为(2，－m)，∵抛物线对称轴为直线x=－2，∴另一个交点为(－6，－m).设方程ax2＋bx＋c＋n=0的两个实数根为x1，x2(x1＜x2)，则－6＜x1＜－4，0＜x2＜2，∴这两个整数根为1和－5，则⑤结论正确，不合题意.综上所述，符合题意的一共有2个，故选B.
7.C　【解析】∵抛物线y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a＜0)过(－1，0)和(m，0)两点，且3＜m＜4，∴＜－=＜，即1＜－＜，故②正确；∴对称轴在y轴右侧，∵a＜0，－1×m=＜0，∴c＞0，故①正确；∵关于x的方程a(x＋1)(x－m)=3有实数根，∴抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=3有交点，∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点纵坐标大于或等于3，∴≥3，又∵a＜0，∴4ac－b2≤12a，故③错误；∵抛物线过(－1，0)和(m，0)两点，∴方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根，为－1，m，设x1=－1，x2=m，∴＋=－1＋，∵3＜m＜4，∴＜＜，∴－＜－1＋＜－，即－＜＋＜－，故④正确.综上，正确结论的个数是3.
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第三章 函 数
微专题 抛物线与系数，， 的关系
1.(2025安徽)已知二次函数 的
图象如图所示，则( )
C
A. B.
C. D.
2.(2025鄂州模拟)如图，二次函数 的图象关于直
线 对称，则下列结论正确的是( )
B
A.
B.若抛物线与轴交于， 两点，则
C.
D.对任意实数，总有
3.(2025凉山州)二次函数 的部分图象如图所示，
其对称轴为直线，且图象经过点 ，则下列结论错误的是( )
D
A.
B.
C.若且，则
D.若，两点都在抛物线 上，
则
4.(2025孝感模拟)已知二次函数 图象的一部分如
图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线 。对于下列结
论：；；③多项式 可因式分解为
；④当时，关于的方程 无实数
根. 其中正确的结论个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】观察图象可知，，，故 ，故①正确；观
察函数图象可知当时，，即，即 ，故
②正确； 该函数图象经过点，对称轴为直线， 由对称性
知，该函数图象必过点， 函数解析式可化为交点式，即
，即多项式 可因式分解为
，故③错误；由交点式可知此函数解析
式为 ，从而可得顶点坐标为
，易知，当时，关于 的方程
无实数根，故④正确.综上，正确结论
的个数是3.
5.(2025泸州)已知抛物线的对称轴为直线 ，
与轴的交点位于轴下方，且时， ，下列结论正确的是
( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 抛物线的对称轴为直线 ，
，，故A选项错误，不符合题意； 抛物线与 轴的
交点位于轴下方， 当时，， 当时，， 抛
物线与轴的一个交点横坐标在与0之间， 抛物线与 轴的另一个交点
横坐标在2与3之间， 抛物线与轴有两个不同的交点， 关于 的一元
二次方程有两个不相同的实数根， ，故B
选项错误，不符合题意； 当时，，且当时， ，
抛物线开口向上， 抛物线与轴的另一个交点横坐标在2和3之间，
当时，， ，即
，故D选项正确，符合题意； 抛物线与轴的左交点在 和0
之间， 当时不确定对应的值的符号，即无法确定
的符号，故C选项错误，不符合题意.故选D。
6.(2025随州模拟)已知抛物线 的对称轴为直线
，与轴的一个交点坐标为。下列结论：①当时， 随
的增大而增大；②抛物线一定过原点；③当 时，
；；⑤关于 的方程
有两个实数根，其中一个实数根为2，则关
于的方程 有两个整数根，这两个整数
根为1和 。其中错误结论的个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】， 抛物线开口向下， 对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故①错误，符合题意； 对称
轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 另一个交点坐标为
，即抛物线一定过原点，故②正确，不合题意；③由函数图象可知，
当时，抛物线在轴上方，即 ，则③正确，
不合题意；④由函数图象可知，当时， ，则④错
误，符合题意；⑤由题意可知，抛物线与直线 的一个交点为
， 抛物线对称轴为直线， 另一个交点为 。设
方程的两个实数根为， ，则
，， 这两个整数根为1和 ，则⑤结论正确，
不合题意.综上所述，符合题意的一共有2个，故选B。
7.(2025恩施州模拟)已知抛物线，， 是常数，且
过和两点，且。下列四个结论： ；
；③若关于的方程 有实数根，则
；④方程有两个实数根， ，则
。其中正确结论的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 抛物线，，是常数，且过
和两点，且， ，即
，故②正确； 对称轴在轴右侧， ，
，，故①正确； 关于 的方程
有实数根， 抛物线与直线
有交点，， 抛物线开口向下， 抛物线 的顶
点纵坐标大于或等于3，，又， ，
故③错误； 抛物线过和两点， 方程 有
两个实数根，为，，设，， ，
，，，即 ，
故④正确.综上，正确结论的个数是3.
Thanks!
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