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(共46张PPT)
2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
基础巩固
能力提升
第三章 函 数
微专题 二次函数中的线段、面积问题
1.(2025内江节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴相交于，两点，与 轴交于
点 .
(1)求抛物线的解析式；
解： 抛物线与轴相交于， 两
点，与轴交于点 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
(2)过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点 为抛物
线对称轴上的一点，连接，，设点的纵坐标为，当
时，求 的值.
联立得 ，
解得， ，
.
，
抛物线的对称轴为直线， ，
， ，
，
解得 ，
的值为 .
2.如图，抛物线与轴交于，两点(点在点 左侧)，
与轴交于点，为直线 上一点.
(1)求 的值；
解：将代入，得 ，
，
设直线的解析式为 ，
把， 代入，
得，解得 ，
直线的解析式为 ，
将代入，得 ，
解得， ，
把代入 中，
得，解得 ；
(2)若是第二象限内抛物线上一点，过点作轴交于点 .
①当点是抛物线的顶点时，求 的长；
解：， 抛物线的解析式为 ，
抛物线的顶点为，即点的坐标为 ，
点的横坐标为 ，
将代入中，得 ，
点 的纵坐标为2，
；
②依次连接，，，，求四边形 面积的最大值.
解：将代入，得，解得 ，
，
点在点 左侧，
，
由(1)知直线的解析式为 ，
设点，则 ，
，，， ，
，
，
当时，的面积最大，最大为 ，
四边形面积的最大值为 .
，
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2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
基础巩固
能力提升
第三章 函 数
微专题 二次函数最值问题
1.(2025武汉模拟节选)如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为，交轴于点和点，点 是抛
物线上一点.
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
解：抛物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点，将点，点 的坐标分别代入，得
，解得 ，
抛物线的解析式为
，
抛物线顶点的坐标为， ；
(2)当时，求二次函数 的最大值与最小值的差.
解： 抛物线顶点的坐标为，，且 ，
当时，随 的增大而减小，
当时，在处，取得最大值 ；
在处， 取得最小值，最小值为
，
当时，二次函数 的最大
值与最小值的差为 .
2. 在平面直角坐标系中，抛物线 开口向上，
且经过点， .
(1)求的值(用含 的代数式表示)；
解：将点，代入 中，
得 ，
整理，得 ，
；
(2)求证：抛物线 的顶点在第四象限；
证明： 抛物线开口向上，
.
由(1)得， ，
，
抛物线的对称轴在 轴右侧.
点的纵坐标为 ，
抛物线顶点的纵坐标小于或等于 ，
抛物线的顶点在第四象限；
(3)当时，函数的最大值为4，求 的值.
解：由(1)得， ，则抛物线的解析式为
，
，
在的范围内，的最大值只可能在或 处取得.
当时，；当时， .
当，即时，解得 ，
的最大值在处取得，则，解得 (舍去)；
当，即时，解得，此时 ，
故舍去；
当，即且时，解得 ，
，解得 ，符合题意.
综上所述，的值为 .
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第三章 函 数
微专题 二次函数整点问题
1. 如图，已知抛物线与 轴的交点为
，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为 .
(1)求点的坐标及抛物线顶点的坐标(可用含 的代数式表示)；
解：在 中，
当时， ，
点的坐标为 ；
，
点的坐标为 ；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 抛物线在点， 之间的部分与线
段所围成的区域为图形 (不含边界).
①当时，求图形 内的整点个数；
解图①
解：如解图①，
当时，，此时点 的坐标为
，对称轴为直线 ，
令，解得， ，
， ，
由(1)知，点的坐标为， 抛物线还经过点 ，
当时， ，
图形内的整点有5个，即，， ，
和 ；
②将抛物线沿着 轴向下平移1个单位长度后，
若图形内有2个整点，求 的取值范围.
解图②
如解图②，设平移后抛物线与轴的交点为，则点的坐标为，点
关于对称轴对称的点为 ，
平移后抛物线的解析式为，其顶点 的坐标
为 ，
图形 内有2个整点，
，
.
2.(2025黄石模拟节选)在平面直角坐标系 中，抛物线
(1)若点的横坐标为2，点 在抛物
线上，求 的值；
的顶点为
.
解： 抛物线的顶点为，且点 的横坐标
为2，
，
.
点在抛物线 上，
，
的值为 ；
(2)定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为整数，则把点
叫做“整点”，如点，都是“整点”. 若 ，当抛物线
解： ，
，
其对称轴为直线，图象必过点 .
与其关于 轴对
称的抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)共
有9个整点，求 的取值范围.
解图①
当 时，抛物线开口向上，如解图①：
当时，此时整点有，，，， 等，
根据对称性，此时封闭区域内(包括边界)整点显然超过9个，不符合题意；
解图②
当 时，抛物线开口向下，如解图②：
要保证封闭区域内(包括边界)共有9个整点，
需要同时满足：当时，，当时， ，
即 ，
解得 ，
故的取值范围为 .
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2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
基础巩固
能力提升
第三章 函 数
微专题 二次函数交点问题
1.(2025连云港)已知二次函数， 为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求 的取值范围；
解： 在二次函数中， ，
该二次函数的图象开口向上.
该二次函数的图象与直线 有两个交点，
二次函数的最小值小于 ，
，
解得
(2)若该二次函数的图象与轴有交点，求 的值；
解： 该二次函数的图象与 轴有交点，
方程 有实数根，
，
.
，
，解得 ；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
证明： 当时， ，
恒成立，
，
该二次函数的图象不经过原点.
2.(2025成都节选)如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
过点，且对称轴为直线 ，直线
与抛物线交于，两点，与轴交于点 .
(1)求抛物线的函数解析式；
解图①
解：当时，则直线解析式为 ，
当时，；当时， ，
， .
抛物线 ，
顶点始终在直线 上移动，
抛物线与线段 有公共点，
令 ，
整理，得 ，
如解图①，当，即 时，
抛物线与线段 有一个公共点，满足题意；
解图②
如解图②，将从 开始向右移动，直至抛物线与线
段只有一个交点为时，过程中抛物线 与线段
均有公共点，
当过点时，，解得
(舍去)或 ，
当时，抛物线
与线段 有公共点.
(2)当时，直线与轴交于点，与直线交于点 .若抛物线
与线段有公共点，求 的取值范围.
解： 抛物线过点，且对称轴为直线 ，
，解得 ，
抛物线的函数解析式为
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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 二次函数中的线段、面积问题
1．(2025内江节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点的纵坐标为，当时，求的值.
2．如图，抛物线与轴交于，两点(点在点左侧)，与轴交于点，为直线上一点.
(1) 求的值；
(2) 若是第二象限内抛物线上一点，过点作轴交于点.
① 当点是抛物线的顶点时，求的长；
② 依次连接，，，，求四边形面积的最大值.
参考答案
1.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3；
(2)联立得，
解得，，
∴D(－4，－5).
∵y=－x2－2x＋3=－(x＋1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x=－1，∴M(－1，n)，
∵MB=MD，
∴MB2=MD2，
∴(－1－1)2＋(n－0)2=(－1＋4)2＋(n＋5)2，
解得n=－3，
∴n的值为－3.
2.解：(1)将x=0代入y=ax2＋2ax＋3，得y=3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=kx＋b(k≠0)，
把C(0，3)，P(－2，1)代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x＋3，
将y=0代入，得0=x＋3，
解得x=－3，∴A(－3，0)，
把A(－3，0)代入y=ax2＋2ax＋3中，
得9a－6a＋3=0，解得a=－1；
(2)①∵a=－1，∴抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3=－(x＋1)2＋4，
∴抛物线的顶点为(－1，4)，即点Q的坐标为(－1，4)，
∴点M的横坐标为－1，
将x=－1代入y=x＋3中，得y=－1＋3=2，
∴点M的纵坐标为2，
∴QM=yQ－yM=4－2=2；
②将y=0代入y=－x2－2x＋3，得－x2－2x＋3=0，解得x1=1，x2=－3，
∵点A在点B左侧，
∴B(1，0)，
由(1)知直线AC的解析式为y=x＋3，
设点Q(m，－m2－2m＋3)，则M(m，m＋3)，
∵C(0，3)，P(2，1)，A(－3，0)，B(1，0)，
∴S△BCP=S△BCA－S△BPA=(xB－xA) yC－(xB－xA) yP=×4×3－×4×1=4，
S△CQP= QM (xC－xP)=［(－m2－2m＋3)－(m＋3)］×2=－m2－3m=－(m＋)2＋，
∵－1＜0，
∴当m=－时，△CQP的面积最大，最大为，
∴四边形BCQP面积的最大值为4＋=.
【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 二次函数最值问题
1．(2025武汉模拟节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点.
(1) 求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2) 当时，求二次函数的最大值与最小值的差.
2．在平面直角坐标系中，抛物线开口向上，且经过点，.
(1) 求的值(用含的代数式表示)；
(2) 求证：抛物线的顶点在第四象限；
(3) 当时，函数的最大值为4，求的值.
参考答案
1.解：(1)抛物线y=－x2＋bx＋c的顶点为M，交x轴于点A(－1，0)和点B，点D(3，4)是抛物线上一点，将点A，点D的坐标分别代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=－x2＋3x＋4=－(x－)2＋，
∴抛物线顶点M的坐标为(，)；
(2)∵抛物线顶点M的坐标为(，)，且－1＜0，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤5时，在x=处，y取得最大值；
在x=5处，y取得最小值，最小值为－52＋3×5＋4=－6，
∴当1≤x≤5时，二次函数y=－x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为－(－6)=.
2.(1)解：将点A(0，)，B(2，－)代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，
得，
整理，得4a＋2b=－2，
∴b=－2a－1；
(2)证明：∵抛物线开口向上，
∴a＞0.
由(1)得，b=－2a－1，
∴－=＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧.
∵点B的纵坐标为－，
∴抛物线顶点的纵坐标小于或等于－，
∴抛物线的顶点在第四象限；
(3)解：由(1)得b=－2a－1，c=，则抛物线的解析式为y=ax2－(2a＋1)x＋，
∵a＞0，
∴在－1≤x≤4的范围内，y的最大值只可能在x=－1或x=4处取得.
当x=－1时，y1=3a＋；当x=4时，y2=8a－.
当y1＜y2，即3a＋＜8a－时，解得a＞1，
∴y的最大值在x=4处取得，则8a－=4，解得a=＜1(舍去)；
当y1=y2，即3a＋=8a－时，解得a=1，此时y1=y2=≠4，故舍去；
当y1＞y2，即3a＋＞8a－且a＞0时，解得0＜a＜1，
∴3a＋=4，解得a=，符合题意.
综上所述，a的值为.
【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 二次函数整点问题
1．如图，已知抛物线与轴的交点为，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为.
(1) 求点的坐标及抛物线顶点的坐标(可用含的代数式表示)；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域为图形(不含边界).
① 当时，求图形内的整点个数；
② 将抛物线沿着轴向下平移1个单位长度后，若图形内有2个整点，求的取值范围.
2．(2025黄石模拟节选)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
(1) 若点的横坐标为2，点在抛物线上，求的值；
(2) 定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如点，都是“整点”. 若，当抛物线与其关于轴对称的抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)共有9个整点，求的取值范围.
参考答案
1.解：(1)在y=mx2＋2mx＋2(m＜0)中，
当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为(0，2)；
∵y=mx2＋2mx＋2=m(x2＋2x)＋2=m(x＋1)2＋2－m，
∴点D的坐标为(－1，2－m)；
(2)①如解图①，
当m=－2时，y=－2x2－4x＋2=－2(x＋1)2＋4，此时点D的坐标为(－1，4)，对称轴为直线x=－1，
令－2x2－4x＋2=0，解得x1=－1－，x2=－1＋，
∴A(－1－，0)，B(－1＋，0)，
由(1)知，点C的坐标为(0，2)，∴抛物线还经过点(－2，2)，
当x=1时，y=－2×(1＋1)2＋4=－4＜0，
∴图形S内的整点有5个，即(－1，3)，(－1，2)，(－1，1)，(0，1)和(－2，1)；
第1题解图①
②如解图②，设平移后抛物线与y轴的交点为E，则点E的坐标为(0，1)，点E关于对称轴对称的点为(－2，1)，
平移后抛物线的解析式为y=mx2＋2mx＋1(m＜0)，其顶点D1的坐标为(－1，1－m)，
∵图形S内有2个整点，
∴2＜1－m≤3，
∴－2≤m＜－1.
第1题解图②
2.解：(1)∵抛物线M：y=ax2＋bx－1(a≠0)的顶点为A，且点A的横坐标为2，
∴－=2，
∴b=－4a.
∵点(4，t)在抛物线M上，
∴t=16a＋4b－1=16a－16a－1=－1，
∴t的值为－1；
(2)∵b=－4a，
∴y=ax2－4ax－1=a(x－2)2－4a－1，其对称轴为直线x=2，图象必过点(0，－1).
当a＞0时，抛物线开口向上，如解图①：
第2题解图①
当y=－1时，此时整点有(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)等，根据对称性，此时封闭区域内(包括边界)整点显然超过9个，不符合题意；
当a＜0时，抛物线开口向下，如解图②：
第2题解图②
要保证封闭区域内(包括边界)共有9个整点，
需要同时满足：当x=1时，1≤y＜2，当x=2时，1＜y＜2，
即，
解得－＜a≤－，
故a的取值范围为－＜a≤－.
【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 二次函数交点问题
1．(2025连云港)已知二次函数，为常数.
(1) 若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围；
(2) 若该二次函数的图象与轴有交点，求的值；
(3) 求证：该二次函数的图象不经过原点.
2．(2025成都节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点.
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 当时，直线与轴交于点，与直线交于点.若抛物线与线段有公共点，求的取值范围.
参考答案
1.(1)解： ∵在二次函数y=x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3中，1＞0，
∴该二次函数的图象开口向上.
∵该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，
∴二次函数的最小值小于2a2，
∴=2a2－4a＋2＜2a2，
解得a＞；
(2)解：∵该二次函数的图象与x轴有交点，
∴方程x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3=0有实数根，
∴4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)=－8a2＋16a－8=－8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2≤0.
∵8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2=0，解得a=1；
(3)证明： 当x=0时，y=3a2－2a＋3=3(a－)2＋，
∵(a－)2≥0恒成立，
∴y=3(a－)2＋＞0，
∴该二次函数的图象不经过原点.
2.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx(a≠0)过点(－1，3)，且对称轴为直线x=1，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y=x2－2x；
(2)当k=1时，则直线AB解析式为y=x－1，
∴当x=0时，y=－1；当x=2时，y=1，
∴D(0，－1)，E(2，1).
∵抛物线y=(x－h)2－1，
∴顶点始终在直线y=－1上移动，
∵抛物线y=(x－h)2－1与线段DE有公共点，
∴令(x－h)2－1=x－1，
整理，得x2－(2h＋1)x＋h2=0，
∴如解图①，当(2h＋1)2－4h2=0，即h=－时，抛物线y=(x－h)2－1与线段DE有一个公共点，满足题意；
第2题解图①
如解图②，将y=(x－h)2－1从h=－开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2，1)时，过程中抛物线y=(x－h)2－1与线段DE均有公共点，
第2题解图②
∴当y=(x－h)2－1过点E(2，1)时，(2－h)2－1=1，解得h=2－(舍去)或h=2＋，
∴当－≤h≤2＋时，抛物线y=(x－h)2－1与线段DE有公共点.
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