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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
第四节 直角三角形
基础巩固
1．(2025潜江模拟)下列条件能判定是直角三角形的是( )
A.
B.
C. ，，
D.
2．(2025陕西)如图，在中， ， ，为边上的中线，，则图中与互余的角共有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3．(2025天门模拟)如图，在中， ， ，是高，若，则的长为( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
4．如图，在等腰直角三角形中， ，，为上一点，，连接，则等于( )
A. B. C. D.
5．(八上例题改编)如图，在中， ，，，，是边的中点，则( )
A. B. C. 2 D. 1
6．(2024安徽)如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是( )
A. B. C. D.
7．如图，在中， ，，，，是的中点，则的面积是( )
A. 3 B. 12 C. 24 D. 32
8．(2025连云港)如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度为_ _ _ _ .
9．(2025扬州)如图，在中，，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且 ，若，，则的长是_ _ _ _ .
10．如图，在中， ，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接，过点作交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
11．(2024自贡)如图，在中，，.
(1) 求证：；
(2) 若 ，平分，请直接写出的形状.
12．如图，在中， ， ，点在上，且，为的中点，连接并延长，交于点.
(1) 求的度数；
(2) 若，求的长.
能力提升
13．(2025十堰模拟改编)如图，在中， ，，，为边上一动点，于点，于点，为的中点，则的最小值为_ _ _ _ .
14．如图，在中， ，点在上运动(不与端点重合)，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
(1) 判断与的位置关系，并说明理由；
(2) 若，，，求线段的长.
第四节 直角三角形
参考答案
1.A　【解析】∵∠A－∠B=∠C，∴∠A=∠C＋∠B，∵∠A＋∠C＋∠B=180°，∴∠A＋∠A=180°，∴∠A=90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形，符合题意；∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故选项B不能判定△ABC是直角三角形，不符合题意；∵AB=，BC=，AC=，∴AB2=3，BC2=4，AC2=5，∵AB2＋BC2=3＋4=7≠AC2，故选项C不能判定△ABC是直角三角形，不符合题意；∵AB∶BC∶AC=2∶2∶3，∴设AB=2x，∴BC=2x，AC=3x，∴AB2＋BC2=4x2＋4x2=8x2≠AC2，故选项D不能判定△ABC是直角三角形，不符合题意.
2. C　【解析】∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°，即∠A与∠B互余，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠A＋∠ADE=90°，即∠A与∠ADE互余.∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD=CD，∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠ADE，∴∠A与∠CDE互余，∵BD=CD，∴∠B=∠DCB，∴∠A与∠DCB互余，综上所述，与∠A互余的角有∠B，∠ADE，∠CDE，∠DCB，共4个.
3.B　【解析】∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，∴AB=2BC=16，∠B=60°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°－∠B=90°－60°=30°，∴BD=BC=4，∴AD=AB－BD=12.
4.C　【解析】在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=×(180°－45°)=67.5°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=22.5°.
5.A　【解析】∵∠CAD=90°，AD=3，AC=4，∴在Rt△ADC中，CD==5，∵BD=DE=EC，∴AE=CD=，∵F是AB边的中点，BD=DE，∴DF为△ABE的中位线，∴DF=AE=.
6.B　【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H.∵AC=BC=2，∠ACB=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∴易得CH=AH=BH=，AB=2，∴CD=AB=2，∴DH===，∴BD=DH－BH=－.
第6题解图
7. B　【解析】∵∠BDC=∠A＋∠ABD，∠BDC=2∠A，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，设AD=BD=x，∵AC=16，∴CD=AC－AD=16－x，∵∠ACB=90°，BC=8，∴BD2=CD2＋BC2，即x2=(16－x)2＋82，解得x=10，∴CD=16－x=16－10=6，∴S△BDC=×6×8=24，∵点E是BD的中点，∴S△BCE=S△BDC=×24=12.
8.2.4　【解析】根据勾股定理，得h==2.4(m).
9. 6　【解析】∵在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，AC=4，∴DE=AC=2，∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=BC=4，∴DF=DE＋EF=6.
10.　【解析】如解图，过点E作EF⊥BC于点F，设AD与BE交于点G，∵BE⊥AD，∴∠BAG＋∠ABG=90°，∵∠ABC=90°，∴∠CBE＋∠ABG=90°，∴∠BAG=∠CBE，∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°=∠ABD，∴△ABD∽△BFE，∴==，∵AB=BC，∴∠C=45°，∴FC=FE，由尺规作图可知，点D是BC的中点，∴BD=BC=AB，∴=，解得AB=3FC，∴2BD=3EF，∴==.
第10题解图
11.(1)证明：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠EDF=∠C，
∴∠EDF=∠AED，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A；
(2)解：△ABC是等腰直角三角形.
【解法提示】∵∠A=45°，∴∠BDF=∠A=45°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°，∵DE∥BC，∴∠B=180°－∠BDE=90°，∴∠C=180°－∠A－∠B=45°=∠A，∴△ABC是等腰直角三角形.
12.解：(1)∵BD=AB，∠ABC=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BDA=45°，
∵E为AD的中点，
∴BE为△ABD的中线，且BE⊥AD，
∴△ABE与△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠DBE=45°，
∴∠AFE=∠C＋∠DBE=30°＋45°=75°；
(2)∵AC=4，∠C=30°，∠ABC=90°，
∴AB=AC=2，
∴BD=AB=2，
∴在Rt△ABD中，AD==2.
13.2.4　【解析】如解图，连接AP，∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC===10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP==4.8，∴AP最短时，AP=4.8，∴当PM最短时，PM=AP=×4.8=2.4.
第13题解图
14.解：(1)DE⊥PD.理由如下：
∵PD=PA，
∴∠PDA=∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A＋∠B=90°，
∴∠PDA＋∠EDB=90°，
∴∠PDE=90°，
∴DE⊥PD；
(2)如解图，连接PE.
∵AC=10，BC=12，PA=3，
∴CP=AC－PA=7，PD=PA=3，
设DE=BE=x，则CE=12－x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2=72＋(12－x)2，
在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2=32＋x2，
∴72＋(12－x)2=32＋x2，
解得x=，
∴DE=.
第14题解图
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基础巩固
能力提升
第四章 三角形
第四节 直角三角形
基础巩固
1.(2025潜江模拟)下列条件能判定 是直角三角形的是( )
A
A.
B.
C.，，
D.
2.(2025陕西)如图，在中， ，
，为边上的中线， ，则图
中与 互余的角共有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2025天门模拟)如图，在中， ，
，是高，若，则 的长为( )
B
A.16 B.12 C.10 D.8
4.如图，在等腰直角三角形中， ，
，为上一点，，连接，则
等于( )
C
A. B. C. D.
5.(八上例题改编)如图，在 中，
，， ，
，是边的中点，则
( )
A
A. B. C.2 D.1
【解析】 ，，， 在 中，
，，，是
边的中点，，为的中位线， .
6.(2024安徽)如图，在中，，点
在的延长线上，且，则 的长是( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图，过点作 于点
， ，即 是等腰直
角三角形， 易得， ，
， ，
.
∟
7.如图，在中， ，， ，
，是的中点，则 的面积是( )
B
A.3 B.12 C.24 D.32
【解析】，， ，
，设， ，
， ， ，
，即，解得 ，
，， 点是
的中点， .
8.(2025连云港)如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底
端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度为____ .
2.4
9.(2025扬州)如图，在中，，分别是边，的中点，点 在
线段的延长线上，且 ，若，，则 的长
是___.
6
10. 如图，在中， ，，分别以点 ，
为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线 交
于点，连接，过点作交于点，则 的值为__.
解图
【解析】如解图，过点作于点，设与交于点 ，
， ， ，
，， ，
，， ，
， ， ，由尺规作图可知，点
是的中点，， ，解得
，， .
(1)求证： ；
11.(2024自贡)如图，在中，， .
证明： ，
，
，
，
，
；
(2)若 ，平分，请直接写出 的形状.
【解法提示】 ， ，平分 ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形.
解： 是等腰直角三角形.
12.如图，在中， ， ，点在 上，且
，为的中点，连接并延长，交于点 .
(1)求 的度数；
解：， ，
为等腰直角三角形，
，
为 的中点，
为的中线，且 ，
与 均为等腰直角三角形，
，
；
(2)若，求 的长.
， ， ，
，
，
在中， .
能力提升
13.(2025十堰模拟改编)如图，在中， ， ，
，为边上一动点，于点，于点，为
的中点，则 的最小值为____.
2.4
解图
【解析】如解图，连接， ，， ，
，，， 四边
形是矩形，，与互相平分，是的中点，
为的中点， ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂
线段最短，即时，最短，同样也最短， 当 时，
，最短时，， 当
最短时， ．
14.如图，在中， ，点在 上运动(不与端点重合)，点
在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点 ，
交于点，连接 .
(1)判断与 的位置关系，并说明理由；
解： .理由如下：
，
，
垂直平分 ，
，
，
在中， ，
，
，
，
；
(2)若，，，求线段 的长.
如图，连接 .
，， ，
， ，
设，则 ，
在中，根据勾股定理，得 ，
在中，根据勾股定理，得 ，
，
解得 ，
.
Thanks!
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