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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
微专题 通过“图形旋转”构造全等、相似三角形
1．如图，在四边形中，， ， ，连接，若，，求的长.
2．如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至，连接，过点作，交的延长线于点，连接，，求的值.
3．如图，在中，，，在中，，，连接，是的中点.
【探索发现】
(1) 如图①，平分，与交于点，连接，则线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【拓展迁移】
(2) 如图②，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接，.
① 试猜想线段与的数量关系并证明；
② 求线段长的取值范围.
参考答案
1.解：如解图①，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠BAD＋∠BCD=180°，
∴∠ABC＋∠ADC=180°，
∵∠ADC＋∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，BE=DF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴CA平分∠ECF，
∴∠ACE=∠ACF=60°，
∴∠CAE=∠CAF=30°，
∵CE⊥AE，
CF⊥AF，
∴CE=CF，
设BE=DF=x，则CE=4－x，CF=2＋x，
∴4－x=2＋x，解得x=1，
∴CE=3，
∴AC=2CE=6.
第1题解图①
一题多解法
解：如解图②，过点A作∠BAE=∠DAC，AE交CB的延长线于点E，
第1题解图②
则∠EAC=∠BAE＋∠BAC=∠DAC＋∠BAC=∠BAD=60°，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠BAD＋∠BCD=180°，
∴∠ABC＋∠ADC=180°，
∵∠ABC＋∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB(ASA)，
∴BE=CD=2，AC=AE，
∴CE=BC＋BE=6，
∵∠EAC=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC=CE=6.
2. 解：如解图，连接BD，设∠BAB′=α，
∵AB=AB′，
∴∠AB′B=90°－，
∵∠B′AD=90°－α，AD=AB′，
∴∠AB′D=45°＋，
∴∠EB′D=180°－∠AB′D－∠AB′B=180°－(45°＋)－(90°－)=45°，
∵DE⊥BB′，
∴∠EDB′=∠EB′D=45°，
∴△DEB′是等腰直角三角形，
∴=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴=，∠BDC=45°，
∴==，
∵∠EDB′=∠BDC，
∴∠EDB′－∠B′DC=∠BDC－∠B′DC，
即∠B′DB=∠EDC，
∴△B′DB∽△EDC，
∴==.
第2题解图
3. 解：(1)
【解法提示】如解图①，延长AD交BC于点P，∵AB=AC=25，BC=30，AD=AE=AB，DE=18，∴===，AD=AE=15，∴△ADE∽△ACB，∴∠DAE=∠BAC，∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，∴AP⊥BC，P为BC的中点，∴BP=CP=15，∴∠BAP=∠BAC=∠DAE，∴DE⊥AB，∴∠AFD=90°，在Rt△ABP中，AP==20，∴DP=AP－AD=5，∴在Rt△BDP中，BD==5，∵M是BD的中点，∴在Rt△BDF中，MF=BD=.
第3题解图①
(2)①MN=CD，
证明：如解图②，连接BE，
第3题解图②
∵AB=AC=25，BC=30，AD=AE=AB，
∴AD=15，
∵AD=AE，DE=18，
∴===，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
∵M是BD的中点，N是DE的中点，
∴MN是△BDE的中位线，
∴MN=BE，
∴MN=CD；
②由①，得MN=CD，
∴要求MN的取值范围，只要求出CD的范围即可.
由题可知，点D的运动轨迹为以点A为圆心，AD长为半径的圆，
当点D在CA的延长线上时，CD的长最大，
∴CD=AC＋AD=25＋15=40，
∴MN=20，
当点D在AC边上时，CD的长最小，
∴CD=AC－AD=25－15=10，
∴MN=5，
∴线段MN长的取值范围为5≤MN≤20.
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第四章 三角形
微专题 通过“图形旋转”构造全等、相似三角形
1.如图，在四边形中，， ，
，连接，若，，求 的长.
解图①
解：如解图①，过点分别作于点， 交
的延长线于点 ，
， ，
，
，
，
，
在和 中，
，
，
， ，
， ，
平分 ，
解图①
，
，
，
，
，
设，则， ，
，解得 ，
，
.
解图①
解：如图，过点作，交的延长线于点 ，
则 ，
， ，
，
，
，
，
在和 中，
一题多解法
，
，
， ，
，
，
为等边三角形，
.
2.如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，连接
，过点作，交的延长线于点，连接 ，
，求 的值.
解：如图，连接，设 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
即 ，
，
.
3. 如图，在中，，，在 中，
，，连接，是 的中点.
【探索发现】
(1)如图①，平分，与交于点，连接，则线段 的长
为_ ____；
【解法提示】如图①，延长交于点， ，
，，， ，
，，， 是等腰
三角形，平分，，为 的中点，
，， ，
，在 中，
，， 在
中，，
是 的中点， 在中， .
【拓展迁移】
(2)如图②，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接 ，
.
①试猜想线段与 的数量关系并证明；
解： ，
证明：如图②，连接 ，
，， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
是的中点，是 的中点，
是 的中位线，
，
；
②求线段 长的取值范围.
解：由①，得 ，
要求的取值范围，只要求出 的范围即可.
由题可知，点的运动轨迹为以点为圆心， 长为半径的圆，
当点在的延长线上时， 的长
最大，
，
，
当点在边上时， 的长最小，
，
，
线段 长的取值范围为
.
Thanks!
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