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【2026中考人教数学一轮复习（练本）】
第四节 正方形
基础巩固
1．(八下思考改编)下列关于正方形判定的说法中不正确的是( )
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．如图，四边形是正方形，点在正方形对角线上，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
3．(2024陕西)如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为( )
A. 2 B. 3 C. D.
4．(2025深圳)如图，将正方形沿折叠，使点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为( )
A. B. C. D.
5．(2025荆门模拟)如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为，，，则的长为( )
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
6．(2025宜昌模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则的值是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
7．(2024兰州)如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点，若，则_ _ _ _ .
8．(2025北京)如图，在正方形中，点在边上，，垂足为.若， ，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
9．(2025黄冈模拟改编)如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为_ _ _ _ _ _ .
10．如图，在中， ，，的平分线交于点，于点，于点.求证：四边形是正方形.
11．(2025广安)如图，，是正方形的对角线上的两点，，，连接，，，.
(1) 求证：；
(2) 若四边形的周长为，求的长.
12．(2025长沙)如图，正方形中，点，分别在，上，且.
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 连接，若，，求的长.
能力提升
13．(2025黄石模拟)
问题引入：．如图①，，， ，是线段的中点，连接并延长交于点，连接.判断与之间的数量关系，并说明理由.
问题延伸：．如图②，在正方形和正方形中，点，，在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接，.
(1) 判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2) 连接，若，，则的长为_ _ _ _ .
参考答案
1.D　【解析】A.一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故A选项不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故B选项不符合题意；C.对角线相等的菱形是正方形，正确，故C选项不符合题意；D.一个角是直角的平行四边形是正方形，错误，故D选项符合题意.应该是有一个角是直角的菱形是正方形.
2.B　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°.∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE=×(180°－45°)=67.5°，∴∠AED=180°－67.5°=112.5°.
3.B　【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB=6，CE=2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH∶GH=AD∶FG=6∶2=3∶1，由DG=6－2=4，得DH=4÷(1＋3)×3=3.
4. D　【解析】∵四边形ABCD是正方形，且沿EF折叠后点A与对角线的交点O重合，∴AO=OC，∠EAG=45°，AO⊥EF，AG=GO，∴AG=EG，设AG=x，则EG=x，AO=OC=2x，∴EF=2EG=2x，CG=GO＋OC=3x，∴ =.
5.D　【解析】如解图，连接PB，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∵AP=AP，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∴△ABP≌△ADP(SAS)，∴BP=DP，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，∴四边形BFPE是矩形，∴EF=PB，∴DP=EF=3.
第5题解图
6.C　【解析】如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，又∵∠BOC=∠DEC=90°，∠OBC＋∠OCB=90°，∠ECD＋∠OCB=90°，∴∠OBC=∠ECD，在△BOC和△CED中，∴△BOC≌△CED(AAS)，∴OC=DE，∵C(0，－2)，∴OC=2.∵D(b，－1)，∴DE=|b|，∵OC=2，∴DE=2，即|b|=2，∵D在第四象限，∴b＞0，∴b=2.
第6题解图
7.2　【解析】∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AE=AD=4，∠EAF=∠BAD－∠EAD=90°－60°=30°，∵EF⊥AB，∴∠AFE=90°，∴EF=AE=2.
8. 　【解析】如解图，过点F作FN∥BC交AB于点N，∵四边形ABCD是正方形，∠EBC=30°，CF⊥BE，∴BC=AB=1，∴在Rt△BFC中，BF=BC cos∠FBC=1×cos 30°=，∵FN∥BC，∴∠FNB=180°－∠ABC=90°，∠NFB=∠EBC=30°，∴在Rt△BNF中，NF=BF cos∠NFB= cos 30°=，∴S△ABF=AB NF=×1×=.
第8题解图
9.1＋　【解析】如解图①，过点A作AH⊥BC于点H，AG⊥DF于点G，则∠AGF=∠AHB=∠AGD=90°，∵△ABC是等边三角形，∴BH=CH=BC=1，∴AH==，∵∠DFB=90°，∴四边形AGFH是矩形，∴GF=AH=，∠GAH=90°，∵四边形ABED是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAG=∠BAH=90°－∠BAG，∴△ADG≌△ABH(AAS)，∴DG=BH=1，∴DF=DG＋FG=1＋.
图①
图②
第9题解图
一题多解法 如解图②，延长DA，BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAG=180°－90°=90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∴AG=AB\5tan∠ABC=2tan 60°=2，∴DG=AD＋AG=2＋2.∵∠G=90°－60°=30°，DF⊥BC，∴DF=DG=×(2＋2)=1＋.
10.证明：∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形CFDE为矩形，
∵∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，
∴易得DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形.
11. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，∠ADE=∠CBF=45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)解：如解图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴BD垂直平分AC，OA=OC=OB=BD=5，
∴AF=CF，AE=CE，
由(1)知△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴AF=CF=AE=CE，
∵四边形AECF的周长为4，
∴AF=×4=，
∵在Rt△AOF中，OF==3，
∴BF=DE=OB－OF=5－3=2，
∴EF=BD－BF－DE=6，
∴EF的长为6.
第11题解图
12. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD，
又∵BE=DF，
∴AB－BE=CD－DF，即AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：如解图，过点E作EH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，BC=12，
∴CD=BC=12，∠B=∠BCD=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH是矩形，
∴EB=HC=5，EH=BC=12，
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD－DF－CH=12－5－5=2，
在Rt△EHF中，由勾股定理，得
EF====2.
第12题解图
13.解：问题引入：
BE=DE.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED(ASA)，
∴EF=DE，
∵∠ABD=90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF=DE=BE，
∴BE=DE；
问题延伸：
(1)PC=PG.理由如下：
如解图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD=90°，
∴∠CDP=∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP=FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG(ASA)，
∴PM=PG，GF=DM，
∴PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC=PG；
第13题解图
(2)　【解法提示】如解图，∵四边形ABCD，BEFG为正方形，∴AB=BC=CD=3，BG=GF=DM，∠CGF=90°，设BG=GF=DM=x，∴CM=CG=3－x，∵PC=PG=PM=，∴MG=2，∵MC2＋CG2=MG2，∴(3－x)2＋(3－x)2=(2)2，解得x=1，∴GF=1，CG=3－1=2，∴CF===.
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基础巩固
能力提升
第五章 四边形
第四节 正方形
基础巩固
1.(八下思考改编)下列关于正方形判定的说法中不正确的是( )
D
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.如图，四边形是正方形，点在正方形对角线 上，
已知，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
3.(2024陕西)如图，正方形的顶点在正方形
的边上，与交于点，若， ，则
的长为( )
B
A.2 B.3 C. D.
4.(2025深圳)如图，将正方形沿折叠，使点 与
对角线的交点重合，为折痕，则 的值为( )
D
A. B. C. D.
5.(2025荆门模拟)如图，在正方形中，点在 上，
，，垂足分别为，，，则 的长
为( )
D
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
解图
【解析】如解图，连接，在正方形 中，
，， ，
，， ，
，， ，
， ， 四边形是矩形，，
.
6.(2025宜昌模拟)如图，在平面直角坐标系 中，正方形
的顶点在轴上，顶点在轴上，且 ，
，则 的值是( )
C
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
解图
【解析】如解图，过点作轴于点，
四边形 是正方形，， ，
又 ， ，
， ，在和 中，
， ，
，
， ，
，，即，
，．
7.(2024兰州)如图，四边形为正方形， 为等边三角形，
于点，若，则 ___.
2
【解析】 四边形为正方形， 为等边三角形，
， ，
， ， .
8.(2025北京)如图，在正方形中，点在边上， ，垂足为
.若， ，则 的面积为__.
解图
【解析】如解图，过点作交于点，
四边形 是正方形， ，，
，
在 中，，
， ，
，
在中， ，
.
N
9.(2025黄冈模拟改编)如图，在边长为2的等边三角形 的外侧作正方形
，过点作，垂足为，则 的长为________.
，，
， 四边形是矩形， ，，
四边形 是正方形，
，，
，
， ，
解图①
【解析】如解图①，过点作于点，于点 ，
则 ，
是等边三角形，
G
H
.
四边形 是正方形，
， ， ，
是边长为2的等边三角形，
， ， ，
.
， ，
.
如解图②，延长，交于点，
解图②
一题多解法
G
10.如图，在中， ，，的平分线交于点 ，
于点，于点.求证：四边形 是正方形.
证明： 在中， ，于点，于点 ，
四边形 为矩形，
，的平分线交于点 ，
易得 ，
四边形 是正方形.
11.(2025广安)如图，，是正方形的对角线 上的两点，
，，连接，，， .
(1)求证： ；
证明： 四边形 为正方形，
， ，
在和 中，
，
；
(2)若四边形的周长为，求 的长.
解图
解：如解图，连接交于点 ，
四边形为正方形， ，
垂直平分， ，
， ，
由(1)知 ，
，
，
四边形的周长为 ，
，
在中， ，
，
，
的长为6.
解图
(1)求证：四边形 是平行四边形；
证明： 四边形 是正方形，
且 ，
又 ，
，即 ，
又 ，
四边形 是平行四边形；
12.(2025长沙)如图，正方形中，点，分别在， 上，且
.
(2)连接，若，，求 的长.
解图
解：如解图，过点作于点 ，
四边形是正方形， ，
， ，
又 ，
四边形 是矩形，
， ，
又 ，
，
在 中，由勾股定理，得
.
能力提升
13.(2025黄石模拟)
问题引入： 如图①，，， ，是线段
的中点，连接并延长交于点，连接.判断与 之间的数量
关系，并说明理由.
解： .理由如下：
，
，
是 的中点，
，
在和 中，
，
，
，
，
为 斜边上的中线，
，
；
问题延伸： 如图②，在正方形和正方形中，点，， 在同
一条直线上，点在上，是线段的中点，连接， .
(1)判断与 之间的数量关系，并说明理由；
解图
.理由如下：
如解图，延长交于点 ，
四边形， 为正方形，
， ，
，
为 的中点，
，
，
， ，
为 斜边上的中线，
；
在和 中，
，
解图
(2)连接，若，，则 的长为____.
【解析】，解得， ，
， ．
Thanks!
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