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2005年杭州市中小学教师教学能力水平考核
初中数学试卷
应考教师须知：
本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
答题前，请在密封区内填写市(县)名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
加*号的试题, 申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做.
题 号
第一部分
第二部分
第三部分
总 分
得 分
第一部分（30分）
1．《数学课程标准》在课程的目标中, 不仅使用 “了解, 理解, 掌握和灵活运用” 等刻画知识技能的目标动词, 而且使用了 “经历(感受), 体验(体会), 探索” 等刻画数学活动水平的过程性目标动词. 请结合你的具体教学, 谈谈你在教学中如何实施这些过程性的目标.
2. 目前我们已经进入了信息时代, 计算机在人类生产生活中起到了举足轻重的作用. 请说明数学与计算机的结合有着哪些重要意义? 数学课程的设计应如何重视现代信息技术的运用?
第二部分（30分）
3. 同一个数学问题, 由于观察的角度不同, 对问题的分析, 理解的层次不同, 就可以导致转化目标与方法的不同. 但共同的目的都是为了做到化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体……
请说明在利用化归思想解决思想问题时, 重点要注意的问题是什么? 并举出一个你印象最为深刻的利用化归思想解题的例子.
4．“等腰三角形”是一种特殊而重要的三角形, 是学习几何图形的基础，也是图形变换和演绎推理的重要元素之一. 请你针对“等腰三角形的判定”这一教学内容(老教材浙教版第三册9.13节“等腰三角形的判定定理”; 新教材华师大版七年级下9.3-2“等腰三角形的识别”), 写出教学设计过程中的教学目标, 重点难点和注意事项. (请说明自己的教学设计根据的教材版本, 不需整堂课的设计）.
*5. (此题为申报高级职称的教师加试题) 有人认为数学是教会的，即数学是通过教师的教，从而转化为学生的数学；也有人认为数学是学会的，即数学是通过学生自己的学，才能转化为学生的数学. 对以上两种教学指导观你的看法怎么样？你在数学教学中遵循的是什么样的指导观？请作简单介绍.
第三部分（40分）
6. 当为整数时, 关于的方程是否有有理根? 如果有,求出的值; 如果没有, 请说明理由..
7. 如图, 两圆同心, 半径分别为6与8, 又矩形的边和 分别为小大两圆的弦. 则当矩形面积最大时, 求此矩形的周长.
8. 为了参加市科技节展览,同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型,用了三种正方形的钢筋支架.在画设计图时,如果在直角坐标系中,抛物线的函数解析式为,正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5∶1,
求：(1)抛物线解析式中常数的值；
(2)正方形MNPQ的边长.
9. 某单位化50万元买回一台高科技设备. 根据对这种型号设备的跟踪调查显示, 该设备投入使用后, 若将养护和维修的费用均摊到每一天, 则有结论: 第天应付的养护和维修费为元.
(1) 如果将该设备从开始投入使用到报废所付的养护费, 维修费及设备购买费之和均摊到每一天, 叫做日平均损耗. 请你将日平均损耗(元)表示为(天)的函数;
(2) 按照此行业的技术和安全管理要求, 当此设备的日平均损耗达到最小值时, 就应当报废. 问该设备投入使用多少天应当报废?
注: 在解本题时可能要用到以下两个知识点, 如果需要可直接引用结论.
① 对于任意正整数, 有;
② 对于任意正常数和正实数, 有, 当时, 函数可取到最小值.
2005年杭州市中小学教师教学能力水平考核
初中数学参考答案
第一部分（30分）
1．要点：
经历：组织一些特定的课堂数学活动，通过合作交流等学习方式，使学生获得一些初步的解决问题的经验；（可举例说明，下同）
体验：让学生通过动手实践等学习方式，在具体的数学情景中初步认识对象的特征，获得一些经验；
探索：激发学生的学习兴趣，在一些探索性的教学过程中，通过观察、实验、推理等活动中，发现对象的某些特征或与其他对象的区别与联系。
2．要点：
数学与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的发展，使得数学可以更好地帮助我们探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为我们交流信息提供了一种有效而简捷的手段。
在数学课程的设计中，应充分考虑计算器对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的，探索性的数学活动中。
第二部分（30分）
3．转化包括等价转化和非等价转化两种，等价转化要求过程中的前因后果是互相可逆推的；但并不是所有的转化都是等价的，因此在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性，如出现不等价转化，则需附加约束条件。
举例要体现化归思想，有代表性。
4．目标：1）增加识别等腰三角形的方法；2）与等腰三角形的性质作比较；3）引申到等边三角形的判定。
重点难点：第一次利用辅助线证明或折叠对称合情说理。
注意事项：1）添辅助线的意义，表述和要求；2）合情说理和演绎证明的关系；3）等边对等角和等角对等边的互逆关系；4）等边三角形和等腰直角三角形两个特例；5）与实际问题联系。
5．含义：发现学习是教师启发学生独立发现事物意义的学习；接受学习是教师引导学生接受事物意义的学习。
看法应包括两种学习方式的优势及限制，两种学习方式的综合运用，指出两种学习方式是课堂教学 可以共存的互补的。
第三部分（40分）
6．小学知识：0.1234, , 初中知识:, ,(0.1)432, 等;高中知识(sin1°)
;
7． 周长39.2
8. 正方形MNPQ边长为 (或0.0069)
9. 使用2000天时应当报废.
2006年杭州市中小学教师教学能力水平考核
初中数学试卷
应考教师须知：
本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
答题前，请在密封区内填写市(县)名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
加*号的试题, 申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做.
题 号
第一部分
第二部分
第三部分
总 分
得 分
第一部分（30分）
1．《数学课程标准》指出: 学生的数学学习内容应当是现实的, 有意义的, 富有挑战性的. 有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践, 自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.
请你从上面三种重要学习方式中选取一种, 展开谈谈其重要性, 并结合自己的教学，从理论和实践两个方面介绍你的做法.
2. 目前我们的新课程改革已基本进行了一轮, 从你的教学实践过程中, 你觉得义务教育的数学课程标准中有哪些理念和内容, 或者在我们具体执行课程标准的教学过程中有哪些做法,可以进行修改或改进? 提出你的修改建议和理由.
第二部分（30分）
3. 函数知识一直是中学代数内容的主线, 是研究代数, 三角, 数列, 方程和不等式等初等数学内容的基础, 函数思想又是数学解题中的重要思想, 这就决定了函数在中学数学中的重要地位.
请说明初中函数内容教学的要求, 并结合自己的教学, 谈谈利用函数思想解决问题
时, 重点要注意的问题是什么? 并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子.
4．“分式”的要求在新旧教材对比中变化比较大一些, 怎样从双基教学的目标出发, 让学生“入门”, 又不随意提高要求. 请你针对“分式(第1课时)”这一教学内容(浙教版七下7.1节), 写出教学设计过程中的教学目标, 重点难点和注意事项.
注意: 1. 也可以说明自己的教学设计根据的其它教材版本;
2. 不需整堂课的设计.
*5. (此题为申报高级职称的教师加试题)
有人认为数学可以作如下区分：“大众数学”和“精英数学”，与此相对应，又把数学分为“好数学”和“坏数学”. 这里，“大众”还是“精英”的标准是以“人人都能掌握”来判别，“好”还是“坏”的标准是以有用还是无用来判别.
请根据你的教学积累，结合数学教学，对此做一简单评述.
第三部分（40分）
6. (1) 写出3个形式不同的夹在100和101之间的无理数;
(2) 存在两个不同的非整数的有理数, 使得它们的和与商都是整数吗? 若存在, 写出这样的两个数; 若不存在, 请给出证明.
7. 已知和有公共的斜边在两侧），又分别是的中点, 且不重合.
(1) 线段和是否垂直? 请说明理由.
(2) 若, 求的长.
(第8题)
8. 已知直线与轴, 轴分别交于点, 以线段为直角边在第一象限内作等腰, . 且点为坐标系中的一个动点.
(1) 求三角形的面积;
(2) 证明不论取任何实数, 是一个常数;
(3) 要使得和的面积相等, 求实数的值.

9. 求抛物线绕点(3,0)旋转后所得抛物线的解析式. (提示: 答案应该是关于的二次函数，可以写成的形式.)
2007年杭州市教育局晋升职务
初中数学考试试卷
应考教师须知：
本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
答题前，请在密封区内填写市(县)名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
加*号的试题, 申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做.
题 号
第一部分
第二部分
第三部分
总 分
得 分
第一部分（30分）
新的数学课程的总体目标中提出: 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题, 增强应用数学的意识, 即我们所说的 “数学思考”. 请具体阐述关于目标中 “数学思考”的几个方面.
2. 你觉得在当前新课程新教材的课堂教学过程中, 主要应当从哪些方面着手来努力提高课堂教学效率? 抓住其中的一点加以展开.
第二部分（30分）
3. 在数学教学过程中，只有经常有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 才能将我们的数学学习提高到一个新的层次, 新的高度.
请结合自己的教学, 谈谈利用 “分类讨论”的思想解决问题的要点和步骤, 并举出
两个你印象最为深刻的利用分类讨论思想解题的例子.
4．“方程”是算术到代数内容的一次飞跃, 方程知识也是基础中的基础. 请你针对“一元一次方程(第1课时)”这一教学内容(浙教版七上5.1节), 写出教学设计过程中的教学目标, 重点难点和注意事项.
注意: 不需整堂课的设计.
*5. (此题为申报高级职称的教师加试题)
命题是每一位教师必需要做的一项工作，请结合一次期终考试，谈谈你的命题原则，简单介绍你的命题方法，并编制两道符合课程标准的考试用题，具体要求如下：
第一道：考查两个知识点以上的选择题，第二道：考查综合能力的填空题.（写出题目后，要注明安排此题的目的）.
第三部分（40分）
6. 自2000年扑克牌24点游戏进入我市中考试题以来, 24点游戏已经成为训练数学思维
的一种极好素材. 作为教师当然应该高于学生一等. 请只用“＋、－、×、÷”四种运算,
完成下面给出的4组数的24点计算. (其中的J, Q, K分别表示11, 12,13)
(1) 2, 6, J, Q; (2) 1, 7, K, K; (3) 1, 5, 5, 5; (4) 1, 3, 4, 6.
7. 一个等腰三角形的腰为, 底为, 另一个等腰三角形的腰为, 底为. 若这两个等腰三角形的顶角互补, 求的值.
8. 在直角梯形中, , 高(如图1). 动点同时从点出发, 点沿运动到点停止, 点沿运动到点停止, 两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点到达点时, 点正好到达点. 设同时从点出发, 经过的时间为(s)时, 的面积为 (如图2). 分别以为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点在边上从到运动时, 与的函数图象是图3中的线段.
(图1) (图2) (图3)
(第8题)
分别求出梯形中的长度;
写出图3中两点的坐标;
分别写出点在边上和边上运动时, 与的函数关系式(注明自变量
的取值范围).

9. 在坐标平面上, 纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点. 试在二次函数
的图象上找出满足的所有整点, 并说明理由.
2008年杭州市教育局晋升职务
初中数学考试试卷
应考教师须知：
本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
答题前，请在密封区内填写市(县)名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
加*号的试题, 申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做.
题 号
第一部分
第二部分
第三部分
总 分
得 分
第一部分（30分）
简述数学课程标准中关于 “评价” 的目的以及主要的关注点. 你自己在新课程教学过
程的评价方面有哪些新的做法?
2. 义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程. 请谈谈你在课堂教学中有效地组织学生活动方面的指导思想、遵循原则和方式方法等内容.
第二部分（30分）
3. 浙教版八下教材第4章从《路边苦李》的故事引出了“反证法”的推理方法, 反证法是在推理证明中的一种重要的间接证法.
请先说说“反证法”的思路步骤, 再结合自己的教学, 举出一个例子, 用直接证明
和“反证法”两种方法加以证明(不要再举课本上平行线传递性的例子).
4．“圆”是最重要最特殊的几何图形之一, 圆的基本性质又是基础中的基础. 请你针对“圆(第2课时)”这一教学内容(浙教版九上3.1节-2), 写出教学设计过程中的教学目标, 重点难点和注意事项.
注意: 不需整堂课的设计.
*5. (此题为申报高级职称的教师加试题)
有教师说：在时间为定值的课堂教学中，采用“自主探索、动手实践、合作交流”的学习数学方式，会使教师的讲授时间减少，或完成的知识传授量减少，或完成不了教学预设.
请根据数学课程标准，结合你的教学，对该说法做一简单论述.
第三部分（40分）
(第6题)
6. 正方体有6个面, 8个顶点, 12条棱. 现有一个棱长为3的正方体.
(1) 求这个正方体的表面积;
(2) 如果在这个正方体中截去一个棱长为1的小正方体, 求剩下部分的表面积.
(第7题)
7. 在直角坐标系中，设点，点(均为非零常数). 平移二次函数的图象, 得到的抛物线满足两个条件: ① 顶点为; ② 与轴相交于两点(). 连接.
(1) 是否存在这样的抛物线，使得请你作出判断，并说明理由；
(2) 如果, 且，求抛物线对应的二次函数的解析式.
8. 已知是半圆的直径, 点在的延长线上运动(点与点不重合), 以为直径的半圆与半圆交于点, 的平分线与半圆交于点.
(1) 求证: 是半圆的切线(图1);
(2) 作于点(图2), 猜想与已有的哪条线段的一半相等, 并加以证明;
(3) 在上述条件下, 过点作的平行线交于点,当与半圆相切时(图3),
求的正切值.

9. 国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：再下10局棋，每局胜方得1分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到5.5分便夺冠，不继续比赛；若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲得4.5分，乙得3.5分. 若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，求甲夺冠的概率.

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