资源简介

第一章集合、逻辑用语、不等式 2
专题 1、基本不等式拓展 1 (不等式链) 2
专题 2、基本不等式拓展 2 (维数问题) 3
专题 3、多次使用基本不等式 4
专题 4、多元条件等式求最值问题 1 5
专题 5、多元条件等式求最值问题 2 6
专题 6、多元条件等式求最值问题 3 7
专题 7、万能 k 法 1(判别式不等式) 8
专题 8、万能 k 法 2(综合问题) 9
第二章函数 10
专题 1、对勾函数 10
专题 2、飘带函数 11
专题 3、一次型分式函数 12
专题 4、二次型分式函数 13
专题 5、单绝对值型函数 14
专题 6、双绝对值型函数 15
专题 7、max、min 函数 1(单元问题) 16
专题 8、max、min 函数 2(多元问题) 17
专题 9、几个特殊函数 1 18
专题 10、几个特殊函数 2 19
专题 11、抽象函数问题 1(模型) 21
专题 12、抽象函数问题 2(方法) 23
专题 13、函数性质综合 1(对称性) 24
专题 14、函数性质综合 2(周期性) 25
专题 15、类周期问题 26
专题 16、复合函数零点问题 27
第三章导数 28
专题 1、三次函数 1 28
专题 2、三次函数 2* 30
专题 3、导数下的函数性质 1(原函数到导函数) 32
专题 4、导数下的函数性质 2(导函数到原函数) 33
专题 5、切线结论推广 34
专题 6、两曲线公切线 35
专题 7、双参切线问题 37
专题 8、切线条数问题 39
专题 9、不等式证明之切线放缩 40
专题 10、不等式证明之凹凸反转 41
专题 11、不等式证明之满参放缩 42
专题 12、恒成立求参之必要性探路 43
专题 13、恒成立求参之端点效应 44
专题 14、恒成立求参之主元技巧 45
专题 15、对数单身狗 46
专题 16、指数找基友 47
专题 17、指对要分离 48
专题 18、部分同构 49
专题 19、整体同构 50
专题 20、双变量之同构 51
专题 21、双变量之消元法 52
专题 22、双变量之换元法 53
专题 23、比大小问题 1(中间值、作差作商) 54
专题 24、比大小问题 2(构造函数) 55
专题 25、比大小问题 3(放缩法) 56
专题 26、比大小问题 4(估算法) * 57
专题 27、函数放缩公式拓展 * 58
专题 28、函数图像拓展 * 61
第四章三角 66
专题 1、积化和差、和差化积公式教材必修一P230 66
专题 2、三倍角公式 68
专题 3、万能公式 69
专题 4、三角函数单参 ω 问题 70
专题 5、三角函数双参问题 72
专题 6、绝对值型三角函数 73
专题 7、分式型三角函数 74
专题 8、复杂型三角函数 75
专题 9、三角形角的拓展结论 76
专题 10、三角形中线问题 77
专题 11、三角形角平分线问题 78
专题 12、三角形中倍角问题 79
专题 13、三角形中张角定理 80
专题 14、三角形面积公式 81
专题 15、三角形最值问题经典模型 83
专题 16、三角形设元技巧 84
第五章平面向量与复数 85
专题 1、爪子定理 85
专题 2、极化恒等式 86
专题 3、向量等值线 1 87
专题 4、向量等值线 2 88
专题 5、三角形四心 90
专题 6、奔驰定理 91
专题 7、平形四边形结论 92
专题 8、矩形结论 93
专题 9、复数拓展 1 (棣莫弗公式) 94
专题 10、复数拓展 2 (代数学基本定理) 95
第六章数列 96
专题 1、通项问题之不动点法 96
专题 2、通项问题之特征根法 97
专题 3、通项问题之数学归纳法 98
专题 4、求和问题之差比数列 99
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专题 5、求和问题之错位相减法拓展 100
专题 6、裂项相消法拓展 101
专题 7、数列不等式证明之放缩法 102
专题 8、数列中计数问题 103
专题 9、数列中不定方程问题 104
专题 10、双数列 1(一分为二型) 105
专题 11、双数列 2(合二为一型) 106
专题 12、双数列 3(连环递推型) 107
第七章立体几何 108
专题 1、外接球问题 108
专题 2、内切球问题 109
专题 3、单线段最值问题 110
专题 4、线段和最值问题 1(蚂蚁路线) 111
专题 5、线段和最值问题 2(将军饮马) 113
专题 6、线段倍数最值问题 * 114
专题 7、轨迹问题 1(平行、垂直) 115
专题 8、轨迹问题 2(等距、等角) 116
专题 9、轨迹问题 (翻折、投影) 117
专题 10、轨迹问题 4(阿氏圆/ 球) 118
专题 11、截面问题 1 119
专题 12、截面问题 2 121
专题 13、正方体截面问题 122
专题 14、球截面问题 123
专题 15、证明之四点共面 124
专题 16、证明之线面平行 125
专题 17、证明之无棱交线 126
专题 18、平面拓展技巧 127
专题 19、建系技巧 128
专题 20、动点探索问题假设技巧 129
第八章解析几何 130
专题 1、定比分点公式 130
专题 2、两直线夹角公式 131
专题 3、米勒最大角 132
专题 4、隐含圆 1 之阿氏圆 133
专题 5、隐含圆 2 134
专题 6、两圆相减几何意义 135
专题 7、圆锥截面问题 136
专题 8、丹德林双球模型 137
专题 9、圆锥曲线第二定义 138
专题 10、圆锥曲线第三定义 139
专题 11、圆锥曲线焦半径 1(坐标式) 140
专题 12、圆锥曲线焦半径 2(角度式) 141
专题 13、圆锥曲线焦点弦 1(坐标式) 142
专题 14、圆锥曲线焦点弦 2(角度式) 143
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专题 15、圆锥曲线焦点弦比值 144
专题 16、圆锥曲线焦点三角形内外切圆 145
专题 17、圆锥曲线光学性质 146
专题 18、双曲线渐近线 147
专题 19、轨迹问题 - 参数法 148
专题 20、轨迹问题 - 交轨法 149
专题 21、抛物线运算法 150
专题 22、点乘双根法 152
专题 23、齐次化法 153
专题 24、同构法 154
专题 25、定比点差法 155
专题 26、参数法 156
专题 27、面积问题 1 157
专题 28、面积问题 2 158
专题 29、面积问题 3 159
专题 30、斜率问题结论 160
专题 31、切线问题结论 165
专题 32、相关圆问题结论 169
第九章统计与统计案例 171
专题 1、混合数据问题 171
专题 2、异常数据问题 173
专题 3、统计公式变形证明 175
专题 4、独立假设检验问题 177
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 178
专题 1、枚举法 178
专题 2、隔板法 179
专题 3、比赛赛制问题 1 180
专题 4、比赛赛制问题 2 181
专题 5、比赛赛制问题 3 182
专题 6、概率中的递推问题 1 183
专题 7、概率中的递推问题 2 184
专题 8、概率中的递推问题 3 185
专题 9、概率中的递推问题 4 186
专题 10、概率中的递推问题 5 187
专题 11、概率最大问题 1 188
专题 12、概率最大问题 2《极大似然专题》 189
专题 13、概率最大问题 3 190
专题 14、概率最大问题 4 191
专题 15、期望方差性质 1 192
专题 16、期望方差性质 2 193
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第一章集合、逻辑用语、不等式
专题 1、基本不等式拓展 1 (不等式链)
【要点分析】
1 ．基本不等式链：已知a > 0，b > 0，当且仅当 a = b 取等号)，
即：调和平均数 < 几何平均数 < 算术平均数 < 平方平均数，简记为：调几算方.
2 ．对数平均不等式：若 a > b > 0，b <
即：调和平均数 < 何平均数 < 对数平均数 < 算术平均数 < 平方平均数，简记：调几对算方.
【例题分析】
例1. (2022·全国新课标 2 卷 12 题) 若 x，y 满足 x2 + y2 -xy = 1 ，则 ( )
A. x + y ≤ 1 B. x + y ≥-2 C. x2 + y2 ≤ 2 D. x2 + y2 ≥ 1
例2. 求证：ln (n+1( < 1 + < ln (2n +1( .
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专题 2、基本不等式拓展 2 (维数问题)
【要点分析】
1 ．基本不等式推广 1：三维均值不等式
若 a，b，c > 0 ，则 当且仅当 a = b = c 取等号.
2 ．基本不等式推广 2：n 维均值不等式 设 ai > 0(i =1,2,3, n( ：
(1) 调和平均数：Hn =
(2) 几何平均数：Gn =
(3) 代数平均数：An =
(4) 平方平均数：Qn = ；
均值不等式：Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn ，等号成立的条件均为：a1 = a2 = a3 = = an ；
特别的，当n = 2 时，G2 ≤ A2 即基本不等式.
【例题分析】
例1. 求解以下最值问题：
当 x ∈ (0,+∞( 时，求 x2 + 的最小值.
(2) 已知 x，y 均为正数，且x +y = 1 ，求 xy2 的最大值；
(3) 若 x，y，z 为正实数，且满足 x+ 2y + 3z = 1 ，求 xyz 的最大值.
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专题 3、多次使用基本不等式
【要点分析】
多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握．当目标式中有 的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基 本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.
【例题分析】
例1. 已知两个正实数 x、y ，满足 x + y = 4 ，求 的最小值 . 例2. 若a > 0，b > 0 ，则 + + b 的最小值为 .
例3. 已知 a > 0，b > 0，c > 2 ，且 a + b = 2 ，那么 的最小值为 .
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专题 4、多元条件等式求最值问题 1
【要点分析】
在代数问题中，若未知数多，问题解决起来难度大，所以要考虑处理未知数的办法，常见的有：消元法，换元 法，几何意义法.
1 ．消元方法
若题目中出现变量间的关系 (等式)，则可利用等式进行消元，在消元过程中要注意以下几点：( ) 确定主元： 主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围 (即称为函数的定义域)；二是构造出的函数 能够解得值域 (函数结构不复杂)；
(2) 注意范围：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担．例如选择 t 为主元，且有 x =f (t( ，a ≤ x ≤ b 则 t 除了满足自身的范围外，还要满足 a ≤f (t(≤b (即解不等式)；
2 ．换元方法
(1) 整体换元：
常见的如 ，y -x 等；例如在 中，可变形为 ，设 t = 则将问题转化为求
的值域问题；
(2) 三角换元：
已知条件为关于 x，y 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将 x，y 的表达式转化为三角函数表达式来求 得范围．因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见 的三角换元有：
①平方和：联想到正余弦平方和等于 1，则有：x2 +y2 = 1
@平方差：联想到正割与正切的平方差为 1，则有：x2 -y2 = 1 ;
3 ．数形结合
(1) 线性式 - - 与纵截距相关z = ax + by
可理解为 ，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意 b 的符号；
(2) 斜率式 - - 与斜率相关
可理解为z 是条件中的点 (x，y) 与定点 (a，b) 连线的斜率；
(3) 距离式 - - 与距离相关z = (x-a(2 + (y -b(2
可理解为z 是条件中的点 (x，y) 与定点 (a，b) 距离的平方；
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专题 5、多元条件等式求最值问题 2
【要点分析】
形如：已知Ax + By + Cxy + D = 0 ，求 ax ± by，xy 等的最值？
法 1：基本不等式；法 2：因式分解 + 基本不等式法；法 3：消元 + 基本不等式法；
法 4：判别式法；法 5：数形结合；
【例题分析】
例1. 若 x，y 均为正数，且 x+ 2y + 2 = 2xy ，则 x+ 2y 的最小值为 .
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专题 6、多元条件等式求最值问题 3
【要点分析】
形如：已知Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F ，求 ax ± by，mx2 + ny2 等的最值？
法 1：基本不等式；法 2：柯西不等式；法 3：判别式法；
法 4：消元方法；法 5：换元方法；法 6：数形结合；
【例题分析】
例1. 设实数 x、y 满足 4x2 - 2xy + y2 = 8 ，求 2x + y 的最大值 .
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专题 7、万能 k 法 1(判别式不等式)
【要点分析】
1 ．判别式不等式
在题目给定关于 x，y 的一个二次式，要求另一个代数式的值，可以直接令所求式子等于 k ，然后用 x 表示 y , 代入已知，得到一个关于 x 的一元二次方程，利用判别式大于等于 0，得到一个关于 k 的不等式，解出 k 的范 围即可．此法即称为判别式法，也俗称万能 k 法 (好用，但并非万能，有适用范围，见备注)
2 ．应用
适用：k 法后能化成一元二次方程的不等式题型； 原理：利用一元二次方程有实数根时 Δ ≥ 0 ；
步骤：(1) 问谁设谁：求谁，谁就是 k ；并找出变量具体范围；
(2) 代入整理：整理成某个变量的一元二次方程；
(3) 确认最值：方程有实数根时 Δ ≥ 0 ，解出最值并把 k 代入方程验证.
3 ．并非万能！
上述做法默认的是二次函数在 R 上有零点从而 Δ ≥ 0 ，但实际函数里面的变量范围不一定是 R ，很多时候 变量都有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如果直接用 Δ ≥ 0 计算的答案就有可能出 错；这种题目不多，导致有些同学认为 k 法万能.
【例题分析】
例1. 已知正实数 x，y 满足等式 x+ y + 8 = xy ，若对任意满足条件的 x，y ，求 x+ y 的最小值 . 例2. 例 2 ．已知 a + b + c = 0，a2 + b2 + c2 = 4 ，则 a 的最大值为 .
例3. 已知 2m2 + 3n2 = 6n ，则m2 + n2 的最大值为 .
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专题 8、万能 k 法 2(综合问题)
【要点分析】
1 ．万能 k 法
万能 k 法并不是完全就是判别式法.
在判别式法专题中，因为碰到的条件是二次的，所以错觉是万能 k 法就是判别式法．万能 k 法本质是把二元 问题假设为 k ，然后代入条件进行消元处理：
(1) 若碰到的条件是二次的，我们在求最值时就是利用判别式来处理，此时等价于判别式法；
(2) 若碰到的条件是三次的，我们在求最值时就要利用导数等工具了，此时判别式失效.
2 ．应用
适用：k 法后能化成消元的问题；
步骤：(1) 问谁设谁：求谁，谁就是 k ；并找出变量具体范围；
(2) 代入整理：整理成某个变量的方程；
(3) 利用导数等工具确认最值，解出最值并把 k 代入方程验证.
【例题分析】
例1. (2024·辽宁大连·一模) 已知实数 a > 0，b > 0 ，且 ab (a+8b( = 4 ，则 a + 4b 的最小值为 .
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第二章函数
专题 1、对勾函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax + ，(ab>0( 的函数称为对勾函数，又称“双勾函数” .
2 ．图像：是一种类似于反比例函数的一般双曲函数.
3 ．性质：
a > 0，b > 0 a < 0，b < 0
图像 (
O
x
) (
y
) (
y
) O x
定义域 {x ∣ x ≠ 0} ； {x ∣ x ≠ 0} ；
值域 {y ∣ y ≥ 2 ab ，y ≤-2 ab } ； {y ∣ y ≥ 2 ab ，y ≤-2 ab } ；
渐近线 直线 y = ax ，直线 x = 0 ； 直线 y = ax ，直线 x = 0 ；
对称性 奇函数，对称中心 (0,0)； 奇函数，对称中心 (0,0)；
单调性 递增区间 ,+∞( ；递减 区间 ,0( 和 (0, 递增区间 (- ,0( 和 (0, ；递 减区间 (-∞,- 和 ( ,+∞( ；
4 ．变式：有些看起来不能用对勾函数，实际上变形后也可以用，比如如下：
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【例题分析】
例1.(2021 年乙卷文 9) 下列函数中最小值为 4 的是
A. y = x2 + 2x + 4
C. y = 2x + 22-x
( )
例2. (2017 年浙江) 已知 a ∈ R ，函数f (x( = |x + -a| + a 在区间 [1,4[ 上的最大值是 5，则 a 的取值范围
专题 2、飘带函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax + ，(ab<0( 的函数称为“飘带函数” .
2 ．图像：是一种双曲函数.
3 ．性质：
a > 0，b < 0 a < 0，b > 0
图像 (
y
) (
O
)x (
y
) (
O
)x
定义域 {x ∣ x ≠ 0} ； {x ∣ x ≠ 0} ；
值域 R ； R ；
渐近线 直线 y = ax ，直线 x = 0 ； 直线 y = ax ，直线 x = 0 ；
对称性 奇函数，对称中心 (0,0)； 奇函数，对称中心 (0,0)；
单调性 递增区间 (-∞,0( 和 (0+∞( ；无递减区 间； 递减区间 (-∞,-0( 和 (0,+∞( ；无递增区 间：
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4 ．变式：有些看起来不能用飘带函数，实际上变形后也可以用，比如如下：
5 ．重要放缩不等式：
当 x ∈ (0,1( 时， ( < lnx . 当 x ∈ (1,+∞( 时， ( > lnx .
【例题分析】
例1. (2008 年宁夏海南文 21) 设函数f (x( = x - ，求证：过曲线f (x( 上任意
一点的切线与直线 x = 0 和直线y = x 所围成的三角形面积为定值.
(
y
) (
(
x
-
1
x
)
)y =
y =lnx
(
1
) (
O
)x
专题 3、一次型分式函数
【要点分析】
1 ．定义：形如函数f (x( = (c≠0,ad ≠ bc(称为一次型分式函数；
2 ．图像：本质是反比例函数平移，也是双曲线；有垂直渐近线、水平渐近线，对称中心 ；
3 ．性质：
图像
定义域 {(x ( x ≠- ({( ； {(x ( x ≠- ({( ；
值域 ( {y ( y≠ ({( ； ( {y ( y≠ ({( ；
渐近线 直线 x =- ，y = ， 直线 x =- ，y = ，
对称性 对称中心 ， 对称中心 ，
单调性 递减区间 ( 和 (- ,+∞( 递增区间 (-∞, -
备注：作图要点：一作竖线，二作水平线，三取特殊点 四画图可得.
【例题分析】
例1. (2021 全国乙卷理 4) 设函数f (x( = 则下列函数中为奇函数的是 ( )
A. f (x-1( - 1 1 B. f (x-1( + 1 C. f (x+1( - 1 D. f (x+1( + 1
例2. 函数f (x( = 的值域为 .
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专题 4、二次型分式函数
【要点分析】
1 ．定义：把y = 二次函数 (一次函数) 、y = 二次函数 (次函数) 、y = 二次函数 (二次函数) 统称为“二次型分式函数”；
2 ．求函数最值方法：
通常有均值不等式法、判别式法、求导法等．在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求 导法作为备选方案.
【例题分析】
例1. 函数y = (x>1( 的最小值为 .
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专题 5、单绝对值型函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = a|x-h| + k 的函数，叫做绝对值函数；
2 ．图象：“V”字型图像；
3 ．性质：
a > 0 a < 0
图像
定义域 R R
值域 {y ∣ y ≥ k} {y ∣ y ≤ k}
对称性 对称轴 x =h 对称轴 x =h
单调性 递减区间 (-∞,h( ，递区间 (h,+∞( 递增区间 (-∞,h( ，递减区间 (h,+∞(
备注：开口、顶点、对称轴类比函数f (x( = a(x-h(2 + k .
【例题分析】
例1. (2004 上海高考) 若函数f (x( = a|x-b| + 2 在 [0, +∞) 上为增函数，则实数 a、b 取值范围是
例2.(2007 年全国高考) 图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )
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D. y = 1 - |x-1| (0≤x ≤ 2(
专题 6、双绝对值型函数
【要点分析】
1 ．双绝对值和
f (x( = |x-a| + |x-b| f (x( =m|x-a| +n|x-b| (m,n >0(
图 像 m > n > 0 时
0 特 点 平底锅型 在 [a,b[ 上取得最小 值 尖底型 在系数较大处的绝对值为 0 时取得最小值
2 ．双绝对值差
f (x( = |x-a| - |x-b| f (x( =m|x-a| -n|x-b| (m,n >0(
图 像
特 “Z” 字型 在x ≤ a，x ≥ a 上取得 尖底型 减号不看，只看 m，n ，在系数较大处的绝对值
点 最值 为 0 时取得最值
备注：若是f (x( =-|x-a| + |x-b|，f (x( =-m |x-a| + n |x-b| (m,n >0( ，只是如上双绝对值差的相反情 况，分析省略.
补充：三绝对值函数：f (x( = |x-a| + |x-b| + |x-c| (其中a【例题分析】
例1. (2014·安徽·高考) 若函数f (x( = |x+1| + |2x +a| 的最小值 3，则实数 a 的值为 ( )
A. 5 或 8 B. - 1 或 5 C. - 1 或 -4 D. - 4 或 8
例2. (2022·浙江·高考) 已知 a，b ∈ R ，若对任意 x ∈ R，a|x-b| + |x-4| - |2x-5| ≥ 0 ，则 ( )
A. a ≤ 1，b ≥ 3 B. a ≤ 1，b ≤ 3 C. a ≥ 1，b ≥ 3 D. a ≥ 1，b ≤ 3
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专题 7、max、min 函数 1(单元问题)
【要点分析】
1 ．定义：如y = max{f (x( ,g(x({，y = min{f (x( ,g(x({ ，称为最大值函数、最小值函数；
2 ．图像：y = max{f (x( ,g(x({是保留两者最高的图象，最后得到最大值函数的图象；y = min{f (x( ,g(x({ 是保留两者最低的图象，最后得到最小值函数的图象；
3 ．性质：max{f1,f2,f3{ ≥ ≥ min{f1,f2,f3{ ，其中 a1，a2，a3 > 0 ． (加权不等式)
4 ．方法：
如求最大值函数的最小值，一般有两种：
(1) 代数方法，通过比较大小，得到在定义域内不同区间的函数值最大的函数，由此得到一个分段函数，求此 分段函数各段的最小值，比较这些最小值，取其最小者作为最大值函数的最小值；
( 2 ) 几何方法，在同一坐标系内画出各函数图象，比较图象的高低位置，保留最高的图象，最后得到最大值 函数的图象，观察此图象的最低点的纵坐标，得到最大值函数的最小值.
【例题分析】
例1. 用 max{a ,b} 表示 a，b 两个数中的最大值，设函数f (x( = max{(( |x| , ({( (x>0( ，则f (x( 的最小值是
.
例2. 已知函数y = max{a,b,c} ，设f (x( = max{x2 ,|x-1| ,3x{ ，则f (x( 的最小值为 .
·19 ·
专题 8、max、min 函数 2(多元问题)
【要点分析】
三元线性规划复合最值问题
【例题分析】
例1.(2024 年九省联考 14 题) 以 maxM表示数集M 中最大的数．设 0 < a < b < c < 1 ，已知 b ≥ 2a 或a + b ≤ 1 ，则 max{b - a,c -b,1 - c} 的最小值为 .
·20 ·
专题 9、几个特殊函数 1
【要点分析】
1 ．取整函数：y = [x[ ，表示不超过 x 的最大整数．性质：
①定义域：R ；
②值域：y ∈ Z ；
③图象：台阶型线段；
2 ．小数函数：y= {x} ，表示 x 的小数部分. 性质：
①定义域：R ；
②值域：[0,1) ；
③周期性：T = 1 ；
备注：
① x = [x[+ {x} ；
② x - 1 < [x[≤x < [x[ + 1 ；
④ x，y ∈ R ，有 [x[ + [y[≤ [x+y[ .
双曲正弦函数:sinh (x( =
3 ．常见双曲函数：双曲余弦函数:cosh (x( =
双曲正切函数:tanh (x( =
(1) 性质：基础性质如图；
(2) 备注：关系：cosh2 (x(-sinh2 (x( = 1，tanh (x( =
另，有类似三角函数的两角和差性质：
① sinh (x±y( = sinh (x(cosh (y(± cosh (x(sinh (y( ；
② cosh (x±y( = cosh (x(cosh (y(± sinh (x(sinh (y( ；
例题省略，见各种函数选填相关题.
·21 ·
专题 10、几个特殊函数 2
【要点分析】
4 ．符号函数：sgnx =
性质：
①定义域：R ；
②值域：{-1,0,1} ；
③奇函数；
④非单调函数；
⑤周期性：非周期函数.
5 ．狄利克雷函数：D(x( = 无理数 (有理数) .
(1) 性质：
①定义域：R ；
②值域：{0,1} ；
③偶函数；
④非单调函数；
⑤周期性：周期函数，但没有最小正周期.
(2) 备注：
①上图只是狄利克雷函数示意图，其图像其实是无法画出的 (不能画两条直线)；
②但是它的函数图像客观存在，并以y 轴为对称轴 (即偶函数)；
③它处处不连续，处处极限不存在；
④狄里克雷函数还是一个周期函数，但是却没有最小正周期，
它的周期是任意负有理数和正有理数.
6 ．狄利克雷函数：f (x( = 理数 (1) 性质：
①定义域：[0,1[ ；
②值域：{-1,0,1} ；
③关于x = 对称.
(2) 备注：
①从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都
·22 ·
变得越来越密集．根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。
* ②黎曼函数上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。 例题省略，见各种函数选填相关题.
·23 ·
专题 11、抽象函数问题 1(模型)
【要点分析】
1 ．常见的抽象函数模型
(1) 一次函数：
模型 1：若f (x±y( =f (x(±f (y( ，则f (x( =f (1(x ，(即f (x(为奇函数)； 模型 2：若f (x±y( =f (x( f (y( +m ，则f (x( = [f (1(±m[x m ；
(2) 反比例函数：
(3) 指数函数：
模型 1：若f (x+y( =f (x(f (y( ，则f (x( = [f (1([x，f (x( > 0 ；
模型 2：若f (x-y( = ，则f (x( = [f (1([x，f (x( > 0 ； 模型 3：若f (x+y( =mf (x(f (y( ，则f (x( = 模型 4：若f (x-y( =m ，则f (x( =m
(4) 对数函数：
模型 1：若f (xy( =f (x( +f (y( ，则f (x( =f (a(logax ；
模型 =f (x(-f (y( ，则f (x( =f (a(logax ；
模型 3：若f (xy( =f (x( +f (y( +m ，则f (x( = [f (a( +m[logax -m ；
模型 4：若f( ( =f (x(-f (y( +m ，则f (x( = [f (a(-m[logax +m ；
(5) 幂函数：
模型 1：若f (xy( =f (x(f (y( ，则f (x( = [f (a([logax ，代入f (a( 则可化简为幂函数；
模型 2：若f( ，则f (x( = [f (a([logax ，代入f (a( 则可化简为幂函数；
(6) 余弦函数：
模型 1：若f (x( +f (y( = 2f( ( ，则f (x( = cosωx ；
模型 2：若f (x+y( +f (x(-f (y( = 2f (x(f (y( ，则f (x( = cos ωx ；
模型 3：若f (x+y( +f (x(-f (y( = kf (x(f (y( ，则f (x( = cosωx ；
(7) 正切函数：模型：若f (x±y( = ，则f (x( =tanωx .
【例题分析】
例1. (2022 年新课标 2 卷 8) 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且f (x+y( +f (x-y( =f (x(f (y(，f (1( = 1 ，则
f (k( = ( )
·24 ·
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
·25 ·
专题 12、抽象函数问题 2(方法)
【要点分析】
1 ．赋值法
赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，赋值一般有以下几种：
(1) -2，-1，0，1，2 等特殊值代入求解；
(2) 通过f (x1(-f (x2( 的变换判定单调性；
(3) 令式子中出现f (x(及f (-x(判定抽象函数的奇偶性；
(4) 换 x 为 x+ T 确定周期性.
2 ．判断抽象函数单调性的方法
(1) 凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
(2) 赋：给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试，
①若给出的是“和型”抽象函数f (x+y( = , 判断符号时要变形为：
f (x2(-f (x1( =f ((x2 -x1( +x1(-f (x1(或f (x2(-f (x1( =f (x2(-f ((x1 -x2( +x2( ； @若给出的是“积型”抽象函数f (xy( = , 判断符号时要变形为：
3 ．判断抽象函数奇偶性的方法
(1) 赋：得到一些特殊点函数值，如f (0(，f (1(等，
(2) 凑：尝试适当的换元字母，构造出 x 和-x ，
①如f (x+y( ，可令y=-x ；@如f (xy( ，可令y=-1 等等；
(3) 通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧.
【例题分析】
例1. 已知函数f (x( 的定义域为R，f (xy( =y2f (x( + x2f (y( ，则 ( )
A. f (0( = 0 B. f (1( = 0 C. f (x( 是奇函数 D. f (x( 是偶函数
(
例
2
(
2022
年新课标
2
卷
8
)
已知函数
f
(
x
(
的定义域为
R
，且
f
(
x
+
y
(
+
f
(
x
-
y
(
=
f
(
x
(
f
(
y
(
，
f
(
1
(
=
1
，则
)f (k( = ( )
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
·26 ·
专题 13、函数性质综合 1(对称性)
【要点分析】
函数的重要性质包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，具体的性质定义和结论可以查看对应知识．对于对 称性，就是奇偶性的推广，一般的结论如下：
(1) 抽象函数下的结论：
① f (x+a( +f (b-x( = 2c y =f (x( 图像关于直线 ,c( 对称； @ f (x+a( =f (b-x( y =f (x( 图像关于直线 对称.
(2) 具体函数下的结论：通过适当的平移可以从奇偶函数得出具有对称性特征的函数，
如f (x( = 对称中心 (- , = ax3 + bx2 + cx + d 对称中心为 ,f(- ； f (x( = 对称中心 (loga|t|, (，f (x( = loga 对称中心 (,loga | |( 等.
【例题分析】
例1. 函数y = 的图像关于点 (3，c) 中心对称，则 b + c = .
例2. (2024 年新课标 1 卷 18) 函数f (x( = ln + ax + b (x-1(3 ． 证明：曲线 y =f (x( 是中心对称图
形.
例3. 已知f(x(是定义在R 上的增函数，且f (x( +f (-x( =-2 ，函数g(x( =f (x( + + x ，则g(x( 图
像关于 对称.
·27 ·
专题 14、函数性质综合 2(周期性)
【要点分析】
函数的重要性质包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，具体的性质定义和结论可以查看对应知识．对于周 期性，除了常见具有周期性特征的函数，如三角函数等；还要注意双对称函数：
( 1 ) 具体函数下的结论：主要是三角型函数；
(2) 抽象函数下的结论：主要型如f (x+T( =f (x(等变形结构的函数；
(3) 双对称函数下的结论：
① y =f (x(有两条对称轴 x = a 和 x = b(b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 2 (b-a( ；
② y =f (x(有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0((b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 2 (b-a( ；
③ y =f (x(有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b,0((b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 4 (b-a( ；
推论 1：偶函数y =f (x(满足f (a+x( =f (a-x( f (x(周期 T = 2a ； 推论 2：奇函数y =f (x(满足f (a+x( =-f (a-x( f (x(周期 T = 2a .
【例题分析】
例1. (2024·河北沧州·一模) 已知定义在R 上的函数f (x(满足：f (x( +f (2 -x( = 2，f (x(-f(4 - x) = 0 ，且
f (0( = 2 ．若 i ∈ N* ，则 f (i( = ( )
A. 506 B. 1012 C. 2024 D. 4048
例2. (2024·陕西榆林·一模改编) 定义在 R 上的周期函数f (x(，g(x( ，满足f (3 -x( =f (1 +x( ，g(2 -x( +
g (x( = 2，g(x + ( =f (2x( + 1 ，若f (x(，g(x( 的最小正周期分别记为 T1、T2 ，则 T1 + T2 =
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专题 15、类周期问题
【要点分析】
1 ．定义
周期函数的图象可以看成将函数f (x( 一个周期的图象向左或向右不断平移来得到．若在每次平移的同时， 还有横向或纵向的伸缩，这样形成的函数我们将其形象地称为仿周期函数.
2 ．图像
图像有横向或纵向的伸缩，或者有时同时进行变换，可仿三角函数得图像变换理解．仿周期函数问题解题 的关键是正确地画出函数f (x( 的图象，所以熟悉这类函数的图象特征是有必要的.
下面以两个具体的实例来给出常见的仿周期函数f (x( 满足的条件形式及其对应的图象．定义在 [1, +∞) 上的函数f (x(满足当x ∈ [1,2) 时，f (x( =-x2 + 3x - 2 ；
(1) 横向平移纵向伸缩：当 x≥ 2 时，f (x( = 2f (x-1( ，则f (x( 的大致图象如图 1 所示； 备注：f (x( = kf (x-1( 中，k > 1 则向右看，纵向拉伸；0 < k < 1 则向右看，纵向压缩；
(2) 横向平移横纵伸缩：当 x≥ 2 时，f (x( = 2f( ( ，则f (x( 的图象如图 2 所示；
图 1 图 2
【例题分析】
例1. (2019 年全国 2 卷理 12) 设函数f (x( 的定义域为 R ，满足f (x+1( = 2f (x( ，且当 x ∈ (0,1 ] 时，f (x( =
x(x-1( ．若对任意 ，都有f (x( ≥- 的取值范围是 ( )
A. (- B. C. (- D.
·29 ·
专题 16、复合函数零点问题
【要点分析】
1 ．定义
设 y = g (t( ，t = f (x( ，且函数g(x( 的值域为g(t(定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函 数，称y 是 x 的复合函数，记为y = g (f (x(( .
2 ．求函数值
复合函数函数值计算的步骤：求 y = g (f (x(( 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如已知 f (x( = 2x，g(x( = x2 - 2x ，计算g(f (2(( ．解答时先求f (2( = 4 ，所以g(f (2(( = g ( 4( = 12 .
3 ．求自变量
已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 x 的 值．例如已知f (x( = 2x，g(x( = x2 - 2x ，计算g(f (x(( = 0 ，求 x ？解答时由g(t( = t2 - 2t = 0 ，解得 t = 0 或 t = 2 ；再由f (x( = 0 和f (x( = 2 分别解得 x ∈ 和x = 1 .
4 ．复合函数零点：
类型 1：关于 x 的方程g(f (x(( = 0 根的个数
在解此类问题时，在处理问题的开始要作出f (x(，g(x( 的图像，要分为两层来分析：
(1) 第一层是解关于f (x( 的方程，观察有几个f (x( 的值使得等式成立；
(2) 第二层是结合着第一层f (x( 的值求出每一个f (x(被几个 x 对应；将 x 的个数汇总后即为g(f (x(( = 0 的 根的个数.
类型 2：已知g(f (x((零点个数求参数的范围
(1) 先估计关于f (x( 的方程g(f (x(( = 0 中f (x(解的个数；
(2) 再根据个数与f (x( 的图像特点，分配每个函数值fi (x(被几个fi (x(所对应，从而确定fi (x( 的取值范围， 进而决定参数的范围.
【例题分析】
例1. 若f (x( = x - 则方程f2 (x(-f (x( - 6 = 0 的实根个数为 .
例2. 若f (x( = |log2|>3 ，若m [f (x([2 - 3f (x( + 4m = 0 有 8 个不相等的实根，则实数m 的取
值范围为 .
·30 ·
第三章导数
专题 1、三次函数 1
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0( 叫做三次函数；
导函数f (x( = 3ax2 + 2bx + c ，把 Δ = 4b2 - 12ac 叫导函数的判别式.
2 ．图象：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0(有以下 6 种可能的图象：
a > 0 a < 0
f (x(
f (x(
3 ．零点个数
(1) 若f (x( = 0 的判别式 Δ ≤ 0 ，则f (x(在R 上是单调函数，无极值，值域为 (-∞,+∞( ；函数f (x( 在R 上 有唯一的零点.
(2) 若f (x( = 0 的判别式 Δ > 0 ，则f (x(有两个零点x1，x2 ，是函数f (x( 的极值点；
① f (x(有一个零点) f (x1(f (x2( > 0 ，如下图所示：
② f (x(有两个零点 f (x1(f (x2( = 0 ，如下图所示：
③ f (x(有三个零点 f (x1(f (x2( < 0 ，如下图所示：
4 ．对称中心：f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0(
(1) 三次函数一定有对称中心，为 (- ,f(-
·31 ·
(2) 三次函数对称中心横坐标为x0 ，两极值点为 x1，x2 ，则 f ’(x0( =- (x1 -x2(2 ；
(3) 三次函数 y = f (x( 图像关于点 (m，n) 对称，则 y = f ’(x( 图像关于轴 x = m 对称；例题省略，见各种函数 选填相关题.
·32 ·
专题 2、三次函数 2*
【要点分析】
5 ．切线条数：
过点P(m,n(可以作出三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 图象的几条切线，本质上是研究方程 n - f (x0( = f/ (x0((m-x0(根的个数．结论如下图所示：
6 ．三次函数的韦达定理
设f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的三个零点分别为 x1，x2，x3 ，则：
* 7 ．三次函数零点定理
定理 1：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图象与 x 轴交点分别为P1，P2，P3 ，点P 是
三次函数函象上异于 P1，P2，P3 的一点，且 y = f (x(在 P 点处的切线的斜率为 k0，PP1，PP2， PP3 的斜率分别为 k1，k2，k3 ，则 k0 = k1 + k2 + k3 ；
定理 2：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图象与 x 轴交点分别为P1，P2，P3 ，点P 是
三次函数中心对称点 (x0,f (x0((且处切线的斜率为 k0 ，f (x(在这三点处的切线的斜率分别为 k1，k2，k3 ， 则：
* 8 ．三次函数零点割线性质定理
定理 1：在三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图像上任取点P ，过P 作一条切线，切 点为 T ，过P 作一条割线，交点为M、N ，则有 T 点的横坐标平分M，N 的横坐标，即 xM + xN = 2xr ；
推论：在三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图像上任取点P ，过点P 作一条切线，切点为 T ，过点 P 作两条割线，交点分别为M，N 与R，S ，则 T 点的横坐标平分M，N 的横坐标，也平分R，S 的横坐标，即 2xT = xM + xN = xR + xS
定理 2：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a>0( 的中心对称点为点 P(x0,f (x0(( ，极大值为 m ，且f (x( = m 的两根为 x1，x2 (x1 < x2(，f (x( 的极小值点为 x3 ，区间 [x1,x2[被 x0 与 x3 平分，即 x2 -x3 = x3 -x0 = x0 -x1 (四段坐标差相等) .
·33 ·
例题省略，见各种函数选填相关题.
·34 ·
专题 3、导数下的函数性质 1(原函数到导函数)
【要点分析】
函数f (x( 的四性有单调性，奇偶性，对称性，周期性，分析可见一轮复习材料．近年高考热衷考察f (x( 与 f (x(关联性质，可作为进一步函数性质延申，有如下要点：
已知函数f (x(连续且可导：
1 ．若f (x(为奇函数，则f (x(为偶函数； 若f (x(为偶函数，则f (x(为奇函数.
2 ．若f (x( 的图像关于点 (a，b) 对称，则f (x( 的图像关于 x = a 对称； 若f (x( 的图像关于 x = a 对称，则f (x( 的图像关于 (a,0) 对称.
3 ．若f (x( 的周期为 T ，则f (x( 的的周期为 T .
备注：以上的性质都是从原函数f (x(到推理导函数f (x( ，逆向不一定成立.
【例题分析】
例1. 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且满足f (x( + f (3-x( = 4，f (x( 的导函数为g(x( ，函数 y = g ( 1+3x(
- 1 为奇函数，则g( 2024( = ( )
A. - 3 B. 3 C. - 1 D. 1
例2. (2022 新课标卷 12) 已知函数f (x(及其导函数f (x( 的定义域均为 R ，记g(x( = f (x( ，若f( -2x(
, g( 2+x(均为偶函数，则 ( )
A. f (0( = 0 B. g(- C. f (-1( = f (4( D. g (-1( = g ( 2(
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专题 4、导数下的函数性质 2(导函数到原函数)
【要点分析】
原函数f (x(到推理导函数f (x( ，函数的奇偶对称性质发生变化，但是从导函数f (x(到推理原函数f (x( ， 不一定成立．比如：若f (x(为偶函数，则f (x( 不一定为奇函数.
反例：若f (x( = x2 ，则f (x( = x3 + C ．其中 C ≠ 0 时，f (x( 不为奇函数. 原因：f (x( = x3 + C (C≠0( 中f (0( ≠ 0 ，其实若f (0( = 0 时，f (x( 是奇函数. 改进：若使相应性质成立，则需要附加条件，如下：
对于性质 1 4 ，若函数f (x( 是可导函数，定义域为D ，其导函数f (x( ： 性质 1：若f (x(为偶函数，若f (0( = 0 时，则f (x(为奇函数.
性质 2：若f (x(为奇函数，若f (x0( =f (-x0(时 (x0 任意) ，则f (x(为偶函数. 性质 3：若f (x( 的图像关于 x =m 轴对称，则f (x( 图像关于 (m,f (m((对称. 推论：若f (x(为偶函数，则原函数f (x(关于 (0,f (0((对称.
性质 4 ：若f (x( 的图像关于 (m，n) 对称， 当n≠ 0 时，函数f (x( 不具有对称性；
当n = 0 时，且 x0 ∈ D 使得f (x0( =f (2m-x0( ，此时f (x( 图像关于 x =m 对称.
性质 5：若f (x( 是周期函数，周期为 T ，若 x0 ∈ R ，使得f (x0 +T( =f (-x0( ，则函数f (x( 是周期函数，周 期为 T .
【例题分析】
例1. 设定义在R 上的函数f (x(与g(x( 的导数分别为f (x(与g (x( ，已知f (x( =g (3-x( - 1 ，f (x+1( =
g (x( ，且f (x( 关于直线 x = 1 对称，则下列结论一定成立的是 ( )
A. f (x( +f (2-x( = 0 B. f (2( = 0
C. g (1-x( =g (1+x( D. g (x( +g (2-x( = 0
·36 ·
专题 5、切线结论推广
【要点分析】
1 ．指数模型
ex ≥ x + 1 ex ≥ ex ex ≥ e2 (x-1( ..... . ex ≥ en+1 (x-n(
..... .
2 ．对数模型
lnx ≤ x - 1 ..... . lnx ≤ x + n
..... .
3 ．三角模型
sinx ≤ x x ≤ tanx cosx ≥ 1 - x2
【例题分析】
例1. 函数f (x( = ，若g(x( = f (x( -x + a 只一个零点，则 a 的取值范围是
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专题 6、两曲线公切线
【要点分析】
两曲线的公切线问题中，注意区分是否且是在公共点的切线．若是两个不同的切点，如图所示，问题比较综 合.
若直线 l:y = kx + b 与曲线y = f (x(和y = g (x(均相切，则求切线常见的方法有： 法 1：直线重合法：
步骤 1：分别假设两切点 (x1,y1( 、(x2,y2( ，分别求出两切线y = k1x + b1，y = k2x + b2 ，
步骤 2：因为是同一条切线，故可以列式 ，
步骤 3：两式有两个未知数，消去其中之一进行解答求解可得 (若不好解，构造函数求导分析)；法 2：切线等式 法；
步骤 1：分别假设两切点 (x1,y1( 、(x2,y2( ，令切线为y = kx + b ，
步骤 2：可得等式 ，且 ④
步骤 3：四式有四个未知数，消元只剩一个即可求解． (若不好解，构造函数求导分析) (通常是①③联立得⑥ , ②④联立得⑤ , 把②⑤或②④代入⑥可得)
【例题分析】
例1. 直线 l:y = kx + b 与函数曲线f (x( = 2lnx，g(x( =-x2 + 4x - 3 均相切，求直线 l 的方程 .
备注：本题实际是在相交处公共点的切线，但一开始并未知晓，所以要当两个不同切点处理．解：法 1：直线 重合法，省略；
法 2：设直线 l 与y = f (x( 的切点为 (x1,y1( ，与y = g (x( 的切点为 (x2,y2( ，
可得等式 2( ，且
消元得 k(x1⑤ ,再消 x2 得 2ln + 3 = 0 ； 令F(x( = 2lnx + x2 - 4x + 3，F,(x( = + 2x - 4 ，
当 x > 0，F,(x( = + 2x - 4 ≥ 2 - 4 = 0 ，仅当 = 2x 即 x = 1 时等号成立，
函数F(x(在 (0,+∞(上单调递增，且F( 1( = 2ln1 + 12 - 4 × 1 + 3 = 0 ，
所以方程 2ln + - + 3 = 0 有且只有一个实根，所以 = 1 ，即 x1 = 1 ， 代入y = x + 2lnx1 - 2 得y = 2x - 2 ，所以直线 l 的方程为y = 2x - 2 .
法 3：设直线 l 与曲线y = f (x( 的切点为 (x1,2lnx1( ，
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因为fl (x( = 所以曲线y = f (x(在点 (x1,2lnx1( 的切线方程为 x + 2lnx1 - 2 ，
又联立方程 2 ，得 x2 + ( -4(x + 2lnx1 + 1 = 0 ， 因为直线 l 与y = g (x(均相切，得 Δ = 0 ，得 ( -4(2 - 4( 2lnx1 +1( = 0 ， 即 + 3 = 0 ．下同法 2
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专题 7、双参切线问题
【要点分析】
若y = ax + b 是函数f (x( 的切线．因有双参数 a、b ，故无法准确求出具体 a、b 值，但可 以求出 a、b 代数式的最值．通常有如下方法：
1 ．代数法：利用切点 (x0,y0(表示参数a、b ，再代入所求代数式，实现消元，最后求最值；
2 ．几何法：寻找所求代数的几何意义，比如：
(1) a + b 表示切线y = ax + b 上横坐标为 1 的点的纵坐标；
(2) 表示切线y = ax + b = a L (Γ)|x-(- L (Γ)|在 x 轴上截距 - 的相反数.
【例题分析】
例1. 若直线y = ax + b 和f (x( = lnx 的图象相切，则 a + b 的最小值为 . 法 1：代数法
设y = ax + b 和f (x( 的图象相切于点P(x0,lnx0((x0 >0( ，
因为f,(x( = ，所以f (x( 的图象在点P 处的切线方程为y - lnx0 = (x-x0( ， 即 x + lnx0 - 1 ，从而 a = ，b = lnx0 - 1 ，所以 a + b = + lnx0 - 1 ，
所以 φ,(x( > 0 x > 1，φ,(x( < 0 0 < x < 1 ，
故 φ(x(在 (0,1) 上 ↘ ,在 (1,+∞( 上 ↗ ,从而 φ(x(min = φ (1( = 0 ，所以 a + b 的最小值为 0 . 法 2：几何法
如图，a + b 表示切线y = ax + b 上横坐标为 1 的点的纵坐标，
易得f (x(在 x = 1 处的切线方程为y = x - 1 ，对于这条切线，a + b = 1 + (-1( = 0 ， 而对于其它切线，显然切线上横坐标为 1 的点M必在 x 轴的上方，所以a + b > 0 ，
故 a + b 的最小值为 0 .
变式：若直线 y = ax + b 和 f (x( = lnx 的图象相切，则 的最小值为 ．解：y = ax + b y =
a-(+的值 (y)，a|Lx，-(- 切线在 x 轴上截距为 - ，所以欲寻找 的最小值，只需寻找横截距
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对于切线y = x - 1 ，其横截距为 1，而对于其它切线，横截距显然都小于 1，
所以切线的横截距 - 的最大值为 1，即 的最小值为 -1 .
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专题 8、切线条数问题
【要点分析】
通过导数工具可以求解函数切线，有时要求解满足要求的切线条数问题，或已知切线条数求参.
1 ．类型：过一点A(a,b( 的切线条数问题.
2 ．代数法步骤：
(1) 设切点为P(x0,y0( ，则斜率 k = f (x0( ；
(2) 利用切点和斜率写出切线方程为：y - y0 = f (x0((x-x0( ；
(3) 又因为切线方程过点A(a,b( ，点入切线得 b - y0 = f (x0((a-x0( ． (*( .
(4) 若是求解切线条数：方程有几个解，x0 有几个值，就有几条切线；
若是已知切线条数：几条切线则方程几个解，因此分析求解得参数范围.
3 ．几何法要点：注意图形的凹凸性、拐点、渐近线情况综合分析.
4 ．三次函数的切线问题结论可见对应三次函数专题.
【例题分析】
例1.(2022 年新课标 1 卷 15) 若曲线y = (x+ a(ex 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 .
例2. (2021 年新课标 1 卷 7) 若过点 (a，b) 可以作曲线y = ex 的两条切线，则 ( )
A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
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专题 9、不等式证明之切线放缩
【要点分析】
1 ．方法介绍
如图，y = x + 1 是 y = ex 在 (0,1) 处的切线，有 ex ≥ x + 1 恒成立；y = x - 1 是 y = lnx 在 (1,0) 处的切线，有 lnx ≤ x - 1 恒成立．在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于 ex，lnx 有关
的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果.
2 ．变形引申
(1) 由 ex ≥ x + 1 引出的放缩：
图① 图② 图③ 图④
(2) 由 lnx ≤ x - 1 (也可以记为 lnx ≤ x ，切点为 (1,0() 引出的放缩：图②
图① 图② 图③ 图④
【例题分析】
例1. 求证：当 x> 0 时，不等式 2ex- - lnx + 恒成立.
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专题 10、不等式证明之凹凸反转
【要点分析】
1 ．方法介绍
很多时候，我们需要证明f (x( > 0 ，但不代表就要证明f (x(min > 0 ，因为大多数情况下，f (x( 的零点是解不 出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果 隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f (x( > 0 ，可把f (x(拆分成两个函数g(x(，h (x( ，放在不等式 的两边，即要证g(x( >h(x( ，只要证明了g(x(min >h(x(max 即可，如图，这个命题显然更强，注意反过来不一 定成立．很明显，g(x(是凹函数，h(x(是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
2 ．分离关键
凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构 造差值函数不易求出导函数零点时 (当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离 (对数单身狗，指数 找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造 两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指 (对) 数函数和多项式组合的函数的图象与最值.
3 ．经典超越函数
f (x( = xex f (x( = xlnx
【例题分析】
例1. (2014·全国I 卷改编) 设函数f (x( = exlnx + (x>0( ． 证明：f (x( > ；
例2. 已知函数f (x( = elnx - ax(a∈R( ． (1) 省略；(2) 当 a = e 时，证明：xf (x( - ex + 2ex ≤ 0
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专题 11、不等式证明之满参放缩
【要点分析】
1 ．方法介绍
在含参不等式的证明问题中，有参数的存在，增加了问题分析的复杂程度．若借助参数范围，我们可以甩掉 参数带来的繁杂，直接去证明 (讨论) 一个不含参的不等式，这显然容易的多，这就是满参放缩的想法.
2 ．解题思路
满参放缩其意就是直接参数取边界值，进行放缩参数，注意不等式乘法的保号性，比如：(1) 当 x> 0 时，若 a
≥ 1 ，则 ax ≥ x，aex ≥ ex， ;若 a ≤ 1 ，则 ax ≤ x，aex ≤ ex， ; (2) 当 x > 0 时，若 a ≥ 时，显然 aex ≥ ex ，则f (x( = aex - lnx - 1 ≥ - lnx - 1 ；(3) 当 x > 0 时，若 a < 0 时，显然 ax < 0 ，则g(x( = ax - + sinx < sinx - ；
3 ．类型
(1) 含参不等式的证明问题，直接借参数范围满参放缩；
(2) 含参不等式的恒成立问题，利用必要性探路，或者端点效应等，先找到必要性条件，若找的合适，证充分 性时，已变成含参不等式的证明问题，再满参放缩． (具体例题可见端点效应中的例题 -2023 年全国甲卷文 21)
【例题分析】
例1. (2018 年全国 3 卷文 21) 已知函数f (x( = aex - lnx - 1 .
(1) 省略；(2) 证明：当a ≥ 时，f (x( ≥ 0 .
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专题 12、恒成立求参之必要性探路
【要点分析】
1 ．方法介绍
恒成立问题中，对于命题：“对于任意的x ∈ [a,b[ ，都有f (x( ≥ 0 恒成立，求参数范围．”由于参数不确定，给 我们讨论带来了极大的困难.
具体解决时，我们先从满足题意自变量范围中选择一个数，代入求得一个参数范围，此时这个范围是题意的 必要条件．这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性．这种方法是逻辑条件的充分 运用，因为先得到必要条件，故称为必要性探路法.
2 ．取值技巧
常见的选取技巧包括选取端点值、极值点、不等式公共取等条件、或取某一些特数值 (对数取 1，指数取 0，三 角取特殊角，常见常数 0、1、e、e2 )
3 ．类型
(1) 所得必要条件，即为充分条件，接下来证明充分性即可；
(2) 所得必要条件，仅缩小了范围，并非充分条件，但也减少了讨论的复杂程度；
【例题分析】
例1. (2022 届武汉九月调考) 已知函数f (x( = 2 (x-2(lnx + ax2 - 1 .
(2) 若f (x( ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
例2. (2020 全国 1 卷) 已知函数f (x( = ex + ax2 -x .
(2) 当 x≥ 0 时，f (x( ≥ x3 + 1 ，求 a 的取值范围.
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专题 13、恒成立求参之端点效应
【要点分析】
1 ．方法介绍
恒成立问题中，对于命题：“对于任意的x ∈ [a,b[ ，都有f (x( ≥ 0 恒成立，求参数范围．”这里的端点a，b ，往 往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应．端点效应的 核心思想是利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求.
2 ．解题思路
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步：
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数取值范围 (不等式恒成立的必要条件)；
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调；
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决；
若函数在限定参数范围内不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
3 ．类型
(1) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，则f (a( ≥ 0 或f (b( ≥ 0 .
(2) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，且f (a( = 0 (或 (b( =0( ，则f,(a( ≥ 0 或 (f,(b(≤0( .
(3) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，且 {(( f (f),(((00 或 {(( f (f),(((00 ，则f Ⅱ (a( ≥ 0 或 (fⅡ (b( ≥0(
.
4 ．伪端点效应
并非端点值为零的问题都可以用端点效应，可能会出现端点值为零的伪端点效应：
(1) 端点效应：有 φ(a( = 0，φ ,(a( = 0，φ Ⅱ (a( = 0 φn (a( ≥ (≤(0 ，且函数即其各阶导函数在给定区间内单 调
(2) 伪端点效应伪端点效应：有 φ(a( = 0， ;但函数及其各阶导函数不单调；
【例题分析】
例1. (2023 年全国甲卷文 21) 已知函数f (x( = ax - ，x ∈ (0,
(1) 当 a = 1 时，讨论f (x( 的单调性；(2) 若f (x( + sinx < 0 ，求 a 的取值范围. 例2. (2020 全国 1 卷) 已知函数f (x( = ex + ax2 -x .
当 x≥ 0 时，f (x( ≥ x3 + 1 ，求 a 的取值范围.
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专题 14、恒成立求参之主元技巧
【要点分析】
1 ．主元思想
许多数学问题，都含有常量、参量和变量，它们统称为元素，在这些众多的元素中，必有某个元素处于突出 的、主导的地位，我们在解题时便把这个元素看作是主元素．根据具体问题，从不同的思考角度出发，选择 适当的元素作为主元素，并以此为线索把握问题和解决问题的数学方法，称为主元法.
主元法的中心思想是：全力抓问题的主要矛盾或矛盾的主要方面，以此作为解决问题的思考线索和突破口， 进而把握整个问题，促成问题转化，直至彻底解决．它是唯物辩证法在数学解题中的一种体现．在诸多的 常量、参量与变量中，通过观察分析，弄清它们之间的相互依存关系，灵活、恰当地选择其中的某个元素作为 主元，是运用主元法解题的关键.
2 ．解题指导
运用主元法解题，关键是根据问题的特点，灵活地选择主元，其处理方法主要有：
(1) 从多个变元中，选择出一个恰当的变元作为主元素思考，视其他变元为参量，突出主要矛盾，促成问题转 化.
(2) 选取含有若干变元的表达式为主元素一一一集中变元，通过消去主元 (或非主元)，逐步减少变元个数，达 到解决问题的目的.
(3) 选取主变量为主元素，通过分离参数的方法，突出主元的地位，为解题创造有利条件.
(4) 突破思维定势，选取参数变量为主元素，反客为主，化难为易，以实现巧妙突破.
(5) 观察问题的数据特征，选取某一特殊常量为主元素，调整并理顺问题的内部结构和关系， 从而发现解题途径，提高解题功效.
【例题分析】
例1. 若x ∈ [-1,1[ ，关于 x 的不等式 x3 - 1 ≤ax2 + 2ax - a2 恒成立，则实数 a 的取值范围 . 例2. (2018 全国卷 1 文科) 已知函数f (x( = aex - lnx - 1 .
(2) 证明：当a ≥ 时，f (x( ≥ 0 .
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专题 15、对数单身狗
【要点分析】
1 ．方法介绍
在证明或处理含对数函数不等式时，如f (x(为可导函数，则有 (f (x(lnx( =f (x(lnx + ，若f (x( 为非
常数函数，求导式子中含有 lnx ，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出 来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种 相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗” .
2 ．原理分析
(1) 设f (x( > 0，f (x(lnx +g(x( > 0 lnx + > 0 ，则 (lnx+ = + ，不含超越函数， 求解过程简单．或者f (x(lnx +g(x( > 0 f (x((lnx+ > 0 ，即将前面部分提出，就留下 lnx 这个单
身狗，然后研究剩余部分.
(2) 设f (x( ≠ 0，f (x(lnx +g(x( = 0 lnx + = 0 ，则 (lnx+ = + ( ，不含超越函数，
求解过程简单．或者f (x(lnx +g(x( = 0 f (x( (lnx+ = 0 ，即将前面部分提出， 就留下 lnx 这个单
身狗，然后研究剩余部分.
【例题分析】
例1. (2016·全国II 卷) 已知函数f (x( = (x+1(lnx - a(x-1( .
(1) 省略；(2) 若当x ∈ (1,+∞(时，f (x( > 0 ，求 a 的取值范围.
例2. (2018 ．全国III 卷) 已知函数f (x( = (2 +x +ax2( ln (1 +x( - 2x .
(1) 若a = 0 ，证明：当 -1 0 时，f (x( > 0；(2( 省略.
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专题 16、指数找基友
【要点分析】
1 ．方法介绍
在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一 个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当 于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友” .
2 ．原理分析
(1) 由 ex +f (x( > 0 1 + > 0 ，则 (1 + = 是一个多项式函数，变形后可简化运 算． (2) 由 ex +f (x( = 0 1 + = 0 ，则 (1 + = 是一个多项式函数，变形后可简化
运算.
【例题分析】
例1. (2018·全国II 卷) 已知函数f (x( = ex - ax2 .
(1) 若a = 1 ，证明：当 x ≥ 0 时，f (x( ≥ 1 ；
(2) 若f (x(在 (0,+∞( 只有一个零点，求 a .
例2. (2020·全国I) 已知函数f (x( = ex + ax2 -x .
省略； 当 x ≥ 0 时，f (x( ≥ x3 + 1 ，求 a 的取值范围.
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专题 17、指对要分离
【要点分析】 1 ．方法介绍
exlnx 求导运算，其结果 (exlnx( = exlnx + 并不能简便，处理时经常要分离，也就是所称的“指对在一
起，常常要分手” .
在指对处理中的凹凸反转，首先就是要保证指对分离，再考虑构造凹凸反转函数.
2 ．原理分析
ex (设)，flx( 为，针对 (可导)此 (函)类 (数)从 (函)而 (数)，达 (求)到 (导)简 (式)化 (子)证 (中)明 (还)和 (是)求 (含)极 (有)
值、最值的目的.
【例题分析】
例1. (2014·全国I 卷改编) 设函数f (x( = exlnx + (x> 0( ． 证明：f (x( > 1 .
例2. 已知f (x( = ex - alnx - a ，其中常数 a > 0 .
(1) 当 a> e 时，求函数f (x( 的极值；
(2) 求证：e2x-2 - ex-1lnx -x ≥ 0 .
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专题 18、部分同构
【要点分析】
同构法是将不同的代数式 (或不等式、方程) 通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想 或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想.
类型 1 ．部分同构携手放缩法
在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1) 当 a > 0 且 a ≠ 1 时，有 x = alogax，(2( 当 a > 0 且 a ≠ 1 时，有 x = logaax 再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论 (其中 x > 0 )
xex = ex+lnx， = ex-lnx， = elnx-x
x + lnx = ln (xex( ，x - lnx = ln ，lnx -x = ln
x2ex = ex+2lnx， = ex-2lnx， = e2lnx-x
(6) x + 2lnx = ln (x2ex(，x - 2lnx = ln 2lnx -x = ln
再结合常用切线不等式：ex ≥ x + 1，ex ≥ ex，lnx ≤ x + 1，lnx ≤ 等，可以得到更多的结论
(7) xex = ex+lnx ≥ x + lnx + 1 ，xex = ex+lnx ≥ e (x+lnx( ，
x + lnx = ln (xex( ≤ xex - 1 ，x + lnx = ln (xex( ≤ = xex-1 .
x - lnx = ln - 1 ，x - lnx = ln
【例题分析】
例1. 已知f (x( = lnx + x -xex+1 ，则函数f (x( 的最大值为 .
例2. 不等式 xex - ax - lnx - 1 ≥ 0 恒成立，则实数 a 的最大值是 .
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专题 19、整体同构
【要点分析】
类型 2 ．整体同构携手脱衣法
1 ．指对跨阶同构 (主要针对单变量，左同右同取对数)
积型：aea ≤ blnb nb 构造函数 f (x( = xex ， 如：2x3lnx ≥
说明；在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知.
(2) 商型： < _______有利同构方式 b -ln(lnb( 是
(3) 和差：ea ± a > b ± lnb 一两种同构方式 → {r( 同右 (同左) e (e)a (a)lne (a>)blln (nb)b 构造函数 → f (x( = x ±
lnx
如：eax + ax > ln (x+1( + x + 1 eax + ax > eln (x+1( + ln (x+1( ax > ln (x+1( .
2 ．无中生有同构 (主要针对非上型，凑好形式是关键)
(1) aeax > lnx - 同乘 x (无中生有( → axeax > xlnx ，后面的转化同 2(1( ；
(2) ex > aln (ax-a( - a ex > lna (x-1(- 1 ex-lna - lna > ln (x-1(- 1 问加 x(无中生有)
→ ex-lna + x - lna >
ln (x-1( + x - 1 = eln (x-1( + ln (x-1( x - lna > ln (x-1( ；
ax > logax exlna > (xlna(exlna > xlnx ，后面的转化同 2(1( .
【例题分析】
例1. 不等式 ax > logax (a>0,a ≠1( ，对任意正数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .
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专题 20、双变量之同构
【要点分析】
类型 3 ．双变量问题之转化同构
若问题的不等式或等式中含有 x1，x2 两个变量，我们称这类题型为双变量问题．若对任意的 x1，x2 在区间 D 上，某关于 x1 和 x2 的具有轮换对称性的不等式恒成立，求参数取值范围．这类问题含有地位同等的两个 变 x1，x2 或p，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理 (即同构) 后不等式 两边具有结构的一致性，往往暗示单调性 (需要预先设定两个变量的大小)
f (x1(- kx1 f (x1( + >f (x2( + y =f (x( + 为减函数；
【要点分析】
例1. 已知函数f (x( = ex + mlnx (m∈R( ，若对任意正数 x1，x2 ，当 x1 > x2 时，都有f (x1( -f (x2( > x1 - x2 成立，则实数m 的取值范围是 .
例2. 已知函数f (x( = - ax，x ∈ (0,+∞( ，当 x2 > x1 时，不等式 恒成立，
则实数 a 的取值范围是 .
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专题 21、双变量之消元法
【要点分析】
方法总结
双变量问题是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数．若两个变量存在确 定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量．比如：
(1) 当 x1 + x2 = 1 时，则可利用 x2 = 1 -x1 消去 x2 ；
(2) 当 x1x2 = 1 时，则可利用 消去 x2 ；
(3) 有时也把 x1，x2 都消去，留下参数 a (如例 2)；
【例题分析】
例1. (2018 全国I 卷) 已知函数f (x( = -x + alnx .
(1) 省略；(2) 若f (x(存在两个极值点x1，x2 ，证明： < a - 2 . 例2. 已知函数f (x( = ax2 -x - ln .
(1) 省略；
(2) 若函数f (x(在定义域内有两个极值点x1，x2 ，求证：f (x1( + f (x2( < 2ln2 - 3 .
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专题 22、双变量之换元法
【要点分析】
方法总结
双变量问题是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数.
若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体等策略将两个变量划归为一 个变量整体换元，化为一元不等式．常见的有：
(1) 比值换元： ；
(2) 乘积换元：x1x2 ；
(3) 作差换元：x1 -x2 ；
(4) 求和换元：x1 + x2 ；
【例题分析】
例1. 已知函数f (x( = x2 + xlnx ． 省略；求证：当n >m > 0 时，lnn - lnm > . 例2. 已知函数f (x( = lnx - ax2 + x，a ∈ R .
(1) 省略；(2) 若 a =-2 ，正实数 x1，x2 满足f (x1( +f (x2( + x1x2 = 0 ，证明：x1 + x2 ≥ .
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专题 23、比大小问题 1(中间值、作差作商)
【要点分析】
1 ．借助中间值法
(1) 常见的中间值：如“ 0 ”，“ 1 ”，“ 2 ”，
(2) 特殊的中间值：根据具体题目寻找，比如对数比大小，常寻找 = loga ，或 2 = logaa2 ，如 1/4，1/3， 1/2，2/3，3/4，4/5 等；
【例题分析】
例1. 已知 a = log22.8，b = log0.82.8，c = 2-0.8 试比较 a，b，c 的大小为 ( )
A. b < a < c B. b < c < a C. c < b < a D. a < c < b
例2. (2021 新高考II 卷 7) 已知 a = log52，b = log83，c = ，则下列判断正确的是 ( )
A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c
【例题分析】
例3. (2022 新高考III 卷理 12) 已知 55 < 84，134 < 85 ．设 a = log53，b = log85，c = log138 ，则 ( )
A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. c < a < b
例4. (2022新高考1卷7( 设 a = 0.1e0.1，b = ，c =-ln0.9 ，则 ( )
A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b
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专题 24、比大小问题 2(构造函数)
【要点分析】
3 ．函数单调性法
通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数， 然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.
构造函数要从“结构同构”处入手，通过函数的相同结构，学习观察，归纳，总结“同构”规律.
(1) 对数型比大小
①底数相同真数不同时，根据单调性比较；
②不同底但真数相同时，或换成同底对数比较；或由正负比较；或结合函数图像比大小；(2) 指数 (幂)型比 大小
①底数相同指数不同，根据指数函数单调性比较；
②不同底但指数相同时，根据幂函数单调性比较；
③底数、指数都不相同时，换成指数相同的形式比较.
(3) 复杂型比大小
往往需要对比较大小的数进行变形，通过对比结构共同特征，构造相应的函数，再利用函数单调性，奇偶性 等比较大小．有时也要在相等关系中去放缩寻找不等关系，再构造函数．这类构造函数比大小是高考常考 压轴题，难度大，构造的函数也不容易一下子想到.
【例题分析】
例1. 比较 a = e ，b = e ，c = e ( e 为自然对数的底数) 的大小为 ( )
A. a > b > c B. c > b > a C. c > a > b D. a > c > b
1 1
例2. 若 a = 3、3 ，b = 5、5 ，c = 2 ，则 ( )
A. c > b > a B. c > a > b C. b > c > a D. a > b > c
·58 ·
专题 25、比大小问题 3(放缩法)
【要点分析】
4 ．函数放缩法
放缩是比较大小比较难的方法，放缩放到什么程度，需要根据具体题目综合考虑，常用：
0 < x < ，tanx > x > sinx，sinx ≥ x - x2，cosx ≥ 1 -
(2) x2 -x ≥ xlnx ≥ x - 1 ≥ lnx ≥ 1 - ≥ , x + 1 ≤ ex ≤ - (x<1( ；
【例题分析】
例1. 已知 a = e0.2 - 1，b = ln1.2，c = tan0.2 ，则 ( )
A. c > a > b B. a > c > b C. b > a > c I a > b > c
例2. (2022 年全国甲卷理 12) 已知 a = ，b = cos ，c = 4sin 则 ( )
A. c > b > a B. b > a > c C. a > b > c D. a > c > b
·59 ·
专题 26、比大小问题 4(估算法) *
【要点分析】
估算法
(1) 常用数值：
ln2 = 0.69，ln3 = 1.10，lnπ = 1.14，ln5 = 1.61，ln7 = 1.95 ， e = 2.718， e = 1.65 ，e2 = 7.39 ，ee = 15.15 ，eπ = 23.15 ，
π = 3.141， π = 1.77 ，πe = 22.46 ，ππ = 36.34 ，
(2) 常用函数：
①泰勒展开估算
≈ 1 + x + x2 + x3 , ≈ 1 -x + x2 -x3，
sinx ≈ x - ，cosx ≈ 1 - + ，tanx ≈ x +
@帕德逼近
, (-2≤x ≤2(，ln (x( ≈ , (0【例题分析】
例1. (2022 年全国甲卷理 12) 已知 a = ，b = cos ，c = 4sin 则 ( )
A. c > b > a B. b > a > c C. a > b > c D. a > c > b
例2. (2022 新高考I 卷 7) 设 a = 0.1e0.1，b = ，c =-ln0.9 ，则 ( )
A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b
·60 ·
专题 27、函数放缩公式拓展 *
【要点分析】
1 ．各类常见函数不等关系
一、指数函数类
(1) x ∈ R ex ≥ 1 + x (取等 x = 0 )
(2) x ∈ R ex ≥ ex (取等 x = 1 )
(3) x ≥0 ex ≥1+x + x2 (取7( x =0( x <0 ex <1+x + x2
(4) x < 1 ex ≤ - (取等 x = 0 )
(5) x ∈ R ex ≥ 、e (x + 取 x =
(6) x > 0 ex > x2 + 1
(
(
7
(
{
)rx≥0 ex ≥ ex + (x-1(2 (取
(x<0 ex (8(x ≥- 9 (14) ex ≥ 4 (e) (x+1(2 (取等 x =1(
(9) x ∈ R ex + e-x≥ x2 + 2 (即 1 (5)2 (π) x = 0 )
(
{
x
<
0

e
x
>
2
2
-
+
x
x
)(10) 0≤x <2 ex ≤ 2 (2)x (x) (取等 x =0(
(
(
x
=
e
x
-
ln
x
≥
x
-
ln
x
+
1
)rxex =ex+lnx≥x +lnx+1 (11(x > 0 {ex
二、对数函数类
(1) x > 0 1 - x (1) ≤ lnx ≤ x - 1 ≤ x2 -x (取等 x = 1 )
(2) x > 0 x - 2 (1) x2 < ln (x+1( < x (取等 x =0(
(3) x > 0 lnx ≤ (取等 x = e )
(4)x >1 1 - x (1) < 2 +-11( < x32 4 (2)x (-)(1 0(
|
x
>
1

ln
x
>
)r 4 ( x-1(
(
(
5
(
{
)x +1
(
(
x
+
1
)|0(6) x >1 lnx> 62(x (x)+- 5 (1)(
0·61 ·
x > 0 lnx ≤ 取等 x = 1 )
x > 0 lnx ≤ 取等 x = 1 )
三、三角函数类
x ∈ R 1 - x2 ≤ cosx ≤ 1 - 即等 x = 0 )
cosx ≤ 1 - 取等 x = 0 )
(10(x >-1 x + sinx ≥ ≥ 2ln (1 +x( (取等 x = 0 )
2 ．函数不等关系关联图
·62 ·
·63 ·
专题 28、函数图像拓展 *
函数表达式 图像 函数表达式 图像
y = ex + x 过定 点 (0,1) y = lnx + x
y = ex -x 函数 极值点 (0,1) y = lnx -x 函 数极值点 (1，- 1)
y = xex 函数极 值点 y = xlnx 函数 极值点
函数极 值点 (1，e) 函数 极值点 (e,
函数极 值点 函数 极值点 (e，e)
·64 ·
函数表达式 图像 函数表达式 图像
y = x + sinx y = x + cosx
y = x -sinx y = x - cosx
y = xsinx y = xcosx
·65 ·
函数表达式 图像 函数表达式 图像
y = lnx + ex y = lnx - ex
y = exlnx
ex y = lnx y = ex + e-x
y = ex - e-x
y = x2ex
·66 ·
函数表达式 图像 函数表达式 图像
y = x2 + ex y = x2 - ex
x2 y = ex ex y = x2
y = exsinx y = ex + sinx
y = ex -sinx
y = excosx
·67 ·
函数表达 式 图像 函数表达式 图像
y = ex + cosx y = ex - cosx
cosx y = ex
y = x2sinx y = x2 + sinx
y = ex - sinx
sinx y = x2 y = x + 函 数极值点 ,、2 (
·68 ·
第四章三角
专题 1、积化和差、和差化积公式教材必修一P230
【要点分析】
1 ．公式
和差化积 积化和差公式
-sinβ = 2sin cos ；cosα + cosβ = 2cos cos ；cosα - cosβ =-2sin sin .
记忆：伞加伞，伞在前；伞减伞，鱼在前；鱼加鱼，两条鱼；鱼减鱼，负两把伞；
证明：积化和差从右往即可得证，和差化积下从两种方法证明，只证其一，其余同理：
法 2：作单位圆，并取点A (cosα,sinα (，B (cosβ ,sinβ (
由图可知yM = OM sinOA cos sin = cos sin ； 又因为 ，故 = cos sin ，
得证 sinα + sinβ = 2sin cos .
2 ．拓展：平方差公式 sin2α -sin2β = sin (α+β ( sin (α-β (
【例题分析】
例1. (2023 年新课标 1 卷 8) 已知 sin (α-β ( = ，cosαsinβ = ，则 cos (2α+2β ( =
C. - D. -
例2. (2022 年新课标 2 卷 8) 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且f (x+y( +f (x-y( =f (x(f (y(，f (1( = 1 ，则
f (k( = ( )
·69 ·
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
·70 ·
专题 2、三倍角公式
【要点分析】
1 ．三倍角公式
sin3α = 3sinα - 4sin3α = 4sinαsin( -α (sin( +α ( ；(记忆：正三减四立方) cos3α =4cos3α - 3cosα =4cosαcoscos ；(记忆：余三差四立方)
2 ．记忆方式：正弦四减三，余弦三减四，3 次永远跟在四后面 证：法 1：直接法
sin3α = sin (2α+α ( = sin2α cosα + cos2α sinα
= 2sinαcosα cosα + (1-2sin2α ( sinα = 2sinα (1-sin2α ( + (1-2sin2α ( sinα = 3sinα - 4sin3α .
同理可证 cos3αcos3α = 4cos3α - 3cosα = 4cosαcoscos . 法 2：复数法，
令z = cosα +isinα , 由复数运算可知：
z3 = (cosα+isinα (3 = cos3α + 3cos2α sinα i - 3cosα sin2α -sin3α i ，又z3 = cos3α +isin3α ,
对比实部可知 cos3α = cos3α - 3cosα sin2α = 4cos3α - 3cosα ,
对比虚部可知 sin3α = 3cos2α sinα -sin3α = 3sinα - 4sin3α , 得证.
【例题分析】
例1. 已知 △ABC 中，若A = 2B ，且A 为锐角，则 的最小值为 .
·71 ·
专题 3、万能公式
【要点分析】
1 ．万能公式tanα =
证 ：法 1 ：直 接 法 sinα = 2 sin ，cosα = cos 2 - sin 2
法 2：几何法
令 t =tan 所以tanα = ，
由 (2t(2 + (1-t2(2 = (1+t2(2 ，
得证 sinα = ，cosα = .
2 ．作用
(1) 统一角为 ；
(2) 统一函数名为tan ，然后再正切函数换元求解！
【例题分析】
例1. (2018 年全国 1 卷理科 16) 已知函数f (x( = 2sinx + sin2x ，则f (x( 的最小值是 .
例2.在 △ABC 中，tan = 3tan ，则 的最小值为是 .
A. 4 B. 2 5 C. 4 5 D. 16
·72 ·
专题 4、三角函数单参ω 问题
【要点分析】
有关函数y =Asin (ωx+φ((A>0,ω >0(单参中ω 问题
1 ．常用方法
(1) 法 1：换元法 (令t = ωx + φ , 再借y =A sint 来解决问题)
(2) 法 2：直接法 (直接画y =Asin (ωx+φ( 图像并解决问题)
2 ．常见条件
(1) 类型 1：在 x = x0 有具体信息；
如：在单处有极值、最值、零点、对称轴、对称中心，则根据五点法，列式求解可得； 例：在 x = x0 取得最大值，则 ωx0 + φ = + 2kπ , k ∈ Z ；
(2) 类型 2：在 x = x1，x = x2 有具体信息；
如：在双处有极值、最值、零点、对称轴、对称中心，则根据两者距离，列周期式可得；
①两条相邻的对称轴，则 |x2 -x1 | = 两条对称轴，则 |x2 -x1 | =
②两个相邻对称中心，则 |x2 -x1 | = 两个对称中心，则 |x2 -x1 | = ；
③两相邻对称轴和中心，则 |x2 -x1 | = 两对称轴和中心，则 |x2 -x1 | = + ；
(3) 类型 3：在 [a,b[有单调信息；
如：在 [a,b[有单调递增，则 |b-a| ≤ T = ，且 [ωa+φ,ωb+φ[ - +2kπ, +2kπ
(4) 类型 4：在 [a,b[有个数信息；(极值、最值、零点、对称轴、对称中心个数信息)；
如：在 [a,b[没有零点，则列式 求解可得；
(
例
1.
(
2022
全国甲卷理
11
)
设函数
f
(
x
(
=
sin
(
ωx
+
在区间
(
0
,
π
(
恰有三个极值点、两个零点，则
ω
的取值
)如：在 [a,b[ 有n 个零点，则列式 求解可得；
范围是 ( )
A. , B. , C. , D. ,
法 1：换元法
·73 ·
依题意可得 ω > 0 ，令 t = ωx + ，当 x ∈ (0,π ( ，所以 t ∈ ( ,ωπ+ ， 于是题意等价于在y= sint，t ∈ ( ,ωπ+ 恰有三个极值点、两个零点，
如图所示，则 < ωπ + ≤ 3π ,解得 ，即 ω ∈ ( ．故选：C ．法 2：直接法 直接画出f (x( = sin(ωx + ( 图像，注意第一零点 x0 =- ，
如图所示，于是题意得 ，即 ， 解得 ．故选：C .
·74 ·
专题 5、三角函数双参问题
【要点分析】
有关函数y = Asin (ωx+φ((A>0,ω >0(双参中ω、φ 问题
1 ．表面看起来是双参问题，实际上 ω、φ 都可具体求解，此时y = Asin (ωx+φ( 是具体函数；
2 ．表面看起来是双参问题，实际上 ω 或 φ 之一可以确定，此时 y = Asin (ωx+φ( 是单参函数；因有未知，故 y = Asin (ωx+φ(有不确定，因而有最值范围问题，如下例 1 ；
3 . ω 或 φ 都无法确定，但也无所谓是谁，并不影响结果，此类问题可取特值，如下例 2 ；
4 . ω 或 φ 都无法确定，此类问题最为复杂，如下例 3 .
【例题分析】
例1. (2022 年全国乙卷理 15) 记函数f (x( = cos ( ωx+φ((ω>0,0<φ<π( 的最小正周期 T ，若f (T( = ， x = 的零点，则 ω 的最小值为 .
例2. (2024 年武汉 2 调 7) 如图，在函数f (x( = sin (ωx+φ( 的部分图象中，若 TA (—→) = AB (—→) ，则点A 的纵坐标为
( )
A. C. 3 - 2 D. 2 - 3
例3. 已知函数f (x( = sin (ωx+φ((ω>0(满足f = 1，f = 0 ，且f (x(在区间 , 上单调，则
ω 的最大值为 .
·75 ·
专题 6、绝对值型三角函数
【要点分析】
1 ．常见图像
f (x( = sin|x| f (x( = cos |x| f (x( = |sinx| f (x( = |cosx|
f (x( = |sinx| + |cosx| f (x( = |sinx| - |cosx| f (x( = |sinx| + cosx f (x( = sinx + |cosx|
注意：y = sin|wx| 不是周期函数.
2 ．处理策略
类型众多，熟记图像没有意义，绝对值三角类问题的一般解题步骤：
(1) 分析奇偶性，周期性，尽可能压缩讨论的区间范围；
(2) 去绝对值符号，写成分段函数；
(3) 画出函数大致图像，结合图像及利用定义分析，如周期性，奇偶性，对称性，单调性等，
【例题分析】
例1. (2019 年全国 1 卷 11) 关于函数f (x( = sin|x| + |sinx| 有下述关于f (x( 四个结论：
①是偶函数；②在区间 ,π ( 单调递增；③在 [-π,π[有 4 个零点；④最大值为 2；
其中所有正确结论的编号是 ( )
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
·76 ·
专题 7、分式型三角函数
【要点分析】
对于分式型三角函数，基本性质的分析可以抓住定义，如周期性，奇偶性，对称性等，最值和单调的分析则比 较麻烦，要具体处理．另最值问题处理总结如下：
1 ．基本类型 有界性；法 2：分离常数法.
2 ．基本类型 辅助角法；法 2：有界性法；法 3：斜率法；法 4：万能公式法.
【例题分析】
例1. (2021 年八省联考 12) 设函数f (x( = ，则f (x(
A. f (x( = f (x+π( B. 最大值为
C. 在 (- 单调递增 D. 在 (0, 单调递减
·77 ·
专题 8、复杂型三角函数
【例题分析】
例1. (2018 年全国 1 卷理 16) 已知函数f (x( = 2sinx + sin2x ，则f (x( 的最小值是 .
·78 ·
专题 9、三角形角的拓展结论
【要点分析】
1 ．三角恒等式，在 △ABC 中：
(2) cosA + cosB + cosC = 1 + 4sinsinsin ；
(3) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC ；
(4) cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC ；
(7) tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC .
证明：(7( ∵ A +B = 180° -C ，所以tan (A+B( =-tanC .
故tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC .
【例题分析】
例1. 若 △ABC 为锐角三角形，sinC = 2sinAsinB ，求tanA +tanB +tanC 的最小值 .
·79 ·
专题 10、三角形中线问题
【要点分析】
在三角形中过顶点添一条线段 (如BD( ，三条线段 BA、BD、BC 组成的图形类似爪子，故而此类相关问题 称为爪型问题，是高中数学常考类型.
当中爪BD 为中线时，注意其几何性质，可以有以下常见的解题思路： 中线公式
平方+余弦定理 BD2 = (BA2 + BC2( -
【例题分析】
例1. 在 △ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，且 2bcosA = 2c - a .
(1) 求角B ；(2) 若a = 4，c = 6 ，求边AC 上的中线BD 的长.
·80 ·
专题 11、三角形角平分线问题
【要点分析】
在三角形中过顶点添一条线段 (如 BD )，三条线段 BA、BD、BC 组成的图形类似爪子，故而此类相关问题 称为爪型问题，是高中数学常考类型.
当中爪BD 为角平分线时，注意其几何性质，可以有以下常见的解题思路：
(1) 角平分线定理 .
(2) 角平分线长公式：S△ABC = S△BAD + S△BCD BD =
* (3) 斯库顿 –塞瓦定理定理：BD2 = BA BC - AD DC .
【例题分析】
例1. 在 △ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，且 2bcosA = 2c - a .
(1) 求角B ；(2) 若a = 10，c = 15 ，求边AC 上的角平分线BD 的长.
·81 ·
专题 12、三角形中倍角问题
【要点分析】
1 ．等价关系
在 △ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c ，有以下等价关系：
A = 2B a = 2bcosB c = b + 2bcosA a2 -b2 = bc； 证：A = 2B sinA = sin2B sinA = 2sinB cosB
a = 2b a2c = b(a2 +c2 -b2( a2 (c-b( = b(c+b((c-b( ；
a2 = b(c+b( a2 -b2 = bc；
A = 2B sin (A-B( = sinB sinAcosB - cosAsinB = sinB ； sinAcosB + cosAsinB = sinB + 2cosAsinB ；
sin (A+B( = sinB + 2cosAsinB sinC = sinB + 2cosAsinB ；
c = b + 2bcosA c = b + 2b a2 -b2 = bc ；
2 ．推广
倍角三角形定理其实是余弦定理在角度特殊时推理出的特殊情况，其他情况类似可得： A = 2B a = 2bcosB c = b + 2bcosA a2 -b2 = bc ；
B = 2C b = 2ccosC c = b + 2bcosA b2 - c2 = ca； C = 2A c = 2acosA c = b + 2bcosA c2 - a2 = ab；
3 ．应用
(1) 倍角的发现与证明；
(2) 倍角的等价与计算；
(3) 倍角的相关三倍角；
【例题分析】
例1. 在 △ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c ，若B = 2A，a = 2，b = 2 3 ，则 c = . 例2. 在 △ABC 中，已知 a2 -b2 = bc ．求证：cosA + cosB + cosC > 1 .
·82 ·
专题 13、三角形中张角定理
【要点分析】
张角定理
如图，D 为边BC 上一点，则 + = .
特别，若AD 恰好为 ∠BAC 的平分线，则 cosα = + .
证明：因为 SΔABC = SΔABD + SΔACD ，由三角形面积公式可得：
AB AC sin (α+β ( = AB AD sinα + AD AC sinβ 两边同除AB AC AD ，得到 ，得证.
特别的，若AD 恰好为 ∠BAC 的平分线，则 α =β ,
故 + = ，即 + = ，整理得 cosα = +
【例题分析】
例1. 在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c ，已知 b = 2，c = 4，∠BAC = 120° , ∠BAC 的角平分线 交边BC 于点D ，则AD = .
法 1：如图，由余弦定理，a2 = b2 + c2 - 2bccos∠BAC = 28 ，所以 a = 2、7 ，
由角平分线性质定理， = = 2 ，所以BD = 2CD ，
从而 ，BD =
设AD = x ，可知 ∠ADC = π - ∠ADB ，所以 cos∠ADC = cos (π -∠ADB( =-cos∠ADB ，
从而 ，解得：x = ，即AD = .
法 2：如图，由角平分线性质定理 所以BD = 2CD ，从而A—D (—→) = AB (—→) + A—C (—→) ，
所以 |A—D (—→)|2 = AB (—→)2 + A—C (—→)2 + AB (—→) A—C (—→) = × 16 + × 4 + × 4 × 2 × (- = ，故AD = .
法 3：由张角定理，cos∠BAD = + ， 即 = + ，解得：AD = .
·83 ·
专题 14、三角形面积公式
【要点分析】
三角形的面积公式
公式 1：S = ah = absinθ ; (基本形式)
公式 2：S = = 2R2 sinA sinB sinC；(R为外接圆半径( 公式 3：S = (a+b +c( r ；( r 为内切圆半径)
公式 4：S =、p (p -a((p -b((p -c( ，其中p = (海伦公式)
公式 6：S = (
公式 7：S = (x1y2 -x2y1(2 = |x1y2 -x2y1 | ；(二维坐标式)
其中，令 CB (—→) = = (x1,y1( ，CA (—→) = b (→) = (x2,y2(
特殊：①当为直角三角形时，令 C = 90° , 则 S = ab ，另R = ，r = ； @当为等边三角形时，令边长为 a ，则 S = a2 .
【例题分析】
例1. 已知在 △ABC 中，BC = 6，AB = 2AC ，则 △ABC 面积的最大值为？ 法 1：基本运算
由题意可知 a = 6，c = 2b ，且 2 当且仅当 b2 = 20 即b = 2、5 时，Smax = 12 ，且 2 由题第一章集合、逻辑用语、不等式 5
专题 1、基本不等式拓展 1 (不等式链) 5
专题 2、基本不等式拓展 2 (维数问题) 6
专题 3、多次使用基本不等式 7
专题 4、多元条件等式求最值问题 1 8
专题 5、多元条件等式求最值问题 2 9
专题 6、多元条件等式求最值问题 3 11
专题 7、万能 k 法 1(判别式不等式) 12
专题 8、万能 k 法 2(综合问题) 14
第二章函数 16
专题 1、对勾函数 16
专题 2、飘带函数 18
专题 3、一次型分式函数 20
专题 4、二次型分式函数 22
专题 5、单绝对值型函数 23
专题 6、双绝对值型函数 24
专题 7、max、min 函数 1(单元问题) 26
专题 8、max、min 函数 2(多元问题) 28
专题 9、几个特殊函数 1 30
专题 10、几个特殊函数 2 31
专题 11、抽象函数问题 1(模型) 33
专题 12、抽象函数问题 2(方法) 35
专题 13、函数性质综合 1(对称性) 37
专题 14、函数性质综合 2(周期性) 38
专题 15、类周期问题 40
专题 16、复合函数零点问题 42
第三章导数 44
专题 1、三次函数 1 44
专题 2、三次函数 2* 46
专题 3、导数下的函数性质 1(原函数到导函数) 48
专题 4、导数下的函数性质 2(导函数到原函数) 50
专题 5、切线结论推广 52
专题 6、两曲线公切线 54
专题 7、双参切线问题 56
专题 8、切线条数问题 58
专题 9、不等式证明之切线放缩 60
专题 10、不等式证明之凹凸反转 61
专题 11、不等式证明之满参放缩 63
专题 12、恒成立求参之必要性探路 64
专题 13、恒成立求参之端点效应 65
专题 14、恒成立求参之主元技巧 67
专题 15、对数单身狗 68
专题 16、指数找基友 69
专题 17、指对要分离 70
专题 18、部分同构 72
专题 19、整体同构 73
专题 20、双变量之同构 74
专题 21、双变量之消元法 75
专题 22、双变量之换元法 77
专题 23、比大小问题 1(中间值、作差作商) 78
专题 24、比大小问题 2(构造函数) 80
专题 25、比大小问题 3(放缩法) 81
专题 26、比大小问题 4(估算法) * 82
专题 27、函数放缩公式拓展 * 84
专题 28、函数图像拓展 * 87
第四章三角 92
专题 1、积化和差、和差化积公式教材必修一P230 92
专题 2、三倍角公式 94
专题 3、万能公式 95
专题 4、三角函数单参 ω 问题 96
专题 5、三角函数双参问题 98
专题 6、绝对值型三角函数 100
专题 7、分式型三角函数 102
专题 8、复杂型三角函数 103
专题 9、三角形角的拓展结论 105
专题 10、三角形中线问题 106
专题 11、三角形角平分线问题 108
专题 12、三角形中倍角问题 110
专题 13、三角形中张角定理 112
专题 14、三角形面积公式 113
专题 15、三角形最值问题经典模型 115
专题 16、三角形设元技巧 117
第五章平面向量与复数 118
专题 1、爪子定理 118
专题 2、极化恒等式 120
专题 3、向量等值线 1 122
专题 4、向量等值线 2 124
专题 5、三角形四心 126
专题 6、奔驰定理 128
专题 7、平形四边形结论 130
专题 8、矩形结论 132
专题 9、复数拓展 1 (棣莫弗公式) 134
专题 10、复数拓展 2 (代数学基本定理) 135
第六章数列 137
专题 1、通项问题之不动点法 137
专题 2、通项问题之特征根法 138
专题 3、通项问题之数学归纳法 139
专题 4、求和问题之差比数列 141
·2 ·
专题 5、求和问题之错位相减法拓展 143
专题 6、裂项相消法拓展 144
专题 7、数列不等式证明之放缩法 145
专题 8、数列中计数问题 147
专题 9、数列中不定方程问题 149
专题 10、双数列 1(一分为二型) 150
专题 11、双数列 2(合二为一型) 151
专题 12、双数列 3(连环递推型) 153
第七章立体几何 154
专题 1、外接球问题 154
专题 2、内切球问题 156
专题 3、单线段最值问题 158
专题 4、线段和最值问题 1(蚂蚁路线) 160
专题 5、线段和最值问题 2(将军饮马) 162
专题 6、线段倍数最值问题 * 164
专题 7、轨迹问题 1(平行、垂直) 166
专题 8、轨迹问题 2(等距、等角) 168
专题 9、轨迹问题 (翻折、投影) 170
专题 10、轨迹问题 4(阿氏圆/ 球) 172
专题 11、截面问题 1 174
专题 12、截面问题 2 176
专题 13、正方体截面问题 178
专题 14、球截面问题 180
专题 15、证明之四点共面 182
专题 16、证明之线面平行 184
专题 17、证明之无棱交线 186
专题 18、平面拓展技巧 188
专题 19、建系技巧 190
专题 20、动点探索问题假设技巧 192
第八章解析几何 194
专题 1、定比分点公式 194
专题 2、两直线夹角公式 196
专题 3、米勒最大角 198
专题 4、隐含圆 1 之阿氏圆 200
专题 5、隐含圆 2 202
专题 6、两圆相减几何意义 204
专题 7、圆锥截面问题 205
专题 8、丹德林双球模型 207
专题 9、圆锥曲线第二定义 209
专题 10、圆锥曲线第三定义 211
专题 11、圆锥曲线焦半径 1(坐标式) 213
专题 12、圆锥曲线焦半径 2(角度式) 214
专题 13、圆锥曲线焦点弦 1(坐标式) 216
专题 14、圆锥曲线焦点弦 2(角度式) 218
·3 ·
专题 15、圆锥曲线焦点弦比值 220
专题 16、圆锥曲线焦点三角形内外切圆 222
专题 17、圆锥曲线光学性质 224
专题 18、双曲线渐近线 226
专题 19、轨迹问题 - 参数法 228
专题 20、轨迹问题 - 交轨法 230
专题 21、抛物线运算法 232
专题 22、点乘双根法 234
专题 23、齐次化法 235
专题 24、同构法 236
专题 25、定比点差法 237
专题 26、参数法 239
专题 27、面积问题 1 241
专题 28、面积问题 2 243
专题 29、面积问题 3 245
专题 30、斜率问题结论 247
专题 31、切线问题结论 252
专题 32、相关圆问题结论 256
第九章统计与统计案例 258
专题 1、混合数据问题 258
专题 2、异常数据问题 260
专题 3、统计公式变形证明 262
专题 4、独立假设检验问题 264
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 266
专题 1、枚举法 266
专题 2、隔板法 268
专题 3、比赛赛制问题 1 270
专题 4、比赛赛制问题 2 271
专题 5、比赛赛制问题 3 273
专题 6、概率中的递推问题 1 275
专题 7、概率中的递推问题 2 277
专题 8、概率中的递推问题 3 279
专题 9、概率中的递推问题 4 281
专题 10、概率中的递推问题 5 283
专题 11、概率最大问题 1 285
专题 12、概率最大问题 2《极大似然专题》 287
专题 13、概率最大问题 3 289
专题 14、概率最大问题 4 291
专题 15、期望方差性质 1 292
专题 16、期望方差性质 2 294
·4 ·
第一章集合、逻辑用语、不等式
专题 1、基本不等式拓展 1 (不等式链)
【要点分析】
(
a
+
b
2
) (
a
2
+
b
2
2
) (
2
1
1
a
+
b
) (
(
当且仅当
a
=
b
取等号
)
，
) (
≤
ab
≤
) (
≤
)1 ．基本不等式链：已知a > 0，b > 0，
即：调和平均数 < 几何平均数 < 算术平均数 < 平方平均数，简记为：调几算方.
2 ．对数平均不等式：若 a > b > 0，b < 1 1 < ab < lna (a) -- ln (b)b < a 2 (+)b < a2 2 (+)b2 < a ，
a2 +b
即：调和平均数 < 何平均数 < 对数平均数 < 算术平均数 < 平方平均数，简记：调几对算方.
【例题分析】
例1. (2022·全国新课标 2 卷 12 题) 若 x，y 满足 x2 +y2 -xy = 1 ，则 ( )
A. x +y ≤ 1 B. x +y ≥-2 C. x2 +y2 ≤ 2 D. x2 +y2 ≥ 1
【解析】因为 ab ≤ ( a 2 (+)b (2 ≤ a2 2 (+)b2 (a,b ∈R( ，
由 x2 +y2 -xy = 1 可变形为，(x+y(2 - 1 = 3xy ≤ 3(x 2 (+)y (2 ，解得 -2 ≤x +y ≤ 2 ，
仅当 x =y =-1 时，x +y =-2 ，仅当 x =y = 1 时，x +y = 2 ，所以A 错B 对；
由 x2 +y2 -xy = 1 可变形为 (x2 +y2( - 1 = xy ≤ x2 2 (+)y2 ，解得 x2 +y2 ≤ 2 ，
仅当 x =y =±1 时取等号，所以 C 正确；
因为 x2 +y2 -xy = 1 变形可得 (x- 2 (y) (2 + 4 (3) y2 = 1 ，设 x - 2 (y) = cos θ , 23 y = sinθ ,
(
3
3
)所以 x = cos θ + 1 sinθ , y = 2 sinθ ,
(
、
3
)因此 x2 +y2 = cos2θ + 3 (5) sin2θ + 2 sinθcos θ = 3 (4) + 3 (2) sin(2θ - 6 (π) ( ∈ 3 (2) ,2 ，
所以当 x = 33 ，y =- 33 时满足等式，但是 x2 +y2 ≥ 1 不成立，所以D 错误．故选：BC .
例2. 求证：ln (n+1( < 1 + 2 (1) + 3 (1) + + n (1) < ln (2n +1( .
【解析】证：根据 b > a > 0 时，lnb (b) -- ln (a)a > a ，即 lnb - lna < a (1) (b-a( ，
令 a =n，b =n + 1 ，则 ln (n+1( - lnn < n (1) ，可得 ln (n+1( < 1 + 2 (1) + 3 (1) + + n (1) .
根据 b > a > 0 时，a 2 (+)b > lnb (b) -- ln (a)a ，即 lnb - lna > 2 +-b (a)( ，
令 b = 2n + 1，a = 2n - 1 ，则 ln (2n +1(- ln (2n-1( > n (1) ，
易证 1 + 2 (1) + 3 (1) + + n (1) < ln (2n +1( .
·5 ·
专题 2、基本不等式拓展 2 (维数问题)
【要点分析】
1 ．基本不等式推广 1：三维均值不等式
若 a，b，c > 0 ，则 ≥ 3 abc ，当且仅当 a = b = c 取等号.
2 ．基本不等式推广 2：n 维均值不等式 设 ai > 0(i =1,2,3, n( ：
(1) 调和平均数：Hn =
(2) 几何平均数：Gn = n a1a2a3 an ；
(3) 代数平均数：An = ；
(4) 平方平均数：Qn =
均值不等式：Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn ，等号成立的条件均为：a1 = a2 = a3 = = an ；
特别的，当n = 2 时，G2 ≤ A2 ab ≤ , 即基本不等式.
【例题分析】
例1. 求解以下最值问题：
(1) 当 x ∈ (0,+∞( 时，求 x2 + 的最小值.
(2) 已知 x，y 均为正数，且x +y = 1 ，求 xy2 的最大值；
(3) 若 x，y，z 为正实数，且满足 x+ 2y + 3z = 1 ，求 xyz 的最大值.
当 x ∈ (0,+∞( 时，则 x2 + = x2 + 当且仅当 x2 = ，即 x = 1 时取等号，所以 x = 1 时，x2 + 的最小值 3 ；
(2) 由均值不等式得 x +y = x + y + y ≥ 333 yy( ，从而 xy2 ≤ , 当且仅当 时取等号，所以 xy2 的最大值为 ；
(3) 由均值不等式得 1 = x + 2y + 3z ≥ 3 3 x 2y 3z = 33 6xyz ，即 xyz ≤ , 当且仅当 x = 2y = 3z = 时等号成立，所以 xyz 的最大值为 .
·6 ·
专题 3、多次使用基本不等式
【要点分析】
多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握．当目标式中有 的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基 本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.
【例题分析】
例1. 已知两个正实数 x、y ，满足 x +y = 4 ，求 + 的最小值 .
(
≥
2
) (
+
) (
【解析】
错解：由已知得
4
=
x
+
y
≥
2
xy
) (
≥
2
.
),所以 xy ≤ 4，
错因：两次使用基本不等式，其中 xy ≤ 4 等号成立必须满足x =y ，
(
的等号成立时，必须有
4
x
=
y
，
)而
因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的.
(
4
x
y
) (
(
(
=
5
+
4x
y
) (
4
+
y
) (
4
+
y
) (
(
(
=
(
x
+
y
(

1
x
) (
y
+
x
) (
y
=
x
) (
且
x
+
y
=
4
，
) (
≥
9
，当且仅当
)正解：因为 4
(
+
) (
1
x
) (
≥
) (
,即最小值为
) (
时取等号，所以
) (
.
)即
(
+
) (
+
b
的最小值为
) (
.
)例2. 若a > 0，b > 0 ，则
(
1
a
) (
且
) (
=
a
b
2
) (
当且仅当
) (
时等号成立，
)= b ，即 a = b = 、2
(
1
a
) (
+
b
的最小值为
2
、
2
) (
所以
) (
.
)+
(
-
c
2
) (
+
) (
/
5
+
) (
的最小值为
) (
c
-
2
) (
.
)例3. 已知 a > 0，b > 0，c > 2 ，且 a + b = 2 ，那么
(
+
) (
-
c
2
) (
=
c
) (
/
5
+
) (
1
+
ab
) (
1
) (
(
(
+
5
) (
【解析】
) (
c
-
2
) (
c
-
2
) (
-
) (
2
)因为
(
+
(
a
+
b
(
2
) (
=
a
b
) (
=
a
b
) (
+
a
2
+
2
ab
+
b
2
) (
=
5
a
4
b
) (
+
) (
1
+
ab
) (
1
) (
1
) (
1
) (
≥
) (
-
) (
-
) (
-
) (
4
a
b
) (
4
a
b
) (
2
) (
2
) (
2
) (
5
)其中因为 a > 0，b > 0 ，所以
(
,
)2
(
a
时等号成立.
)当且仅当 b = 5
又因为 c > 2 ，由不等式的性质可得：
(
a
b
) (
+
c
) (
-
c
2
) (
(
(
+
5
) (
5
) (
1
+
ab
) (
1
) (
5
≥
) (
c
+
5
) (
、
5
=
) (
(
c
-
2
(
+
、
5
) (
=
c
) (
≥
10
) (
+
5
) (
+
) (
+
) (
-
) (
c
-
2
) (
b
)ac
(
c
-
2
) (
c
-
2
) (
c
-
2
) (
2
) (
2
) (
2
)ab
(
,
) (
5
)
(
时等号成立，
)当且仅当 c = 2 +、2
(
+
) (
-
c
2
) (
/
5
+
) (
的最小值为
、
10
) (
+
5
) (
c
-
2
) (
.
)所以
·7 ·
专题 4、多元条件等式求最值问题 1
【要点分析】
在代数问题中，若未知数多，问题解决起来难度大，所以要考虑处理未知数的办法，常见的有：消元法，换元 法，几何意义法.
1 ．消元方法
若题目中出现变量间的关系 (等式)，则可利用等式进行消元，在消元过程中要注意以下几点：( ) 确定主元： 主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围 (即称为函数的定义域)；二是构造出的函数 能够解得值域 (函数结构不复杂)；
(2) 注意范围：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担．例如选择 t 为主元，且有 x =f (t( ，a ≤ x ≤ b 则 t 除了满足自身的范围外，还要满足 a ≤f (t(≤b (即解不等式)；
2 ．换元方法
(1) 整体换元：
常见的如 ，y -x 等；例如在 中，可变形为 ，设 t = 则将问题转化为求
的值域问题；
(2) 三角换元：
已知条件为关于 x，y 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将 x，y 的表达式转化为三角函数表达式来求 得范围．因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见 的三角换元有：
①平方和：联想到正余弦平方和等于 1，则有：x2 +y2 = 1
@平方差：联想到正割与正切的平方差为 1，则有：x2 -y2 = 1 ;
3 ．数形结合
(1) 线性式 - - 与纵截距相关z = ax + by
可理解为 ，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意 b 的符号；
(2) 斜率式 - - 与斜率相关
可理解为z 是条件中的点 (x，y) 与定点 (a，b) 连线的斜率；
(3) 距离式 - - 与距离相关z = (x-a(2 + (y -b(2
可理解为z 是条件中的点 (x，y) 与定点 (a，b) 距离的平方；
·8 ·
专题 5、多元条件等式求最值问题 2
【要点分析】
形如：已知Ax +By + Cxy +D = 0 ，求 ax ± by，xy 等的最值？
法 1：基本不等式；法 2：因式分解 + 基本不等式法；法 3：消元 + 基本不等式法；
法 4：判别式法；法 5：数形结合；
【例题分析】
例1. 若 x，y 均为正数，且 x+ 2y + 2 = 2xy ，则 x+ 2y 的最小值为 .
【解析】法 1：基本不等式法
因为 x，y 均为正数，所以 2xy = x 2y ≤ , 所以 x + 2y + 2 = 2xy ≤ ,
令 t = x + 2y > 0 ，则 t + 2 ≤ 4 (t2) ，即 t2 - 4t - 8 ≥ 0 ，
解得 t ≥ 2 + 2 3 或 t ≤ 2 - 2 3 (舍去)，当且仅当 x = 2y = 1 + 3 时等号成立， 所以 x+ 2y 的最小值为 2 + 2 3 .
法 2：因式分解 + 基本不等式法
由 x + 2y + 2 = 2xy ，得 (x-1((2y-1( = 3 ，
x + 2y = (x-1( + (2y-1( + 2 ≥ 2 (x-1((2y-1( + 2 = 2 3 + 2，
(
3
+
1
3
+
1
) (
r
x
=
) (
时，等号成立，
) (
2
y
=
所以
x
+
2
y
的最小值为
2
+
2
3
.
)当且仅当 x - 1 = 2y - 1 = 3 ，即 {
法 3：消元法
由 x + 2y + 2 = 2xy ，得 x = 2 (2)y (y)+- 1 (2) > 0 ，所以y > 2 (1) ，2y1-1 > 0 ，
当且仅当 2y - 1 = 2y3-1 ，即 2y = 1 + 3 时等号成立，所以 x+ 2y 的最小值为 2 3 + 2 ．法 4：万能 k 法
令 x + 2y = k ，所以 x = k - 2y ，于是由 x + 2y + 2 = 2xy ，得 k + 2 = 2 (k-2y( y ，即 4y2 - 2ky + k + 2 = 0 . 因为方程有解，故 Δ ≥ 0 ，得 (-2k(2 - 4 × 4 × (k+2( ≥ 0 ．解得 k ≥ 2 + 2 3 ，所以 x+ 2y 的最小值为 2 + 2 3 .
法 5：数形结合法
由 x + 2y + 2 = 2xy ，得y = ，因 x，y > 0 ，故 x > 1，y > ， 令 x + 2y = t ，所以y =- x + ，
·9 ·
由y =- x + 和 (x>1( 的图像可知，当两者在第一象限相切时取最小值， 因为 ，解得 x = + 1 ，并y = .
故 t = x + 2y = 2 + 2、3 ，所以 x+ 2y 的最小值为 2 + 2、3 .
·10 ·
专题 6、多元条件等式求最值问题 3
【要点分析】
形如：已知Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx +Ey =F ，求 ax ± by，mx2 +ny2 等的最值？
法 1：基本不等式；法 2：柯西不等式；法 3：判别式法；
法 4：消元方法；法 5：换元方法；法 6：数形结合；
【例题分析】
例1. 设实数 x、y 满足 4x2 - 2xy +y2 = 8 ，求 2x +y 的最大值 .
【解析】法 1：基本不等式法
依题 (2x +y(2 = 8 + 6xy ≤ 8 + 3(2xy (2 ，则 (2x +y(2 ≤ 8 ，得 -4 2 ≤ 2x +y ≤ 4 2 ，
当且仅当 2x =y 时取“ = ”，所以当 x = 2 ，y = 2 2 时，2x +y 取得最大值 4 2 ；
法 2：柯西不等式得 ( 3 x(2 + (x-y(2 = 8 ，故 (2x +y(2 = [3x + (y -x([2 ≤ ( 32 +12([ ( 3 x(2 + (y -x(2[ = 4
8 = 32 ；故 2x +y ≤ 4 2 ，当且仅当 33x = y 1 (-)x ，即 2x =y 时取“ = ”，即 x = 2 ，y = 2 2 ；
法 3：判别式法令 2x + y = k ，则 y = k - 2x ，代入 4x2 - 2xy + y2 = 8 得：4x2 - 2x (k-2x( + (k-2x(2 = 8 ， 即 12x2 - 6kx + k2 - 8 = 0 ，因 x 为实数，所以Δ ≥ 0 ，即 36k2 - 4 12 (k2 -8( ≥ 0 ，解得 k2 ≤ 32 ，即 -4 2 ≤ k ≤ 4 2 ；当 k = 4 2 ，此时 x = 2 ，y = 2 2 ，符合题意，故 2x +y ≤ 4 2
0 (法)，y (4)：8 (以)
8 3-x3 (2)x3x ，令f/ (x( = 0 ，得 x = 2 当 x < 2 ，f/ (x( > 0 ，故f (x(在 (0, 2 ( 增，当 x > 2 ，f/ (x( < 0
,故f (x(在 ( 2,+∞(减；所以x = 2 为f (x( 的唯一极大值，也为最最大值，故f (x(max =f ( 2 ( = 4 2 ；故 2x +y ≤ 4 2 ，此时 x = 2 ，y = 2 2 ，
所以 (法 5)：2x (三)y (换)6 (考)osθ (到)(+32x3(6 (2)+
3 (π) =- 2 (π) + 2kπ 时，即当x = 2 ，y = 2 2 时，2x +y ≤ 4 2 ；
法 6：旋转坐标法不妨设 ，代入 4x2 -2xy +y2 =8 得m2 +3n2 = 16 ，所以m ≤ 4 ；所以
·11 ·
专题 7、万能 k 法 1(判别式不等式)
【要点分析】
1 ．判别式不等式
在题目给定关于 x，y 的一个二次式，要求另一个代数式的值，可以直接令所求式子等于 k ，然后用 x 表示 y , 代入已知，得到一个关于 x 的一元二次方程，利用判别式大于等于 0，得到一个关于 k 的不等式，解出 k 的范 围即可．此法即称为判别式法，也俗称万能 k 法 (好用，但并非万能，有适用范围，见备注)
2 ．应用
适用：k 法后能化成一元二次方程的不等式题型； 原理：利用一元二次方程有实数根时 Δ ≥ 0 ；
步骤：(1) 问谁设谁：求谁，谁就是 k ；并找出变量具体范围；
(2) 代入整理：整理成某个变量的一元二次方程；
(3) 确认最值：方程有实数根时 Δ ≥ 0 ，解出最值并把 k 代入方程验证.
3 ．并非万能！
上述做法默认的是二次函数在 R 上有零点从而 Δ ≥ 0 ，但实际函数里面的变量范围不一定是 R ，很多时候 变量都有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如果直接用 Δ ≥ 0 计算的答案就有可能出 错；这种题目不多，导致有些同学认为 k 法万能.
【例题分析】
例1. 已知正实数 x，y 满足等式 x+y + 8 = xy ，若对任意满足条件的 x，y ，求 x+y 的最小值 . 【解析】解：令 x+y = k ，所以 x = k -y ，
代入等式得 k -y +y + 8 = (k-y(y ，整理得y2 - ky + k + 8 = 0 ，
此时 Δ = k2 - 4(k+8( ≥ 0 ，即 k2 - 4k - 32 ≥ 0 ， 解得 k≤-4 或 k ≥ 8 ，
因为 x > 0，y > 0 ，所以 x+y = k ≥ 8 ，即 x+y 的最小值为 8
例2. 例 2 ．已知 a + b + c = 0，a2 + b2 + c2 = 4 ，则 a 的最大值为 . 【解析】令 a = k ，所以 b =-k - c ，
代入等式得 k2 + (-k-c(2 + c2 = 4 ，整理得 c2 + kc + k2 - 2 = 0
此时 Δ = k2 - 4(k2 -2( ≥ 0 ，即 k2 ≤ ,解得 k ≤ , 所以 a = k ≤ 的最大值为 ≤ .
例3. 已知 2m2 + 3n2 = 6n ，则m2 +n2 的最大值为 . 【解析】错解：令m2 +n2 = k ，所以m2 = k -n2 ，
代入等式得 2(k-n2( + 3n2 = 6n ，整理得n2 - 6n + 2k = 0
此时 Δ = 36 - 8k ≥ 0 ，即 k ≤ ,
所以m2 +n2 = k ≤ ,即m2 +n2 的最大值为 ≤ .
原因：2m2 = 6n - 3n2 ≥ 0 ，所以n ∈ [0,2[ ，变量有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如
·12 ·
果直接用 Δ ≥ 0 计算的答案就有可能出错． (本题正确结果是 4，分析从略)
·13 ·
专题 8、万能 k 法 2(综合问题)
【要点分析】
1 ．万能 k 法
万能 k 法并不是完全就是判别式法.
在判别式法专题中，因为碰到的条件是二次的，所以错觉是万能 k 法就是判别式法．万能 k 法本质是把二元 问题假设为 k ，然后代入条件进行消元处理：
(1) 若碰到的条件是二次的，我们在求最值时就是利用判别式来处理，此时等价于判别式法；
(2) 若碰到的条件是三次的，我们在求最值时就要利用导数等工具了，此时判别式失效.
2 ．应用
适用：k 法后能化成消元的问题；
步骤：(1) 问谁设谁：求谁，谁就是 k ；并找出变量具体范围；
(2) 代入整理：整理成某个变量的方程；
(3) 利用导数等工具确认最值，解出最值并把 k 代入方程验证.
【例题分析】
例1. (2024·辽宁大连·一模) 已知实数 a > 0，b > 0 ，且 ab (a+8b( = 4 ，则 a + 4b 的最小值为 .
【解析】解 1：万能 k 法
令 a + 4b = k > 0 ，得 a = k - 4b
由 ab (a+8b( = 4 ，得 16b3 - k2b + 4 = 0 . 设f (b( = 16b3 - k2b + 4，b > 0 ，
则f/ (b( = 48b2 - k2 ，令f/ (b( = 0 ，得 b = ，b =- 4 k3 (舍( ，
当 b < 4 k3 时，f/ (b( < 0 ，故f (b(在 (0, 4 k3 ( 上递减；
当 时，f/ (b( > 0 ，故f (b(在 ,+∞( 上递增； 所以，当 b = ，f (b( 的极小值为 4 - 6k33 .
(
6
3
)要使得 16b3 - k2b + 4 = 0 有解，须满足 4 - k3 ≤ 0 ，即 k ≥ 2 3 .
所以当 的最小值为 2 3 ，故 a + 4b 的最小值为 2 3 . 解 2：消元法
(a+4b(2 = a2 + 8ab + 16b2 = a (a+8b( + 16b2 = + 16b2， 设g(b( = + 16b2 ，其中 b > 0 ，则g/ (b( =- + 32b = ，
当 b ∈ (0, ( 时，g/ (b( < 0 ，当 b ∈ ( ,+∞( 时，g/ (b( > 0 ， 故g(b(在 (0, 2 (1) ( 上为增函数 ,+∞( 上为减函数，
·14 ·
故g(b(min = g = 12 ，此时 a =-2 + 2、3 > 0 ，
故 a + 4b 的最小值为 2 3 ．故答案为：2、3 .
·15 ·
第二章函数
专题 1、对勾函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax + ，(ab>0( 的函数称为对勾函数，又称“双勾函数” .
2 ．图像：是一种类似于反比例函数的一般双曲函数.
3 ．性质：
a > 0，b > 0 a < 0，b < 0
图像 (
O
x
) (
y
) (
y
) O x
定义域 {x ∣ x ≠ 0} ； {x ∣ x ≠ 0} ；
值域 {y ∣ y ≥ 2 ab ，y ≤-2 ab } ； {y ∣ y ≥ 2 ab ，y ≤-2 ab } ；
渐近线 直线 y = ax ，直线 x = 0 ； 直线 y = ax ，直线 x = 0 ；
对称性 奇函数，对称中心 (0,0)； 奇函数，对称中心 (0,0)；
单调性 递增区间 (-∞,- 和 ( ,+∞( ；递减 区间 (- ,0( 和 (0, ； 递增区间 (- ,0( 和 (0, ；递 减区间 (-∞,- 和 ( ,+∞( ；
4 ．变式：有些看起来不能用对勾函数，实际上变形后也可以用，比如如下：
f (x( = (a≠ 0( ；f (x( = (a≠ 0( ；f (x( = ；f (x( = (a>0( .
【例题分析】
例1.(2021 年乙卷文 9) 下列函数中最小值为 4 的是 ( )
【答案】C
例2. (2017 年浙江) 已知 a ∈ R ，函数f (x( = |x + -a| + a 在区间 [1,4[ 上的最大值是 5，则 a 的取值范围 【解析】x ∈ [1,4[ ，x + ∈ [4,5[ ，分类讨论：
①当 a≥ 5 时，f (x( = a -x - + a = 2a -x - 最大值 2a - 4 = 5，∴ a = ，舍去；
②当 a≤ 4 时，f (x( = x + - a + a = x + ≤ 5 ，此时命题成立；
·16 ·
③当 4 < a < 5 时，[f (x([ max = max{|4-a| + a,|5-a| + a{ ，
则 | + a 或 | + a ，解得：a = 综上可得，实数 a 的取值范围是 .
·17 ·
专题 2、飘带函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax + ，(ab<0( 的函数称为“飘带函数” .
2 ．图像：是一种双曲函数.
3 ．性质：
a > 0，b < 0 a < 0，b > 0
图像 (
y
) (
O
)x (
y
) (
O
)x
定义域 {x ∣ x ≠ 0} ； {x ∣ x ≠ 0} ；
值域 R ； R ；
渐近线 直线 y = ax ，直线 x = 0 ； 直线 y = ax ，直线 x = 0 ；
对称性 奇函数，对称中心 (0,0)； 奇函数，对称中心 (0,0)；
单调性 递增区间 (-∞,0( 和 (0+ ∞( ；无递减区 间； 递减区间 (-∞,-0( 和 (0,+∞( ；无递增区 间：
4 ．变式：有些看起来不能用飘带函数，实际上变形后也可以用，比如如下：
f (x( = (a≠ 0( ；f (x( = (a≠ 0( ；f (x( = ；f (x( = (a>0( .
5 ．重要放缩不等式： y y = - x (1) )
当 x ∈ (0,1( 时，x- < lnx ． y =lnx
(
x
)当 x ∈ (1,+∞( 时，x- > lnx ． O 1
【例题分析】
例1. (2008 年宁夏海南文 21) 设函数f (x( = x - ，求证：过曲线f (x( 上任意
一点的切线与直线 x = 0 和直线y = x 所围成的三角形面积为定值.
【解析】设P(x0,y0(为曲线上任一点，由y/ = 1 +
知P(x0,y0(处的切线方程为y -y0 = (1+ (x-x0( ，
即y - (x0 - ( = (1+ ((x-x0( ．令 x = 0 ，得y =- ， 从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为(0,- .
令y = x ，得y = 2x0 ，从而得切线与直线y = x 的交点坐标为 (2x0,2x0( ；
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点P(x0,y0( 处的切线与直线 x = 0，y = x ，所围成的三角形面积为 - |x0 | = 6 .
·19 ·
专题 3、一次型分式函数
【要点分析】
1 ．定义：形如函数f (x( = (c≠ 0,ad ≠ bc(称为一次型分式函数；
2 ．图像：本质是反比例函数平移，也是双曲线；有垂直渐近线、水平渐近线，对称中心 (- , ；
3 ．性质：
图像
定义域 {rx ! x ≠- r{!； {rx ! x ≠- r{!；
值域 r {y ! y≠ r{!； r {y ! y≠ r{!；
渐近线 直线 x =- ，y = ， 直线 x =- ，y = ，
对称性 对称中心 (- , ， 对称中心 (- , ，
单调性 递减区间 (-∞,- 递增区间 (-∞,-
备注：作图要点：一作竖线，二作水平线，三取特殊点 (0, ，四画图可得.
【例题分析】
例1. (2021 全国乙卷理 4) 设函数f (x( = 则下列函数中为奇函数的是 ( )
A. f (x-1( - 1 1 B. f (x-1( + 1 C. f (x+1( - 1 D. f (x+1( + 1
【解析】快速作图可得f (x( 的图象的对称中心为 (-1，- 1)，
故右移 1 个单位，上移 1 个单位，所得图象关于原点对称，为奇函数，即f (x-1( + 1 为奇函数，故选B .
例2. 函数f (x( = 的值域为 .
(
=-
3
，且过点
(
0
,
2
)
，所以其大致图象如图所示
，由图可知
在
[
-
1
,
1
[
上
↗
,故
y
max
=
7
，
y
min
=
3
) 设 t = sinx ，则 -1 ≤ t ≤ 1 ，且f (x( = ，函数 y 图象的两条渐近线分别为 t = 2 和1y
,从而函数f (x( 的值域为 ,7 .
·20 ·
·21 ·
专题 4、二次型分式函数
【要点分析】
1 ．定义：把y = 二次函数 (一次函数) 、y = 二次函数 (次函数) 、y = 二次函数 (二次函数) 统称为“二次型分式函数”；
2 ．求函数最值方法：
通常有均值不等式法、判别式法、求导法等．在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求 导法作为备选方案.
【例题分析】
例1. 函数y = (x>1( 的最小值为 .
【解析】法 1：均值不等式法
由题意
令 t = x - 1 ，则 t > 0，x = t + 1 ，
当且仅当 t = ，即 t = 1 时取等号，此时x = 2 ，从而函数的最小值为 ．法 2：判别式法 将 变形为y(x2 -x+1( = x2 - 2x + 2 ，
整理得 (y -1(x2 + (2-y(x +y - 2 = 0 ，
当y ≠ 1 时将该方程看成关于 x 的一元二次方程，
其判别式 Δ = (2-y(2 - 4(y -1((y -2( ≥ 0 ，解得： ≤ y ≤ 2(y≠1( ，
注意到当 x = 2 时，y = 所以函数 1( 的最小值为 ．法 3：求导法 设f (x( = (x>1( ，则f/ (x( = ，
令f/ (x( = 0 得x = 2 ，
所以f/ (x( > 0 x > 2，f/ (x( < 0 1 < x < 2 ，
从而f (x(在 上 ↘ ,在 (2,+∞( 上 ↗ ,故f (x(min =f (2( = .
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专题 5、单绝对值型函数
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = a|x-h| + k 的函数，叫做绝对值函数；
2 ．图象：“V”字型图像；
3 ．性质：
a > 0 a < 0
图像
定义域 R R
值域 {y ∣ y ≥ k} {y ∣ y ≤ k}
对称性 对称轴 x =h 对称轴 x =h
单调性 递减区间 (-∞,h( ，递区间 (h,+∞( 递增区间 (-∞,h( ，递减区间 (h,+∞(
备注：开口、顶点、对称轴类比函数f (x( = a(x-h(2 + k .
【例题分析】
例1. (2004 上海高考) 若函数f (x( = a|x-b| + 2 在 [0, +∞) 上为增函数，则实数 a、b 取值范围是
f (x( = a|x-b| + 2 =
因为f (x(在 [0, +∞) 上为增函数，所以{r! b (a)0 (0) ，
故答案为：a ∈ (0,+∞(，b ∈ (-∞,0]
例2.(2007 年全国高考) 图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )
·23 ·
D. y = 1 - |x-1| (0≤x ≤ 2(
【解析】可类似于y = a(x-1(2 + 的图象，由函数图像可得选B .
专题 6、双绝对值型函数
【要点分析】
1 ．双绝对值和
f (x( = |x-a| + |x-b| f (x( =m|x-a| +n|x-b| (m,n >0(
图 像 m > n > 0 时
0 特 点 平底锅型 在 [a,b[ 上取得最小 值 尖底型 在系数较大处的绝对值为 0 时取得最小值
2 ．双绝对值差
f (x( = |x-a| - |x-b| f (x( =m|x-a| -n|x-b| (m,n >0(
图 像
特 “Z” 字型 在x ≤ a，x ≥ a 上取得 尖底型 减号不看，只看 m，n ，在系数较大处的绝对值
点 最值 为 0 时取得最值
备注：若是f (x( =-|x-a| + |x-b|，f (x( =-m |x-a| + n |x-b| (m,n >0( ，只是如上双绝对值差的相反情 况，分析省略.
补充：三绝对值函数：f (x( = |x-a| + |x-b| + |x-c| (其中a【例题分析】
例1. (2014·安徽·高考) 若函数f (x( = |x+1| + |2x +a| 的最小值 3，则实数 a 的值为 ( )
A. 5 或 8 B. - 1 或 5 C. - 1 或 -4 D. - 4 或 8
【解析】由双绝对值和函数的特征可知，在系数较大处的绝对值为 0 时取得最小值，
则在 x =- 处取最小值，故fmin = |- +1| = 3 ，得 a = 8 或 -4，选D .
例2. (2022·浙江·高考) 已知 a，b ∈ R ，若对任意 x ∈ R，a|x-b| + |x-4| - |2x-5| ≥ 0 ，则 ( )
A. a ≤ 1，b ≥ 3 B. a ≤ 1，b ≤ 3 C. a ≥ 1，b ≥ 3 D. a ≥ 1，b ≤ 3
【解析】由题意有：对任意的 x ∈ R ，有 a|x-b| ≥ |2x-5| - |x-4| 恒成立.
·24 ·
设f (x( = a|x-b|，g(x( = |2x- 5| - |x-4| = 4 ，即f (x( 的图像恒在g(x( 的上方 (可重合)，
如下图所示：
由图可知，a ≥ 3，1 ≤ b ≤ 3 ，或 1 ≤ a < 3，1 ≤ b ≤ 4 - ≤ 3 ，故选：D .
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专题 7、max、min 函数 1(单元问题)
【要点分析】
1 ．定义：如y = max{f (x( ,g(x({，y = min{f (x( ,g(x({ ，称为最大值函数、最小值函数；
2 ．图像：y = max{f (x( ,g(x({是保留两者最高的图象，最后得到最大值函数的图象；y = min{f (x( ,g(x({ 是保留两者最低的图象，最后得到最小值函数的图象；
3 ．性质：max{f1,f2,f3{ ≥ ≥ min{f1,f2,f3{ ，其中 a1，a2，a3 > 0 ． (加权不等式)
4 ．方法：
如求最大值函数的最小值，一般有两种：
(1) 代数方法，通过比较大小，得到在定义域内不同区间的函数值最大的函数，由此得到一个分段函数，求此 分段函数各段的最小值，比较这些最小值，取其最小者作为最大值函数的最小值；
( 2 ) 几何方法，在同一坐标系内画出各函数图象，比较图象的高低位置，保留最高的图象，最后得到最大值 函数的图象，观察此图象的最低点的纵坐标，得到最大值函数的最小值.
【例题分析】
例1. 用 max {a ,b} 表示 a，b 两个数中的最大值，设函数f (x( = max |x| ,(x>0( ，则f (x( 的最小值是
.
【解析】
当 x> 0 时，若 x ≥ ,则 x2 ≥ 1 ，解得 x≥ 1 或 x ≤-1 (舍去)，
若 ，则 x2 < 1 ，解得 0 < x < 1 ，
所以f (x( = max|x| , = max 作出函数图象，如图：
当 x≥ 1 时，函数f (x( = x 单调递增，所以当 x = 1 时，f (x( = x 有最小值为 1 ；
当 0 f (1( = 1 ；
综上，f (x( 的最小值为 1 .
例2. 已知函数y = max{a,b,c} ，设f (x( = max{x2 ,|x-1| ,3x{ ，则f (x( 的最小值为 .
【解析】在同一直角坐标系中作出函数y = x2，y = |x-1| ，y = 3x ， 根据题意可得函数f (x( = max{x2 ,|x-1| ,3x{为图中黑线表示部分，
·26 ·
根据图像可得，点A 为函数y = x2 与y = |x-1| ，(x<1( 的交点，
所以 x2 = 1 -x 解得x = ，故点A 的横坐标为 ，
点B 为y = 3x 与y = |x-1| ，(x<1( 的交点，故 3x = 1 -x ，得 x = ，故点B 横坐标为 ，
点 C 为y = x2 与y = 3x，(x>1( 的交点，故 x2 = 3x ，得 x = 3 ，故点 C 的横坐标为 3，
所以函数f(x( =
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由图像可知，当 x = 时，函数f (x(有最小值为 4 (3) .
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专题 8、max、min 函数 2(多元问题)
【要点分析】
三元线性规划复合最值问题
【例题分析】
例1.(2024 年九省联考 14 题) 以 maxM表示数集M 中最大的数．设 0 < a < b < c < 1 ，已知 b ≥ 2a 或a + b ≤ 1 ，则 max{b - a,c -b,1 - c} 的最小值为 .
【解析】法 1：配凑法
(1) 当 b ≥ 2a 时，即b - a ≥ a ，于是
max{b - a,c -b,1 - c} = max{a,b - a,c -b,1 - c} ≥ = ， 当且仅当 a = ，b = ，c = 时，等号成立；
(2) 当 a + b ≤ 1 时，max{b - a,c -b,1 - c} ≥ = ≥ = ， 当且仅当 a = ，b = ，c = 时，等号成立；
综上可知 max{b - a,c -b,1 - c} 的最小值为 . 法 2：换元法
令 b - a = m，c -b = n，1 - c = p ，其中m，n，p > 0 ，所以 {r
(1) 若 b ≥ 2a ，则 b = 1 -n -p ≥ 2( 1-m-n-p( ，故 2m + n + p ≥ 1 ，
令M= max = max ，因此 ，故 4M ≥ 2m + n + p ≥ 1 ，则M ≥ ,
(2) 若a + b ≤ 1 ，则 1 -n -p + 1 -m -n -p ≤ 1 ，即m + 2n + 2p ≥ 1 ，
M= max = max ，则 ，故 5M ≥m + 2n + 2p ≥ 1 ，则M ≥ ,
仅当m + 2n + 2p = 1 且 max{m,n,p 时等号成立，如取m = n = p = 时可满足等号成立， 综上可知 max{b - a,c -b,1 - c} 的最小值为
法 3：几何法
因为 0 O A B C D
0 a b c 1
故设数轴上 a、b、c、1 对应的点分别为A、B、C、D ，则 max{b - a,c -b,1 - c} = max{|AB| ,|BC| ,|CD| { . 因为 |AB| + |BC| + |CD| = |AD| ，所以 max{|AB| ,|BC| ,|CD| {取到最小值的必要条件为 |AD| 最小，
由 |OA| + |AD| = 1 可知 |AD| 最小时，|OA| 最大．在 |OA| 最大时，|AD| 为定值，当 |AB| = |BC| = |CD| 时，max{|AB| ，
·28 ·
|BC| ,|CD| {最小.
(1) 当 b ≥ 2a 时，即 |OB | ≥ 2|OA| ，所以 |OA| 最大时，A 为线段 OB 的中点；
此时，当 |OA| = |AB| = |BC| = |CD| = 时，max{ |AB| ,|BC| ,|CD| {最小值为 ；
(2) 当 a + b ≤ 1 时，即 |OA| + |OB | ≤ 1 ，即 2|OA| + |AB| ≤ 1 ，所以 |OA| 最大时，|OA| = |BD| . 当 |AB| = |BC| = |CD| 时，|OA| = |BD| = 2|AB| ，此时 |OD| = 5|AB| = 1 ，
即此时 |BC| = |CD| = 时，max{ |AB| ,|BC| ,|CD| {最小值为 ；
综合 (1) (2) 可知，max{ |AB| ,|BC| ,|CD| {最小值为 ，即 max{b - a,c -b,1 - c} 最小值为 .
备注：问题转化为：长度为 1 的线段 OD 上任取三点A，B，C ，求 max{ |AB| ,|BC| ,|CD| { ．通过几何直观分 析可得 max { |AB| ,|BC| ,|CD| { 取得最小值的充要条件：|AD| ( |AB| + |BC| + |CD| ( 最小且 |AB| = |BC| = |CD| .
·29 ·
专题 9、几个特殊函数 1
【要点分析】
1 ．取整函数：y = [x[ ，表示不超过 x 的最大整数．性质：
①定义域：R ；
②值域：y ∈ Z ；
③图象：台阶型线段；
2 ．小数函数：y= {x} ，表示 x 的小数部分. 性质：
①定义域：R ；
②值域：[0,1) ；
③周期性：T = 1 ；
备注：
① x = [x[+ {x} ；
② x - 1 < [x[≤x < [x[ + 1 ；
④ x，y ∈ R ，有 [x[ + [y[≤ [x+y[ .
双曲正弦函数:sinh (x( =
3 ．常见双曲函数：双曲余弦函数:cosh (x( =
双曲正切函数:tanh (x( =
(1) 性质：基础性质如图；
(2) 备注：关系：cosh2 (x(-sinh2 (x( = 1，tanh (x( =
另，有类似三角函数的两角和差性质：
① sinh (x±y( = sinh (x(cosh (y(± cosh (x(sinh (y( ；
② cosh (x±y( = cosh (x(cosh (y(± sinh (x(sinh (y( ；
例题省略，见各种函数选填相关题.
·30 ·
专题 10、几个特殊函数 2
【要点分析】
4 ．符号函数：sgnx =
性质：
①定义域：R ；
②值域：{-1,0,1} ；
③奇函数；
④非单调函数；
⑤周期性：非周期函数.
5 ．狄利克雷函数：D(x( = 无理数 (有理数) .
(1) 性质：
①定义域：R ；
②值域：{0,1} ；
③偶函数；
④非单调函数；
⑤周期性：周期函数，但没有最小正周期.
(2) 备注：
①上图只是狄利克雷函数示意图，其图像其实是无法画出的 (不能画两条直线)；
②但是它的函数图像客观存在，并以y 轴为对称轴 (即偶函数)；
③它处处不连续，处处极限不存在；
④狄里克雷函数还是一个周期函数，但是却没有最小正周期，
它的周期是任意负有理数和正有理数.
6 ．狄利克雷函数：f (x( = 理数 (1) 性质：
①定义域：[0,1[ ；
②值域：{-1,0,1} ；
③关于x = 对称.
(2) 备注：
①从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都
·31 ·
变得越来越密集．根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。
* ②黎曼函数上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。 例题省略，见各种函数选填相关题.
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专题 11、抽象函数问题 1(模型)
【要点分析】
1 ．常见的抽象函数模型
(1) 一次函数：
模型 1：若f (x±y( =f (x(±f (y( ，则f (x( =f (1(x ，(即f (x(为奇函数)； 模型 2：若f (x±y( =f (x( f (y( +m ，则f (x( = [f (1(±m[x m ；
(2) 反比例函数：
(3) 指数函数：
模型 1：若f (x+y( =f (x(f (y( ，则f (x( = [f (1([x，f (x( > 0 ；
模型 2：若f (x-y( = ，则f (x( = [f (1([x，f (x( > 0 ； 模型 3：若f (x+y( =mf (x(f (y( ，则f (x( = 模型 4：若f (x-y( =m ，则f (x( =m
(4) 对数函数：
模型 1：若f (xy( =f (x( +f (y( ，则f (x( =f (a(logax ；
模型 =f (x(-f (y( ，则f (x( =f (a(logax ；
模型 3：若f (xy( =f (x( +f (y( +m ，则f (x( = [f (a( +m[logax -m ；
模型 4：若f( ( =f (x(-f (y( +m ，则f (x( = [f (a(-m[logax +m ；
(5) 幂函数：
模型 1：若f (xy( =f (x(f (y( ，则f (x( = [f (a([logax ，代入f (a( 则可化简为幂函数；
模型 2：若f( ，则f (x( = [f (a([logax ，代入f (a( 则可化简为幂函数；
(6) 余弦函数：
模型 1：若f (x( +f (y( = 2f( ( ，则f (x( = cosωx ；
模型 2：若f (x+y( +f (x(-f (y( = 2f (x(f (y( ，则f (x( = cos ωx ；
模型 3：若f (x+y( +f (x(-f (y( = kf (x(f (y( ，则f (x( = cosωx ；
(7) 正切函数：模型：若f (x±y( = ，则f (x( =tanωx .
【例题分析】
例1. (2022 年新课标 2 卷 8) 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且f (x+y( +f (x-y( =f (x(f (y(，f (1( = 1 ，则
f (k( = ( )
·33 ·
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
【解析】构造特殊函数，由等式条件，联想到余弦函数和差化积公式 cos (x+y( + cos(x-y( = 2cos xcosy ，可设f (x( = acosωx ，
则由法 1 中f (0( = 2，f (1( = 1 知 a = 2 和 acosω = 1 ，取 ω = ，f (x( = 2cos ，
所以f (x( = 2cos符合条件，因此f (x( 的周期 ，
f (0( = 2，f (1( = 1 ，且f (2( =-1，f (3( =-2，f (4( =-1，f (5( = 1，f (6( = 2 ， 所以f (1( + f (2( + f (3( + f (4( + f (5( + f (6( = 0 ，
22 除以 6 余 4，f (k( = f (1( + f (2( + f (3( + f (4( = 1 - 1 - 2 - 1 =-3 ．故选A .
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专题 12、抽象函数问题 2(方法)
【要点分析】
1 ．赋值法
赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，赋值一般有以下几种：
(1) -2，-1，0，1，2 等特殊值代入求解；
(2) 通过f (x1(-f (x2( 的变换判定单调性；
(3) 令式子中出现f (x(及f (-x(判定抽象函数的奇偶性；
(4) 换 x 为 x+ T 确定周期性.
2 ．判断抽象函数单调性的方法
(1) 凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
(2) 赋：给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试，
①若给出的是“和型”抽象函数f (x+y( = , 判断符号时要变形为：
f (x2(-f (x1( =f ((x2 -x1( +x1(-f (x1(或f (x2(-f (x1( =f (x2(-f ((x1 -x2( +x2( ； @若给出的是“积型”抽象函数f (xy( = , 判断符号时要变形为：
3 ．判断抽象函数奇偶性的方法
(1) 赋：得到一些特殊点函数值，如f (0(，f (1(等，
(2) 凑：尝试适当的换元字母，构造出 x 和-x ，
①如f (x+y( ，可令y=-x ；@如f (xy( ，可令y=-1 等等；
(3) 通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧.
【例题分析】
例1. 已知函数f (x( 的定义域为R，f (xy( =y2f (x( + x2f (y( ，则 ( )
A. f (0( = 0 B. f (1( = 0 C. f (x( 是奇函数 D. f (x( 是偶函数
【解析】f (xy( =y2f (x( + x2f (y( 中，令 x =y = 0 得，f (0( = 0 ，A 正确；
f (xy( =y2f (x( + x2f (y( 中，令 x =y = 1 得，f (1( =f (1( +f (1( ，得f (1( = 0，B 正确； f (xy( =y2f (x( + x2f (y( 中，令 x =y =-1 得，f (1( =f (-1( +f (-1( ，解得f (-1( = 0 ， f (xy( =y2f (x( + x2f (y( 中，令y =-1 得，f (-x( =f (x( + x2f (-1( =f (x( + 0 =f (x( ， 函数f (x( 的定义域为R ，故f (x( 为偶函数，C 错误，D 正确.
故选：ABD
例2. (2022 年新课标 2 卷 8) 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且f (x+y( +f (x-y( =f (x(f (y(，f (1( = 1 ，则
Σk1f (k( = ( )
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
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【解析】赋值 + 性质：
因f (x+y( + f (x-y( = f (x(f (y( ，
令 x = 1，y = 0 可得 2f (1( = f (1(f (0(，f (0( = 2 ，
令 x = 0 可得，f (y( + f (-y( = 2f (y( ，即f (y( = f (-y( ，所以函数f (x( 为偶函数， 令y = 1 得，f (x+1( + f (x-1( = f (x(f (1( = f (x( ，即有f (x+2( + f (x( = f (x+1( ， 从而可知f (x+2( =-f (x-1(，f (x-1( =-f (x-4( ，
故f (x+2( = f (x-4( ，即f (x( = f (x+6( ，所以函数f (x( 的一个周期为 6 . 因为f (2( = f (1(-f (0( = 1 - 2 =-1，f (3( = f (2(-f (1( =-1 - 1 =-2 ，
f (4( = f (-2( = f (2( =-1，f (5( = f (-1( = f (1( = 1，f (6( = f (0( = 2， 所以一个周期内的f (1( + f (2( +…+f (6( = 0 ．由于 22 除以 6 余 4，
所以 f (k( = f (1( + f (2( + f (3( + f (4( = 1 - 1 - 2 - 1 =-3 ．故选：A .
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专题 13、函数性质综合 1(对称性)
【要点分析】
函数的重要性质包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，具体的性质定义和结论可以查看对应知识．对于对 称性，就是奇偶性的推广，一般的结论如下：
(1) 抽象函数下的结论：
① f (x+a( +f (b-x( = 2c y =f (x(图像关于直线 ,c( 对称； @ f (x+a( =f (b-x( y =f (x( 图像关于直线 x = 对称.
(2) 具体函数下的结论：通过适当的平移可以从奇偶函数得出具有对称性特征的函数，
如f (x( = 对称中心 (- , = ax3 + bx2 + cx + d 对称中心为 (- ,f(- ； f (x( = 对称中心 (loga|t|, = loga 对称中心 (- + loga 等.
【例题分析】
例1. 函数y = 的图像关于点 (3，c) 中心对称，则 b + c = .
【解析】因为f (x( = = = 1 + ，所以该函数的对称中心为 (b,1)，
由已知可知该函数的图像关于点 (3，c) 中心对称， 所以有 b = 3，c = 1 b + c = 4 ，故答案为：4
例2. (2024 年新课标 1 卷 18) 函数f (x( = ln- + ax + b (x-1(3 ． (2) 证明：曲线 y =f (x( 是中心对称图
形.
【解析】f (x( = ln- + ax + b(x-1(3 的定义域为 (0,2)，
设P(m,n(为y =f (x( 图象上任意一点，故n = ln- + am + b(m-1(3 ，
而f (2 -m( = ln + a(2 -m( + b(2 -m-1(3 =- ln- +am +b(m-1(3 + 2a
=-n + 2a =-f (m( + 2a ，即f (2 -m( =-f (m( + 2a ，
由P 的任意性可得y =f (x( 图象为中心对称图形，且对称中心为 (1，a).
例3. 已知f(x(是定义在R 上的增函数，且f (x( +f (-x( =-2 ，函数g(x( =f (x( + + x ，则g(x( 图
像关于 对称.
【解析】因为f (x( +f (-x( =-2 ，所以f (x(关于 (0，- 1) 对称，
由g(x( = 0 得f (x( = -x - 1 ，记h(x( = -x - 1 ， 因为h(x( +h(-x( = ( -x-1( + ( +x-1(
-x-1( + ( +x-1( =-2 ，所以h(x( 关于 对称， 所以g(x( =f (x( + 的零点关于 (0，- 1) 对称.
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专题 14、函数性质综合 2(周期性)
【要点分析】
函数的重要性质包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，具体的性质定义和结论可以查看对应知识．对于周 期性，除了常见具有周期性特征的函数，如三角函数等；还要注意双对称函数：
( 1 ) 具体函数下的结论：主要是三角型函数；
(2) 抽象函数下的结论：主要型如f (x+T( =f (x(等变形结构的函数；
(3) 双对称函数下的结论：
① y =f (x(有两条对称轴 x = a 和 x = b(b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 2 (b-a( ；
② y =f (x(有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0((b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 2 (b-a( ；
③ y =f (x(有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b,0((b>a( ，则f (x( 的周期是 T = 4 (b-a( ；
推论 1：偶函数y =f (x(满足f (a+x( =f (a-x( f (x(周期 T = 2a ； 推论 2：奇函数y =f (x(满足f (a+x( =-f (a-x( f (x(周期 T = 2a .
【例题分析】
例1. (2024·河北沧州·一模) 已知定义在R 上的函数f (x(满足：f (x( +f (2 -x( = 2，f (x(-f(4 - x) = 0 ，且
f (0( = 2 ．若 i ∈ N* ，则 f (i( = ( )
A. 506 B. 1012 C. 2024 D. 4048
【解析】∵ f (x( +f (2 -x( = 2 ①,所以函数f (x( 的图象关于 (1,1) 对称， 令 x = 1 ，则f (1( +f (1( = 2 ，所以f (1( = 1 ，
令 x = 2，f (2( +f (0( = 2 ，又f (0( = 2 ，所以f (2( = 0 ，
又 ∵ f (x(-f (4 -x( = 0，∴ f (2 -x( =f (4 - (2 -x(( =f (2 +x( ，②
即函数f (x( 的图象关于直线 x = 2 对称，f (3( =f (1( = 1
且由①和②,得f (x( +f (2 +x( = 2 f (2 +x( +f (4 +x( = 2 ， 所以f (x( =f (4 +x( ，则函数f (x( 的一个周期为 4，
则f (4( =f (0( = 2 ，
故选：C
双函数双对称
例2. (2024·陕西榆林·一模改编) 定义在 R 上的周期函数f (x(，g(x( ，满足f (3 -x( =f (1 +x( ，g(2 -x( +
g (x( = 2，g(x + ( =f (2x( + 1 ，若f (x(，g(x( 的最小正周期分别记为 T1、T2 ，则 T1 + T2 =
【解析】由f (3 -x( =f (1 +x(可得f (2 -x( =f (2 +x( ，所以f (x( 关于直线 x = 2 对称，
所以f (2x(关于直线 x = 1 对称，即g(x + 关于直线 x = 1 对称， 所以g(x + 关于直线 x = 1 对称，所以g(x( 关于直线 对称，
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又由g( 2-x( + g(x( = 2 可得g(x(关于点 (1,1) 对称， 所以，g(x( 的周期为 T2 = 2 ；
由已知f (2x( = g(x + 周期为 2，所以f (x( 的周期 T1 = 4 .
则 T1 + T2 = 6 .
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专题 15、类周期问题
【要点分析】
1 ．定义
周期函数的图象可以看成将函数f (x( 一个周期的图象向左或向右不断平移来得到．若在每次平移的同时， 还有横向或纵向的伸缩，这样形成的函数我们将其形象地称为仿周期函数.
2 ．图像
图像有横向或纵向的伸缩，或者有时同时进行变换，可仿三角函数得图像变换理解．仿周期函数问题解题 的关键是正确地画出函数f (x( 的图象，所以熟悉这类函数的图象特征是有必要的.
下面以两个具体的实例来给出常见的仿周期函数f (x( 满足的条件形式及其对应的图象．定义在 [1, +∞) 上的函数f (x(满足当x ∈ [1,2) 时，f (x( =-x2 + 3x - 2 ；
(1) 横向平移纵向伸缩：当 x≥ 2 时，f (x( = 2f (x-1( ，则f (x( 的大致图象如图 1 所示； 备注：f (x( = kf (x-1( 中，k > 1 则向右看，纵向拉伸；0 < k < 1 则向右看，纵向压缩；
(2) 横向平移横纵伸缩：当 x≥ 2 时，f (x( = 2f( ( ，则f (x( 的图象如图 2 所示；
图 1 图 2
【例题分析】
例1. (2019 年全国 2 卷理 12) 设函数f (x( 的定义域为 R ，满足f (x+1( = 2f (x( ，且当 x ∈ (0,1 ] 时，f (x( =
x(x-1( ．若对任意 x ∈ (-∞,m] ，都有f (x( ≥- ，则m 的取值范围是 ( )
A. (- B. C. D.
【解析】因为 x ∈ (0,1 ] 时，f (x( = x(x-1( ，
由f (x+1( = 2f (x( ，得f (x( = 2f (x-1( ，即f (x(右移 1 个单位，图像变为原来的 2 倍. 如图所示：当 2 令 4(x-2((x-3( =- 整理得 9x2 - 45x + 56 = 0，∴ x1 = ，x2 =
故由任意 时，f (x( ≥- 成立，即m ≤ , ∴ m ∈ (- ，故选B .
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专题 16、复合函数零点问题
【要点分析】
1 ．定义
设 y = g (t( ，t = f (x( ，且函数g(x( 的值域为g(t(定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函 数，称y 是 x 的复合函数，记为y = g (f (x(( .
2 ．求函数值
复合函数函数值计算的步骤：求 y = g (f (x(( 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如已知 f (x( = 2x，g(x( = x2 - 2x ，计算g(f (2(( ．解答时先求f (2( = 4 ，所以g(f (2(( = g ( 4( = 12 .
3 ．求自变量
已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 x 的 值．例如已知f (x( = 2x，g(x( = x2 - 2x ，计算g(f (x(( = 0 ，求 x ？解答时由g(t( = t2 - 2t = 0 ，解得 t = 0 或 t = 2 ；再由f (x( = 0 和f (x( = 2 分别解得 x ∈ 和x = 1 .
4 ．复合函数零点：
类型 1：关于 x 的方程g(f (x(( = 0 根的个数
在解此类问题时，在处理问题的开始要作出f (x(，g(x( 的图像，要分为两层来分析：
(1) 第一层是解关于f (x( 的方程，观察有几个f (x( 的值使得等式成立；
(2) 第二层是结合着第一层f (x( 的值求出每一个f (x(被几个 x 对应；将 x 的个数汇总后即为g(f (x(( = 0 的 根的个数.
类型 2：已知g(f (x((零点个数求参数的范围
(1) 先估计关于f (x( 的方程g(f (x(( = 0 中f (x(解的个数；
(2) 再根据个数与f (x( 的图像特点，分配每个函数值fi (x(被几个fi (x(所对应，从而确定fi (x( 的取值范围， 进而决定参数的范围.
【例题分析】
例1. 若f (x( = x - 则方程f2 (x(-f (x( - 6 = 0 的实根个数为 . 由f(x( = 则作出图象如下：
由方程f2 (x(-f (x( - 6 = 0 ，得f (x( = 3 或f (x( =-2 ， 所以方程f2 (x(-f (x( - 6 = 0 的实根个数为 3 .
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例2. 若f (x( = |log2|>3 ，若m[f (x([2 - 3f (x( + 4m = 0 有 8 个不相等的实根，则实数m 的取
值范围为 .
【解析】若关于 x 的方程m[f (x([2 - 3f (x( + 4m = 0 有 8 个不相等的实根，
令 t =f (x( ，则mt2 - 3t + 4m = 0 有两不相等实数根 t1，t2 ，且 t1 ∈ (1,3( ，t2 ∈ (1,3( ，
若m < 0 ，则 t1t2 = 4 > 0，t1 + t2 = 不符合，所以m > 0 ，
令g(t( =mt2 -3t +4m ，则需要满足 ，解得 .
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第三章导数
专题 1、三次函数 1
【要点分析】
1 ．定义：形如f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0( 叫做三次函数；
导函数f/ (x( = 3ax2 + 2bx + c ，把 Δ = 4b2 - 12ac 叫导函数的判别式.
2 ．图象：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0(有以下 6 种可能的图象：
a > 0 a < 0
f/ (x(
f (x(
3 ．零点个数
(1) 若f/ (x( = 0 的判别式 Δ ≤ 0 ，则f (x(在R 上是单调函数，无极值，值域为 (-∞,+∞( ；函数f (x( 在R 上 有唯一的零点.
(2) 若f/ (x( = 0 的判别式 Δ > 0 ，则f/ (x(有两个零点x1，x2 ，是函数f (x( 的极值点；
① f (x(有一个零点) f (x1(f (x2( > 0 ，如下图所示：
② f (x(有两个零点 f (x1(f (x2( = 0 ，如下图所示：
③ f (x(有三个零点 f (x1(f (x2( < 0 ，如下图所示：
4 ．对称中心：f (x( = ax3 + bx2 + cx + d(a≠ 0(
(1) 三次函数一定有对称中心，为 (- ,f(-
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(2) 三次函数对称中心横坐标为x0 ，两极值点为 x1，x2 ，则 f ’(x0( =- (x1 -x2(2 ；
(3) 三次函数 y = f (x( 图像关于点 (m，n) 对称，则 y = f ’(x( 图像关于轴 x = m 对称；例题省略，见各种函数 选填相关题.
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专题 2、三次函数 2*
【要点分析】
5 ．切线条数：
过点P(m,n(可以作出三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 图象的几条切线，本质上是研究方程 n - f (x0( = f/ (x0((m-x0(根的个数．结论如下图所示：
6 ．三次函数的韦达定理
设f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的三个零点分别为 x1，x2，x3 ，则：
* 7 ．三次函数零点定理
定理 1：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图象与 x 轴交点分别为P1，P2，P3 ，点P 是
三次函数函象上异于 P1，P2，P3 的一点，且 y = f (x(在 P 点处的切线的斜率为 k0，PP1，PP2， PP3 的斜率分别为 k1，k2，k3 ，则 k0 = k1 + k2 + k3 ；
定理 2：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图象与 x 轴交点分别为P1，P2，P3 ，点P 是
三次函数中心对称点 (x0,f (x0((且处切线的斜率为 k0 ，f (x(在这三点处的切线的斜率分别为 k1，k2，k3 ， 则：
* 8 ．三次函数零点割线性质定理
定理 1：在三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图像上任取点P ，过P 作一条切线，切 点为 T ，过P 作一条割线，交点为M、N ，则有 T 点的横坐标平分M，N 的横坐标，即 xM + xN = 2xr ；
推论：在三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0( 的图像上任取点P ，过点P 作一条切线，切点为 T ，过点 P 作两条割线，交点分别为M，N 与R，S ，则 T 点的横坐标平分M，N 的横坐标，也平分R，S 的横坐标，即 2xT = xM + xN = xR + xS
定理 2：三次函数f (x( = ax3 + bx2 + cx + d (a>0( 的中心对称点为点 P(x0,f (x0(( ，极大值为 m ，且f (x( = m 的两根为 x1，x2 (x1 < x2(，f (x( 的极小值点为 x3 ，区间 [x1,x2[被 x0 与 x3 平分，即 x2 -x3 = x3 -x0 = x0 -x1 (四段坐标差相等) .
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例题省略，见各种函数选填相关题.
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专题 3、导数下的函数性质 1(原函数到导函数)
【要点分析】
函数f (x( 的四性有单调性，奇偶性，对称性，周期性，分析可见一轮复习材料．近年高考热衷考察f (x( 与 f (x(关联性质，可作为进一步函数性质延申，有如下要点：
已知函数f (x(连续且可导：
1 ．若f (x(为奇函数，则f (x(为偶函数； 若f (x(为偶函数，则f (x(为奇函数.
2 ．若f (x( 的图像关于点 (a，b) 对称，则f (x( 的图像关于 x = a 对称； 若f (x( 的图像关于 x = a 对称，则f (x( 的图像关于 (a,0) 对称.
3 ．若f (x( 的周期为 T ，则f (x( 的的周期为 T .
备注：以上的性质都是从原函数f (x(到推理导函数f (x( ，逆向不一定成立.
【例题分析】
例1. 已知函数f (x( 的定义域为 R ，且满足f (x( + f (3-x( = 4，f (x( 的导函数为g(x( ，函数 y = g ( 1+3x(
- 1 为奇函数，则g( 2024( = ( )
A. - 3 B. 3 C. - 1 D. 1
【解析】根据题意f (x(满足f (x( + f (3-x( = 4 ，两边同时求导可得：f (x(-f ( 3-x( = 0 ，
即g(x( = g ( 3-x( ，即g(x( 关于 x = 对称①,
又因为函数y = g ( 1+3x(- 1 为奇函数，所以g(x( 的图象关于点 (1,1) 对称，
即函数g(x(是周期为 4 × -1( = 2 的周期函数，
所以g( 2024( = g ( 2( = g ( 1( = 1 ，故选：D .
例2. (2022 新课标卷 12) 已知函数f (x(及其导函数f (x( 的定义域均为 R ，记g(x( = f (x( ，若f
, g( 2+x(均为偶函数，则 ( )
A. f (0( = 0 B. g(- = 0 C. f (-1( = f (4( D. g (-1( = g ( 2(
【解析】法 1：对称性和周期性的关系研究
对于g(x( ，因g( 2+x(为偶函数，得g( 2+x( = g ( 2-x( ，即g(x( 关于 x = 2 对称；
对于f (x( ，因f -2x( 为偶函数，得f -2x( = f +2x( ，即f -x( = f + x( ， 所以f (3-x( = f (x( ，所以f (x( 关于 x = 对称；
因g(x( = f (x( ，所以g(x(关于 ,0( 对称；
从而对于g(x( ，有关于 x = 2 对称，关于 ,0( 对称，故周期 T = 4 × (2 - = 2 ， 由上分析，从f (x( 关于 x = 对称，得f (-1( = f (4( ，故 C 正确；
从g(x(关于 ,0( 对称，得g = 0 ，故g(- = g(- +2( = g = 0 ，故B 正确；
从g(x(周期 T = 2 ，得g(-1( = g (-1+2( = g ( 1( =-g ( 2(，D 错误；
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若f (x(满足题设，则f (x( + C ( C 为常数) 也满足题设，故无法确定f (x( 的值，故 A 错误．故选：BC ．法 2：特殊值，构造函数法.
由法 1 知g(x(周期为 2，关于 x = 2 对称，故可设g(x( = cos (πx( ，则f (x( = sin (πx( + c ， 显然A，D 错误，选BC .
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专题 4、导数下的函数性质 2(导函数到原函数)
【要点分析】
原函数f (x(到推理导函数f (x( ，函数的奇偶对称性质发生变化，但是从导函数f (x(到推理原函数f (x( ， 不一定成立．比如：若f (x(为偶函数，则f (x( 不一定为奇函数.
反例：若f (x( = x2 ，则f (x( = x3 + C ．其中 C ≠ 0 时，f (x( 不为奇函数. 原因：f (x( = x3 + C (C≠0( 中f (0( ≠ 0 ，其实若f (0( = 0 时，f (x( 是奇函数. 改进：若使相应性质成立，则需要附加条件，如下：
对于性质 1 4 ，若函数f (x( 是可导函数，定义域为D ，其导函数f (x( ： 性质 1：若f (x(为偶函数，若f (0( = 0 时，则f (x(为奇函数.
性质 2：若f (x(为奇函数，若f (x0( =f (-x0(时 (x0 任意) ，则f (x(为偶函数. 性质 3：若f (x( 的图像关于 x =m 轴对称，则f (x( 图像关于 (m,f (m((对称. 推论：若f (x(为偶函数，则原函数f (x(关于 (0,f (0((对称.
性质 4 ：若f (x( 的图像关于 (m，n) 对称， 当n≠ 0 时，函数f (x( 不具有对称性；
当n = 0 时，且 x0 ∈ D 使得f (x0( =f (2m-x0( ，此时f (x( 图像关于 x =m 对称.
性质 5：若f (x( 是周期函数，周期为 T ，若 x0 ∈ R ，使得f (x0 +T( =f (-x0( ，则函数f (x( 是周期函数，周 期为 T .
【例题分析】
例1. 设定义在R 上的函数f (x(与g(x( 的导数分别为f (x(与g (x( ，已知f (x( =g (3-x( - 1 ，f (x+1( =
g (x( ，且f (x( 关于直线 x = 1 对称，则下列结论一定成立的是 ( )
A. f (x( +f (2-x( = 0 B. f (2( = 0
C. g (1-x( =g (1+x( D. g (x( +g (2-x( = 0
【解析】因为f (x( =g (3-x( - 1 ，求导可得f (x( =-g (3-x( ①,
因为f (x+1( =g (x( ，所以f (x( =g (x-1( ②, 所以①②得 -g (3-x( =g (x-1( ，
即函数g (x( 图象关于点 (1,0) 对称，所以D 对；
则函数g (x+1( 的图象关于点 (0,0) 对称，即g (x+1( 为奇函数，
所以函数g(x+1( + C ( C 为常数) 为偶函数，图象关于直线 x = 0 对称， 所以函数g(x( + C 的图象关于直线 x = 1 对称，所以 C 对；
因为g (x( 图象关于点 (1,0) 对称，得g (1( = 0 ，所以f (2( =g (1( = 0 ，则选项B 正确； 由f (x( =g (x-1( ，所以f (x(关于点 (2,0) 和直线 x = 1 对称，f (x(有周期 4 ；
可以取f (x( = cos + 1 ，可得A 选项错误.
备注：选项D 是求导后①②分析，是属于g (x( 的对称性分析；
选项 C 是导函数g (x(到原函数g(x( 的分析，其实利用了上面的性质 4 ；
·50 ·
选项B 是利用f,(x(与g,(x(关系，并由g,(x( 的对称性得到；
选项A 是利用f,(x( 的双对称得到f,(x(有周期，并利用性质 5 的要点去举反例.
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专题 5、切线结论推广
【要点分析】
1 ．指数模型
ex ≥ x + 1 ex ≥ ex ex ≥ e2 (x-1( ..... . ex ≥ en+1 (x-n(
..... .
2 ．对数模型
lnx ≤ x - 1 ..... . lnx ≤ x + n
..... .
3 ．三角模型
sinx ≤ x x ≤ tanx cosx ≥ 1 - x2
【例题分析】
例1. 函数f (x( = ，若g(x( = f (x( -x + a 只一个零点，则 a 的取值范围是 【解析】作出函数f (x( = 如图所示：
若g(x( = f (x( -x + a 只一个零点，
则f (x( = 与y = x - a 只有一个交点，
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y = x - a 与y = ex-1 只有一个交点，则 -a ≥ 0 ，即 a ≤ 0 ；
y = x - a 与y = ln (x-1( 只有一个交点，则两图象相切，则 a = 2 ， 综上：a 的取值范围是 (-∞,0] ∪ {2} .
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专题 6、两曲线公切线
【要点分析】
两曲线的公切线问题中，注意区分是否且是在公共点的切线．若是两个不同的切点，如图所示，问题比较综 合.
若直线 l:y = kx + b 与曲线y = f (x(和y = g (x(均相切，则求切线常见的方法有： 法 1：直线重合法：
步骤 1：分别假设两切点 (x1,y1( 、(x2,y2( ，分别求出两切线y = k1x + b1，y = k2x + b2 ，
步骤 2：因为是同一条切线，故可以列式 ，
步骤 3：两式有两个未知数，消去其中之一进行解答求解可得 (若不好解，构造函数求导分析)；法 2：切线等式 法；
步骤 1：分别假设两切点 (x1,y1( 、(x2,y2( ，令切线为y = kx + b ，
步骤 2：可得等式 ，且 ④
步骤 3：四式有四个未知数，消元只剩一个即可求解． (若不好解，构造函数求导分析) (通常是①③联立得⑥ , ②④联立得⑤ , 把②⑤或②④代入⑥可得)
【例题分析】
例1. 直线 l:y = kx + b 与函数曲线f (x( = 2lnx，g(x( =-x2 + 4x - 3 均相切，求直线 l 的方程 .
备注：本题实际是在相交处公共点的切线，但一开始并未知晓，所以要当两个不同切点处理．解：法 1：直线 重合法，省略；
法 2：设直线 l 与y = f (x( 的切点为 (x1,y1( ，与y = g (x( 的切点为 (x2,y2( ，
可得等式 2( ，且
消元得 k(x1⑤ ,再消 x2 得 2ln + 3 = 0 ； 令F(x( = 2lnx + x2 - 4x + 3，F,(x( = + 2x - 4 ，
当 x > 0，F,(x( = + 2x - 4 ≥ 2 - 4 = 0 ，仅当 = 2x 即 x = 1 时等号成立，
函数F(x(在 (0,+∞(上单调递增，且F( 1( = 2ln1 + 12 - 4 × 1 + 3 = 0 ，
所以方程 2ln + - + 3 = 0 有且只有一个实根，所以 = 1 ，即 x1 = 1 ， 代入y = x + 2lnx1 - 2 得y = 2x - 2 ，所以直线 l 的方程为y = 2x - 2 .
法 3：设直线 l 与曲线y = f (x( 的切点为 (x1,2lnx1( ，
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因为fl (x( = 所以曲线y = f (x(在点 (x1,2lnx1( 的切线方程为 x + 2lnx1 - 2 ，
又联立方程 2 ，得 x2 + ( -4(x + 2lnx1 + 1 = 0 ， 因为直线 l 与y = g (x(均相切，得 Δ = 0 ，得 ( -4(2 - 4( 2lnx1 +1( = 0 ， 即 + 3 = 0 ．下同法 2
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专题 7、双参切线问题
【要点分析】
若y = ax + b 是函数f (x( 的切线．因有双参数 a、b ，故无法准确求出具体 a、b 值，但可 以求出 a、b 代数式的最值．通常有如下方法：
1 ．代数法：利用切点 (x0,y0(表示参数a、b ，再代入所求代数式，实现消元，最后求最值；
2 ．几何法：寻找所求代数的几何意义，比如：
(1) a + b 表示切线y = ax + b 上横坐标为 1 的点的纵坐标；
(2) 表示切线y = ax + b = a L (Γ)|x-(- L (Γ)|在 x 轴上截距 - 的相反数.
【例题分析】
例1. 若直线y = ax + b 和f (x( = lnx 的图象相切，则 a + b 的最小值为 . 法 1：代数法
设y = ax + b 和f (x( 的图象相切于点P(x0,lnx0((x0 >0( ，
因为f,(x( = ，所以f (x( 的图象在点P 处的切线方程为y - lnx0 = (x-x0( ， 即 x + lnx0 - 1 ，从而 a = ，b = lnx0 - 1 ，所以 a + b = + lnx0 - 1 ，
所以 φ,(x( > 0 x > 1，φ,(x( < 0 0 < x < 1 ，
故 φ(x(在 (0,1) 上 ↘ ,在 (1,+∞( 上 ↗ ,从而 φ(x(min = φ (1( = 0 ，所以 a + b 的最小值为 0 . 法 2：几何法
如图，a + b 表示切线y = ax + b 上横坐标为 1 的点的纵坐标，
易得f (x(在 x = 1 处的切线方程为y = x - 1 ，对于这条切线，a + b = 1 + (-1( = 0 ， 而对于其它切线，显然切线上横坐标为 1 的点M必在 x 轴的上方，所以a + b > 0 ，
故 a + b 的最小值为 0 .
变式：若直线 y = ax + b 和 f (x( = lnx 的图象相切，则 的最小值为 ．解：y = ax + b y =
a-(+的值 (y)，a|Lx，-(- 切线在 x 轴上截距为 - ，所以欲寻找 的最小值，只需寻找横截距
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对于切线y = x - 1 ，其横截距为 1，而对于其它切线，横截距显然都小于 1，
所以切线的横截距 - 的最大值为 1，即 的最小值为 -1 .
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专题 8、切线条数问题
【要点分析】
通过导数工具可以求解函数切线，有时要求解满足要求的切线条数问题，或已知切线条数求参.
1 ．类型：过一点A(a,b( 的切线条数问题.
2 ．代数法步骤：
(1) 设切点为P(x0,y0( ，则斜率 k =f,(x0( ；
(2) 利用切点和斜率写出切线方程为：y -y0 =f,(x0((x-x0( ；
(3) 又因为切线方程过点A(a,b( ，点入切线得 b -y0 =f,(x0((a-x0( ． (*( .
(4) 若是求解切线条数：方程有几个解，x0 有几个值，就有几条切线；
若是已知切线条数：几条切线则方程几个解，因此分析求解得参数范围.
3 ．几何法要点：注意图形的凹凸性、拐点、渐近线情况综合分析.
4 ．三次函数的切线问题结论可见对应三次函数专题.
【例题分析】
例1.(2022 年新课标 1 卷 15) 若曲线y = (x+a(ex 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 . 【解析】∵ y = (x+a(ex，∴ y, = (x+1+a(ex ，
设切点为 (x0,y0( ，则y0 = (x0 +a(ex0 ，切线斜率 k = (x0 +1+a(ex0 ，
切线方程为：y - (x0 +a(ex0 = (x0 +1+a(ex0 (x-x0( ， ∵ 切线过原点，∴-(x0 +a(ex0 = (x0 +1+a(ex0 (-x0( ， 整理得：x0 (2) + ax0 - a = 0 ． (*)
∵ 切线有两条，∴ 关于 x0 的方程 (*(有两解， ∴ Δ = a2 + 4a > 0 ，解得 a<-4 或a > 0 ，
∴ a 的取值范围是 (-∞,-4( ∪ (0,+∞( ，
例2. (2021 年新课标 1 卷 7) 若过点 (a，b) 可以作曲线y = ex 的两条切线，则 ( )
A. eb < a B. ea < b C. 0 < a < eb D. 0 < b < ea
【解析】法 1：代数法
对函数y = ex 求导得y, = ex ，
设切点为P(t,et( ，切线方程为 y - et = et (x-t( ，即 y = etx + (1-t(et ，∵ 切线过点 (a，b)，可得 b = aet + (1-t(et = (a+1-t(et .
∵ 切线有两条，∴ 关于 t 的方程 (*(有两解， 令f (t( = (a+1-t(et ，则f,(t( = (a-t(et .
当 t < a 时，f,(t( > 0 ，此时f (t(递增，当 t > a 时，f,(t( < 0 ，此时f (t( 递减， 所以f (t(max =f (a( = ea ，
且 t →-∞时，f (t( → 0；t →+∞时，f (t( →-∞ ,
作出图象，则当 0 ·58 ·
画出函数曲线y = ex 的图象如图所示，
根据直观即可判定点 (a，b) 在曲线下方和 x 轴上方时才可以作出两条切线. 由此可知 0 < b < ea ．故选：D .
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专题 9、不等式证明之切线放缩
【要点分析】
1 ．方法介绍
如图，y = x + 1 是 y = ex 在 (0,1) 处的切线，有 ex ≥ x + 1 恒成立；y = x - 1 是 y = lnx 在 (1,0) 处的切线，有 lnx ≤ x - 1 恒成立．在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于 ex，lnx 有关
的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果.
2 ．变形引申
(1) 由 ex ≥ x + 1 引出的放缩：
图① 图② 图③ 图④
(2) 由 lnx ≤ x - 1 (也可以记为 lnx ≤ x ，切点为 (1,0() 引出的放缩：图②
图① 图② 图③ 图④
【例题分析】
例1. 求证：当 x> 0 时，不等式 2ex- - lnx + 恒成立.
令f (x( = 2ex- - 2x + 3(x>0( ，则f,(x( = 2ex- - 2(x>0( ， 由 ( = 0 ，可知f (x(在 上是减，在 上是增，
所以f (x( ≥ f( ( = 0 ，所以 2ex- ≥ 2x - 3 (当且仅当 时等号成立) ①.
易知g(x(在 (0,1 ] 上是减函数，在 [1, +∞) 上是增函数，所以g(x( ≥ g( 1( = 0 ，
所以 2x - 3 ≥ lnx - 当且仅当 x = 1 时等号成立) ②.
因为①和②中的等号不能同时成立，所以由①和②,得 2ex- > lnx - ， 所以 2ex- - lnx + .
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专题 10、不等式证明之凹凸反转
【要点分析】
1 ．方法介绍
很多时候，我们需要证明f (x( > 0 ，但不代表就要证明f (x(min > 0 ，因为大多数情况下，f,(x( 的零点是解不 出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果 隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f (x( > 0 ，可把f (x(拆分成两个函数g(x(，h (x( ，放在不等式 的两边，即要证g(x( >h(x( ，只要证明了g(x(min >h(x(max 即可，如图，这个命题显然更强，注意反过来不一 定成立．很明显，g(x(是凹函数，h(x(是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
2 ．分离关键
凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构 造差值函数不易求出导函数零点时 (当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离 (对数单身狗，指数 找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造 两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指 (对) 数函数和多项式组合的函数的图象与最值.
3 ．经典超越函数
f (x( = xex f (x( = xlnx
【例题分析】
例1. (2014·全国I 卷改编) 设函数f (x( = exlnx + (x>0( ． 证明：f (x( > ;
(2(f (x( = exlnx + (x>0( ，从而f (x( > 1 等价于 xlnx > xe-x - . 构造g(x( = xlnx ，则
g (x( 在 (0,+∞( 上的最小值为 构造 h (x( = xe-x - ，则 h (x( 在 (0,+∞( 上的最大值为
h(1( =- ．综上，当 x > 0 时，g(x( >h(x( ，即f (x( > 1 .
例2. 已知函数f (x( = elnx - ax(a∈R( ． (1) 省略；(2) 当 a = e 时，证明：xf (x( - ex + 2ex ≤ 0
【解析】(2) 法 1：因为 x > 0 ，所以只需证f (x( ≤ ,
因为f (x( = elnx - ax ，所以f (x(max =f (1( =-e .
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构造g(x( = - 2e (x> 0( ，所以g(x(min = g ( 1( =-e .
综上，当 x > 0 时，f (x(≤ g(x( ，即f (x( ≤ - 2e ，即 xf (x( - ex + 2ex ≤ 0 .
法 2：由题意知，即证 exlnx - ex2 - ex + 2ex ≤ 0 ，从而等价于 lnx - x + 2 ≤ . 构造g(x( = lnx - x + 2，h (x( = 同理可证.
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专题 11、不等式证明之满参放缩
【要点分析】
1 ．方法介绍
在含参不等式的证明问题中，有参数的存在，增加了问题分析的复杂程度．若借助参数范围，我们可以甩掉 参数带来的繁杂，直接去证明 (讨论) 一个不含参的不等式，这显然容易的多，这就是满参放缩的想法.
2 ．解题思路
满参放缩其意就是直接参数取边界值，进行放缩参数，注意不等式乘法的保号性，比如：(1) 当 x> 0 时，若 a
≥ 1 ，则 ax ≥ x，aex ≥ ex， ;若 a ≤ 1 ，则 ax ≤ x，aex ≤ ex， ; (2) 当 x > 0 时，若 a ≥ 时，显然 aex ≥ ex ，则f (x( = aex - lnx - 1 ≥ - lnx - 1 ；(3) 当 x > 0 时，若 a < 0 时，显然 ax < 0 ，则g(x( = ax - + sinx < sinx - ；
3 ．类型
(1) 含参不等式的证明问题，直接借参数范围满参放缩；
(2) 含参不等式的恒成立问题，利用必要性探路，或者端点效应等，先找到必要性条件，若找的合适，证充分 性时，已变成含参不等式的证明问题，再满参放缩． (具体例题可见端点效应中的例题 -2023 年全国甲卷文 21)
【例题分析】
例1. (2018 年全国 3 卷文 21) 已知函数f (x( = aex - lnx - 1 .
(1) 省略；(2) 证明：当a ≥ 时，f (x( ≥ 0 .
【解析】(2) 隐零点讨论
因为 a ≥ ,所以f,(x( = aex - 在区间 (0,+∞( 内单调递增.
当 x → 0 时，f,(x( →-∞ ,当 x = 1 时，f,(1( = ae - 1 ≥ 0 ，
所以存在 x0 ∈ (0,1( ，使得f,(x0( = aex - = 0x 即 aex0 =
当 x ∈ (0,x0(，f,(x( < 0 ；当 x ∈ (x0 ,+∞(，f,(x( > 0 ，
故在区间 (0,x0( 内f (x(单调递减，在区间 (x0 ,+∞( 内f (x(单调递增，
所以g(x(在区间 (0,1 ] 内单调递减，故g(x( ≥ g(1( = 0 ，即f (x( ≥ 0 成立.
(2) 满参放缩
当 a ≥ 时，f (x( ≥ - lnx - 1 ．下证 - lnx - 1 ≥ 0 即可.
当 0 1 时，g,(x( > 0 .
所以 x = 1 是g(x( 的最小值点，故当 x> 0 时，g(x( ≥ g(1( = 0 .
因此，当 a ≥ 时，f (x( ≥ 0 .
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专题 12、恒成立求参之必要性探路
【要点分析】
1 ．方法介绍
恒成立问题中，对于命题：“对于任意的x ∈ [a,b[ ，都有f (x( ≥ 0 恒成立，求参数范围．”由于参数不确定，给 我们讨论带来了极大的困难.
具体解决时，我们先从满足题意自变量范围中选择一个数，代入求得一个参数范围，此时这个范围是题意的 必要条件．这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性．这种方法是逻辑条件的充分 运用，因为先得到必要条件，故称为必要性探路法.
2 ．取值技巧
常见的选取技巧包括选取端点值、极值点、不等式公共取等条件、或取某一些特数值 (对数取 1，指数取 0，三 角取特殊角，常见常数 0、1、e、e2 )
3 ．类型
(1) 所得必要条件，即为充分条件，接下来证明充分性即可；
(2) 所得必要条件，仅缩小了范围，并非充分条件，但也减少了讨论的复杂程度；
【例题分析】
例1. (2022 届武汉九月调考) 已知函数f (x( = 2 (x-2(lnx + ax2 - 1 .
(2) 若f (x( ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【解析】(2)“ f (1( ≥ 0 ”是“ f (x( ≥ 0 ”的必要条件，解f (1( = a - 1 ≥ 0 ，得 a ≥ 1 ， 故f (x( = 2 (x-2(lnx + ax2 - 1 ≥ 2(x-2(lnx + x2 - 1 ，
下只须证 2(x-2(lnx + x2 - 1 ≥ 0 ，省略. 备注：上述并非取端点 0，而是取x = 1 .
例2. (2020 全国 1 卷) 已知函数f (x( = ex + ax2 -x .
当 x≥ 0 时，f (x( ≥ x3 + 1 ，求 a 的取值范围.
【解析】(2)“ f (2( ≥ 0 ”是“ f (x( ≥ 0 ”的必要条件，
解f (2( = e2 + 4a - 2 ≥ 5 ，得 a ≥ ,
下只须证 x2 -x ≥ x3 + 1 ，省略.
备注：上述并非取端点 0，而是取x = 2 .
h (x(与g(x(相切于点P(2,这正是取 x = 的原因所在.
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专题 13、恒成立求参之端点效应
【要点分析】
1 ．方法介绍
恒成立问题中，对于命题：“对于任意的x ∈ [a,b[ ，都有f (x( ≥ 0 恒成立，求参数范围．”这里的端点a，b ，往 往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应．端点效应的 核心思想是利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求.
2 ．解题思路
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步：
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数取值范围 (不等式恒成立的必要条件)；
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调；
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决；
若函数在限定参数范围内不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
3 ．类型
(1) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，则f (a( ≥ 0 或f (b( ≥ 0 .
(2) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，且f (a( = 0 (或 (b( =0( ，则f,(a( ≥ 0 或 (f,(b(≤0( .
(3) 如果函数f (x(在区间 [a,b[上，f (x( ≥ 0 恒成立，且 或 ，则f Ⅱ (a( ≥ 0 或 (fⅡ (b( ≥0(
.
4 ．伪端点效应
并非端点值为零的问题都可以用端点效应，可能会出现端点值为零的伪端点效应：
(1) 端点效应：有 φ(a( = 0，φ ,(a( = 0，φ Ⅱ (a( = 0 φn (a( ≥ (≤(0 ，且函数即其各阶导函数在给定区间内单 调
(2) 伪端点效应伪端点效应：有 φ(a( = 0， ;但函数及其各阶导函数不单调；
【例题分析】
例1. (2023 年全国甲卷文 21) 已知函数f (x( = ax - ，x ∈ (0, .
(1) 当 a = 1 时，讨论f (x( 的单调性；(2) 若f (x( + sinx < 0 ，求 a 的取值范围.
令 (2(g (x( =f (x( + sinx = ax - + sinx(0 依题g(x( < 0 ，且g(0( =f (0( + sin0 = 0 ，则g,(0( = a - 1 + 1 = a ≤ 0 ，解得 a ≤ 0 ，下证充分性：
①当 a = 0 时，因为g(x( = sinx - = sinx(1 - 又 x ∈ (0,( ，所以 0 < sinx < 1，0 < cosx < 1 ，则 ， 所以g(x( =f (x( + sinx = sinx - 满足题意；
②当 a< 0 时，由于 0 < x < ，显然 ax < 0 ，
所以g(x( =f (x( + sinx = ax - + sinx < sinx - 满足题意；
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综上所述：若f (x( + sinx < 0 ，等价于 a ≤ 0 ，所以 a 的取值范围为 (-∞,0] . 例2. (2020 全国 1 卷) 已知函数f (x( = ex + ax2 -x .
当 x≥ 0 时，f (x( ≥ x3 + 1 ，求 a 的取值范围.
误解： 设g(x( = ex - x3 + ax2 -x - 1 ≥ 0 ，且g(0( = 0 ，
g,(x( = ex - x2 + 2ax - 1 ，且g,(0( = 0，g Ⅱ (x( = ex - 3x + 2a，g Ⅱ (0( = 1 + 2a ≥ 0 ，解得：a ≥- 分析：
g (x(在区间 (0,+∞(上有极值点 2，即g(x(在给定区间内不单调，属伪端点效应.
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专题 14、恒成立求参之主元技巧
【要点分析】
1 ．主元思想
许多数学问题，都含有常量、参量和变量，它们统称为元素，在这些众多的元素中，必有某个元素处于突出 的、主导的地位，我们在解题时便把这个元素看作是主元素．根据具体问题，从不同的思考角度出发，选择 适当的元素作为主元素，并以此为线索把握问题和解决问题的数学方法，称为主元法.
主元法的中心思想是：全力抓问题的主要矛盾或矛盾的主要方面，以此作为解决问题的思考线索和突破口， 进而把握整个问题，促成问题转化，直至彻底解决．它是唯物辩证法在数学解题中的一种体现．在诸多的 常量、参量与变量中，通过观察分析，弄清它们之间的相互依存关系，灵活、恰当地选择其中的某个元素作为 主元，是运用主元法解题的关键.
2 ．解题指导
运用主元法解题，关键是根据问题的特点，灵活地选择主元，其处理方法主要有：
(1) 从多个变元中，选择出一个恰当的变元作为主元素思考，视其他变元为参量，突出主要矛盾，促成问题转 化.
(2) 选取含有若干变元的表达式为主元素一一一集中变元，通过消去主元 (或非主元)，逐步减少变元个数，达 到解决问题的目的.
(3) 选取主变量为主元素，通过分离参数的方法，突出主元的地位，为解题创造有利条件.
(4) 突破思维定势，选取参数变量为主元素，反客为主，化难为易，以实现巧妙突破.
(5) 观察问题的数据特征，选取某一特殊常量为主元素，调整并理顺问题的内部结构和关系， 从而发现解题途径，提高解题功效.
【例题分析】
例1. 若x ∈ [-1,1[ ，关于 x 的不等式 x3 - 1 ≤ax2 + 2ax - a2 恒成立，则实数 a 的取值范围 . 【解析】将原不等式看成关于变量 a 得不等式，即 a2 - (x2 +2x(a + x3 - 1 ≤ 0 ，
其判别式为 Δ = (x2 +2x(2 - 4(x3 -1( = x4 + 4x2 + 4 ，因此不等式的解为 x - 1 ≤a ≤ x2 + x + 1 ，
因为 x ∈ [-1,1[ ，所以 (x-1(max = 0，(x2 +x +1(min = 故答案为 .
例2. (2018 全国卷 1 文科) 已知函数f (x( = aex - lnx - 1 .
证明：当 a ≥ 时，f (x( ≥ 0 .
令h (a( = exa - lnx - 1，a ≥ ,则h,(a( = ex > 0，x > 0 ， 故h (a(在 a ≥ 上递增，那么h (a( ≥ h( ( = ex-1 - lnx - 1 ，
由于 ex-1≥ x ex-1 - 1 ≥ x - 1 ，等号成立当且仅当 x = 1 ， 另一方面：x - 1 ≥ lnx ，等号成立当且仅当 x = 1 .
综上，h (a( ≥ ex-1 - lnx - 1 ≥ 0 ，等号成立当且仅当 x = 1 ．证毕.
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专题 15、对数单身狗
【要点分析】
1 ．方法介绍
在证明或处理含对数函数不等式时，如f (x(为可导函数，则有 (f (x(lnx(, =f,(x(lnx + ，若f (x( 为非
常数函数，求导式子中含有 lnx ，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出 来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种 相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗” .
2 ．原理分析
(1) 设f (x

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